安徽数学文精校版--2011普通高等学校招生统一考试


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2011 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ卷第 3 页至第 4 页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟: 考生注意事项: 答题前,务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡 上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背 面规定的地方填写姓名和座位号后两位。 答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上 书写,要求字体工整、 .... 笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡 规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑 ... 色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出书 写的答案无效 , ... ...... 在试题卷 、草稿纸上答题无效 。 .... ........ 考试结束后,务必将试题卷和答题卡一并上交。 参考公式: 椎体体积 V ? Sh ,其中 S 为椎体的底面积,h 为椎体的高. 若y?
y? 1 n 1 n ? ( x , y ) , ( x , y ) …, ( x , y ) 为样本点, 为回归直线, 则 y ? bx ? a y x ? ? 1 ? x1 , n i ?1 n i ?1

1 3

1 n ? y1 n i ?1

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b?

? ? x1 ? y ?? y1 ? y ?
i ?1

n

?? x ? x ?
i ?1 1

n

?

?x y
i ?1 n

n

1 1 2 i

? nx y ? nx 2

2

?x
i ?1

, a ? y ? bx

a ? y ? bx

说明:若对数据适当的预处理,可避免对大数字进行运算. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的。 (1)设是虚数单位,复数 (A)2
?? ai 为纯虚数,则实数 a 为 ??i ? ? (B) ? 2 (C) ? (D) ? ?

(2)集合 U ? ??, ?, ?, ?, ?, ?? , S ? ??, ?, ?? , T ? ??, ?, ?? ,则 S ? (CU T ) 等于 (A) ??, ?, ?, ?? (B) ??, ?? (3)双曲线 ? x ? ? y ? ? ? 的实轴长是 (A)2 (B) ? ? (C)4 (D)4 ? (C) ??? (D) ??, ?, ?, ?, ??

(4)若直线 ?x ? y ? a ? ? 过圆 x ? ? y ? ? ? x ? ? y ? ? 的圆心,则 a 的值为 (A) ? 1 (B)1 (C)3 (D) ? 3

(5)若点(a,b)在 y ? lg x 图像上, a ? ? ,则下列点也在此图像上的是 (A) ( ,b) (B) (10a,1 ? b) (C) (
? a ?? ,b+1) (D) (a2,2b) a

?x ? y ? 1, ? (6)设变量 x,y 满足 ?x ? y ? 1 ,则 x ? ? y 的最大值和最小值分别为 ?x ? ? ?
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(A)1, ? 1

(B)2, ? 2

(C)1, ? 2

(D)2, ? 1

(7)若数列 ?an ? 的通项公式是 an ? (?1)n (3n ? 2), 则a1 ? a2 ? ? ? a10 ? (A)15 (B)12 (C) ??? (D) ???

(8)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 (A)48 (B)32+8 ?? (C)48+8 ?? (D)80 (9)从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩 形的概率等于 (A)
? ? ? (B) (C) ?? ? ?

(D)

? ?

(10)函数 f ( x) ? ax n (1 ? x) 2 在区间〔0,1〕上的图像如 示,则 n 可能是 (A)1 (C)3 (B)2 (D)4 第 II 卷(非选择题 共 100 分) 考生注意事项: 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效 . .................

图所

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位 置. (11)设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时, f ( x) = 2 x 2 ? x ,则 f (1) ? .

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(12)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果 (13)函数 y ?
1 6 ? x ? x2

是.

的定义域是.
b =2,则

(14) 已知向量 a, b 满足 (a+2b) · (a-b) =-6, 且 a =1, a 与 b 的夹角为. (15)设 f ( x) = a sin 2 x ? b cos 2 x ,其中 a,b ? R,ab ? 0,
f ( x) ? f ( ) 对一切 x ? R 恒成立,则 6



?

① f(

11? )?0 12

② f(

7? ? )< f( ) 10 5

③ f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数 ④ f ( x) 的单调递增区间是 ? ? k? ? , k? ?
? 6

?

2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

⑤存在经过点(a,b)的直线与函数 f ( x) 的图像不相交 以上结论正确的是(写出所有正确结论的编号). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.解答写在答题卡的制定区域内. (16) (本小题满分 13 分) 在△ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 所对的边长, a= 3 , b= 2 , 1 ? 2 cos( B ? C ) ? 0 , 求边 BC 上的高.

(17) (本小题满分 13 分)
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设直线 l1 : y ? k1 x ? 1, l 2 : y ? k 2 x ? 1, 其中实数k1 , k 2 满足k1 k 2 ? 2 ? 0. (Ⅰ)证明 l1 与 l2 相交; (II)证明 l1 与 l2 的交点在椭圆 2x 2 +y 2 =1上.

(18) (本小题满分 13 分) 设 f ( x) ?
ex ,其中 a 为正实数. 1 ? ax 2
4 3

(Ⅰ)当 a ? 时,求 f ( x) 的极值点; (Ⅱ)若 f ( x) 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围.

