【全国百强校首发】云南省昆明市第一中学2017届高三上学期第二次双基检测数学(文)试题(图片版)


昆明市第一中学 2017 届摸底考试[来源:学科网 ZXXK] 参考答案(文科数学)
命题、审题组教师 一、选择题 题号 答案 1. 1 B 2 B 杨昆华 顾先成 刘皖明 易孝荣 李文清 张宇甜 莫利琴 蔺书琴 3 A 4 D 5 A 6 C 7 A 8 C 9 B 10 A 11 D 12 C

解析:集合 M ? ? x | x ? 0? , N ? {?2,1} ,所以 M I N 解析:因为 z ?

? ??2? ,选 B.

2.

2?i ? ?1 ? 2i ,所以 z ? ?1 ? 2i ,选 B. i
2 z x ? ,作出可行域,由图可知, 3 3

3.

解析:由 z ? 2 x ? 3 y ,有 y ? ?

目标函数经过点 ( 2,0) 时取得最小值 4 ,选 A. 4. 解析: sin 20o sin 50o ? cos160o sin 40o

? sin 20o sin 50o ? cos 20o cos50o ? cos 30o ?
5. 解析: ?ABC 中,因为 cos A ?

3 , 选 D. 2

4 3 1 ,所以 sin A ? ,由已知得 S ? bc sin A ? 6 ,所 5 5 2

2 2 2 以 b ? 10 ,故 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 72 ,所以 a ? 6 2 ,选 A.

6. 7. 8.

解析:因为 s ? ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 10 ,选C.
2 2 2 2

解析:因为 a ? 3

0.4

? 1 , b ? log4 0.3 ? 0 ,而 0 ? log 43 ?1 ,所以 a ? c ? b ,选 A.

解析:取 AC 中点 D ,连接 BD, PD ,由正视图和侧视图得 BD ? 平面 PAC , PC ? 平面 ABC ,则 ?BDP ? 90 ,且 BD ? 2, PD ? 5 ,所以 PB ?
?

7 .选 C.

9.

解析:由双曲线的对称性可知 ?ABF2 是等腰直角三角形,且 ?AF2 B 是直角,所以

?AF2 F1 ?

AF1 ? b2 b2 AF ? ? 1, , 所以 tan ?AF2 F , 即 ,又 ,所以 ? 1 ? 1 1 1 4 a 2ac F1 F2

2 2 2 即 c ? a ? 2ac ,化简得 e ? 2e ? 1 ? 0 ,解出 e ?

2 ? 1,选 B.

10. 解析: f ?( x) ?

1 x 2 ? ax ? 1 ? x?a ? , ( x ? 0) x x

当 a ? 2 时, f ?( x) ?

1 x 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 1) 2 ? x?2? ? ? 0 , f ( x) 单调递增,无极 x x x
2

值故 A 错误;当 ? 2 ? a ? 2 时, x ? ax ? 1 恒大于零,所以 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调 递 增 , 无 极 值 , B 正 确 ; 当 a ? 2 时 , 令 f ?( x) ? 0 , 解 得 x1 ?

a ? a2 ? 4 , 2

x2 ?

a ? a2 ? 4 ,可知 f ( x) 在 ?0, x1 ? 和 ?x2 ,??? 单调递增,在 ? x1 , x 2 ? 单调递减, 2
3 ? a ? 0 ,C 2

f ( x) 在 x ? x2 处取得极小值,而 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,所以 f ( x 2 ) ? f (1) ?

正确;又当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,当 x ? ?? 时, f ( x) ? 0 ,而且 f ( x) 的图像连续, 所以 f ( x) 必有零点,D 正确,选 A.

D ? l 于D, 11. 解析: 抛物线 C 的准线是 l : x ? ?2 , 作M 由抛物线的定义知 MF ? MD ,
所以要使 MF ? MQ 最小,即 MD ? MQ 最小,只要 D ,M ,Q 三点共线且 M 在

D 与 Q 之间即可,此时 MD ? MQ 的最小值是: AD ?1 ? 6 ?1 ? 5 ,选 D.
x 12. 解析:函数 f ( x) 有两个零点,可转化为函数 g ( x) ? xe 与 h( x) ? k 恰有两个交点,因 x 为 g ?( x) ? e ( x ? 1) , 当 x ? ?1 时 , g ?( x) ? 0 , g ( x) 单 调 递 减 ; 当 x ? ?1 时 ,

g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增, g ( x) 在 x ? ?1 处取得极小值 ?
恒成立, 利用图 像可知,选 C .[来源:学。科。网]

1 g ( x) ? 0 ; 而当 x ? 0 时, e

二、填空题 13. 解析:因为 a ? b ? 2 ? x ? 1,所以 x ? 1 . 14. 解析: 因为 2a ? 5b . 符合条件的 ( a, b) 为 (6,1) ,(6, 2) ,(5,1) ,(5, 2) ,(4,1) , (3,1) , 所求的概率 P ?

? ?

6 1 ? . 36 6

15. 解析: 将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 ? ?? ? 0 ? 个单位后得 y ? sin(2 x ? 2? ) 的图

象 , 因 为

?? ?? ? ? ?? ?? ? ? y ? cos ? 2x ? ? ? sin ? ? ? 2x ? ? ? ? sin? 2x ? ? , 所 以 3? 3 ?? 6? ? ? ?2 ?
? . 12

2? ?

?
6

? 2k? ? k ? Z ? ,所以 ? 的最小值为

16. 解析:依题意,经过点 M 和 N 的所有球中,体积最小的球是以 MN 为体对角线,棱长 分别为 2 2, 4,5 的长方体的外接球.直径 MN ? 7 ,所以其表面积为 49? . [来源:学#科#网] 三、解答题 17. 解:(Ⅰ)因为数列 ?bn ? 是公比为 16 的等比数列,且 bn ? 2an , 所以

2an?1 ? 2an?1 ? an ? 16 ? 24 , n ? N * ,故 an?1 ? an ? 4 2an

即数列 ?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差为 4 的等差数列, 所以 an ? 4n ? 3 , Sn ? n(2n ?1) . (Ⅱ)由(Ⅰ)有 cn ? ? 2n ? 1? 2
n ?1

???6 分 , 则

Tn ? 1? 20 ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ? ? ? ? 2n ? 1? ? 2 n ?1 , 2Tn ? 1? 21 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? ? ? 2n ? 1? ? 2 n ,
两式相减得 ?Tn ? 1 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? ? 2n ? 1? ? 2 n ? ? ? 2n ? 3 ? ? 2 n ? 3, 所以 Tn ? ? 2n ? 3? 2n ? 3 . 12 分 18. 解: (Ⅰ)证明:连接 AC ,因为四边形 ABCD 是菱形, F 为 BD 中点,所以 F 为 AC 中点. [来源:Zxxk.Com] 又因为 E 为 PA 中点,所以 EF // PC ,又 EF ? 平面 PBC , PC ? 平面 PBC , 所以 EF // 平面 PBC . ???6 分 (Ⅱ) 取 AD 中点 O , 连接 OB, OP , 因为 PA ? PD , 所以 PO ? AD ; 因为菱形 ABCD
? 中, AB ? AD , ?BAD ? 60 ,所以 ?ABD 是等边三角 形,所以 BO ? AD ,

???

由已知 BO ? 3, PO ? 3 ,若 PB ? 由 BO ? PO ? PB 得 PO ? BO ,
2 2 2

6,

P D O G F B

E A

C

所以平面 PAD ? 平面 ABCD ,所以 PO ? 平面 ABCD . 过 E 作 EG ? AD 于 G ,则 EG ? 平面 ABCD . 因为 E 为 PA 中点,所以 EG ? 所

1 3 , OP ? 2 2
以 ???12

1 VA? DEF ? VE ? ADF ? S?ADF ? EG ? ? ?1? 3 ? ? . 3 3 2 2 4
分 19. 解:(Ⅰ)由频率分布直方图知 ? 2a ? 0.02+0.03+0.04? ?10 ? 1 ,解得

a ? 0.005 . ???4 分
(Ⅱ)由频率分布直方图知这 100 名学生语文成绩的平均分为

55 ? 0.005 ?10 ? 65 ? 0.04 ?10 ? 75 ? 0.03 ?10 ? 85 ? 0.02 ?10 ? 95 ? 0.005 ?10 ? 73 (
分) ???7 分 (Ⅲ)由频率分布直方图知语文成绩在 ?50,60? , ?60,70? , ?70,80? , ?80,90? 各分 数段的人数依次为 0.005 ?10 ?100 ? 5 ; 0.04 ?10 ?100 ? 40 ; 0.03 ?10 ?100 ? 30 ;

0.02 ?10 ?100 ? 20 . [来源:学科网]
由题中给出的比例关系知数学成绩在上 述各分数段的人数依次为 5 ; 40 ?

1 ? 20 ; 2

30 ?

4 5 ? 40 ; 20 ? ? 25 . 故 数 学 成 绩 在 ?50,90? 之 外 的 人 数 为 3 4

100 ? ?5 ? 20 ? 40 ? 25? ? 10 . ???12 分
20. 解: (Ⅰ)由已知得

1 3 ? 2 ?1 2 a 4b





c 3 b2 1 ? ? 2? a 2 a 4

②[来源:学科网]

2 2 联立①、②解出 a ? 4 , b ? 1

所以椭圆的方程是

x2 ? y 2 ? 1 ???4 分 4
1 2 1 2

(Ⅱ)当 l 的斜率不存在时, C (? 3, ? ), D(? 3, ) ,此时 S1 ? S2 ? 0 ; 当 l 的斜率存在时,设 l : y ? k ( x ? 3)(k ? 0) ,设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,联立直线方 程与椭圆方程消 y 得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8 3k 2 x ? (12k 2 ? 4) ? 0 ,

12k 2 ? 4 8 3k 2 所以 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
所 以 S1 ? S 2 ? 2 y 1? y

2

? 2 y ?y 1

? ? 2 2 k ( x1 ? x2 ) ? 2 3k

4 3k ,由于 4k 2 ? 1

k ? 0,
所以 S1 ? S2 ?

4 3 4k ? 1 k

?

4 3 2 4k? 1 k

? 3 ,当且仅当 4 k ?

1 1 时,即 k ? ? 时, 2 k

上式取等号

所以 S1 ? S2

max

? 3 ???12 分.
???1 分

21. 解: (Ⅰ) 函数 f ( x) 的定义域为 ? 0 , ? ? ?

x ?1 ? ln x 2 f ?(1) ? 因为 f ?( x ) ? x , 2 ( x ? 1) x2
所以 f ?(1) ?

???2 分

1 1 ? 2 f ?(1) ,即 f ?(1) ? ? , 2 2

???3 分

x ?1 ? ln x 1 ln x 1 x ? ? 2, ? , f ( x) ? 所以 f ( x) ? 2 ( x ? 1) x x ?1 x

???4 分

? 令 x ?1 , 得 f (1)
y ?1 ? ?

1 ,

所 以 函 数 f ( x) 在 点 ( 1 ,f

( 1处 ) )的 切 线 方 程 为
???6 分

1 ( x ? 1,即 ) x ? 2y ?3 ? 0 . 2 2 ln x 1 ? ?0, 1 ? x2 x

(Ⅱ) 因为 0 ? x ? 1 ,所以不等式等价于:

???7 分

因为

2ln x 1 1 1 ? x2 ? ? (2ln x ? ), 1 ? x2 x 1 ? x2 x 1 ? x2 ? x2 ? 2 x ?1 ( x ? 1) 2 ? ? ,则 g ?( x) ? , x x2 x2
???9 分

令 g ( x) ? 2ln x ?

因为 0 ? x ? 1 ,所以 g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 ? 0 , 1? 上为减函数. 又因为 g (1) ? 0 ,所以, 当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 0 , 此时,

1 2 ln x 1 ? g ( x) ? 0 , 即 ? ?0, 2 1? x 1 ? x2 x

???11 分 ???12 分

所以,当 0 ? x ? 1 时, ( x ? 1) ? f ( x) ? ln x .

第 22 、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22. 解:(Ⅰ)曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 , 化为标准方程为: ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 ,

P (3 ,

?
2

) 化为直角坐标为 P (0 , 3) ,

1 ? ? ? x ? t, x ? t cos , ? ? 2 ? ? 3 直线 l 的参数方程为 ? 即? ( t 为参数) . ? 3 ? y ? 3 ? t sin , ?y ? 3? t, ? ? 3 ? ? 2
(Ⅱ) 将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,得 ( t ? 1) 2 ? ( 整 理得: t 2 ? ( 3 ?1)t ? 3 ? 0 , 显然有 ? ? 0 ,则 t1 ? t2 ? ?3 , t1 ? t2 ? ? 3 ? 1

???5 分

1 2

3 t ? 1)2 ? 5 , 2

PA ? PB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? ?3 ? 3 ,
PA ? PB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? 16 ? 2 3
所以

PA ? PB 1 1 16 ? 2 3 ? ? ? . PA PB PA ? PB 3

???10 分

23. 解: (Ⅰ)由 f ( ? 1 ) ? f (2) ? 5 得, m ?1 ? m ? 2 ? 5 ,

m ? ?2, m ? 1, ? ? ?2 ? m ? 1, ? 或? 或? ?? ?1 ? m ? m ? 2 ? 5, ?1 ? m ? m ? 2 ? 5, ?m ? 1 ? m ? 2 ? 5, [来源:学§科§网 Z
§X§X§K]

? m ? ?3 ,或 m ? 2 ,
所以 m 的取值范围是 (?? , ?3] ? [ 2 , ? ?) . (Ⅱ)当 x ? 0 时, ???5 分[来源:Zxxk.Com]

f(

1 1 1 1 1 ) ? f ( ? x) ? ? m ? ? x ? m ? ? m ? x ? m ? ? x ? ? x ? 2 . x x x x x
???10 分

(当且仅当 x ? ?1 时“=”成立) ,所以 a 的最大值为 2 .


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