(19) (本小题满分 13 分) 如图, ABEDFC 为多面体,平面 ABED 与平面 ACFD 垂 在线段 AD 上,OA ? 1 ,OD ? 2 ,△OAB,△OAC,△ODE, 是正三角形。 (Ⅰ)证明直线 BC∥EF ; (Ⅱ)求棱锥 F ? OBED 的体积. 直,点 O △ODF 都

(20) (本小题满分 10 分) 某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据:
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年份

2002

2004 246

2006 257

2008 276

2010 286

需求量 (万吨) 236

(Ⅰ)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 y ? bx ? a ; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食需求量。 温馨提示:答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明.

(21) (本小题满分 13 分) 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n ? 2 个数构成递增的等比数列,将这 n ? 2 个 数的乘积记作 Tn ,再令 an ? lg Tn, n≥1 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? tan an ?tan an ?1 , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

参考答案 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 5 分,满分 50 分.
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(1)A (2)B (3)C (4)B (5)D (6)B (7)A (8)C (9)D (10)A 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 5 分,满分 25 分. (1)-3 (12)15 (13) (-3,2) (14)
? 3

(15)①,③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. (16) (本小题满分 13 分)本题考查两角和的正弦公式,同角三角函数的基本关系, 利用正弦定理或余弦定理解三角形,以及三角形的边与角之间的对应大小关系,考 查综合运算求和能力. 解:由1 ? 2 cos( B ? C ) ? 0和B ? C ? ? ? A ,得
1 ? 2 cos A ? 0, cos A ? 1 3 , sin A ? . 2 2 b sin A 2 ? . a 2

再由正弦定理,得 sin B ?

由b ? a知B ? A, 所以B不是最大角, B ?

?
2

, 从而 cos B ? 1 ? sin B ?

2 . 2

由上述结果知 sin C ? sin( A ? B) ?

2 3 1 ( ? ). 2 2 2 3 ?1 . 2

设边 BC 上的高为 h,则有 h ? b sin C ?

(17) (本小题满分 13 分)本题考查直线与直线的位置关系,线线相交的判断与证 明,点在曲线上的判断与证明,椭圆方程等基本知识,考查推理论证能力和运算求 解能力. 证明: (Ⅰ)反证法, 假设是 l1 与 l2 不相交, 则 l1 与 l2 平行, 有 k1=k2, 代入 k1k2+2=0,
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k12 ? 2 ? 0.

此与 k1 为实数的事实相矛盾. 从而 k1 ? k 2 ,即l1与l 2 相交. (II) (方法一)由方程组 ?
? y ? k1 x ? 1 ? y ? k2 x ? 1

2 ? ?x ? k ? k , 2 1 解得交点 P 的坐标 ( x, y ) 为 ? ? ? y ? k 2 ? k1 . ? k 2 ? k1 ?



2 x 2 ? y 2 ? 2(

2 2 k ? k1 2 8 ? k 2 ? k12 ? 2k1 k 2 k12 ? k 2 ?4 2 )2 ? ( 2 ) ? ? ? 1. 2 2 2 2 k 2 ? k1 k 2 ? k1 k 2 ? k1 ? 2 k1 k 2 k1 ? k 2 ? 4

此即表明交点 P( x, y )在椭圆2 x 2 ? y 2 ? 1上. (方法二)交点 P 的坐标 ( x, y ) 满足
? y ? 1 ? k1 x ? ? y ? 1 ? k2 x y ?1 ? k1 ? , ? ? x 故知x ? 0.从而? ?k ? y ? 1 . 2 ? x ? y ?1 y ?1 代入k1 k 2 ? 2 ? 0, 得 ? ? 2 ? 0. x x

整理后,得 2 x 2 ? y 2 ? 1, 所以交点 P 在椭圆 2 x 2 ? y 2 ? 1上. (18) (本小题满分 13 分)本题考查导数的运算,极值点的判断,导数符号与函数 单调变化之间的关系,求解二次不等式,考查运算能力,综合运用知识分析和解决 问题的能力. 解:对 f ( x) 求导得 f ?( x) ? e x
1 ? ax 2 ? ax . (1 ? ax 2 ) 2



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(Ⅰ) 当 a ? ,若 f ?( x) ? 0, 则4 x 2 ? 8 x ? 3 ? 0, 解得x1 ? , x 2 ? . 综合①,可知
x
f ?( x) f ( x)

4 3

3 2

1 2

1 (??, ) 2

1 2

1 3 ( , ) 2 2

3 2

3 ( , ?) 2

所 以
x1 ?

+ ↗
1 2

0 极大值

- ↘

0 极小值

+ ↗

,
3 是 2

极 小 值 点, x 2 ? 是极大值点. (II)若 f ( x) 为 R 上的单调函数,则 f ?( x) 在 R 上不变号,结合①与条件 a>0,知
ax 2 ? 2ax ? 1 ? 0

在 R 上恒成立,因此 ? ? 4a 2 ? 4a ? 4a(a ? 1) ? 0, 由此并结合 a ? 0 ,知 0 ? a ? 1. (19) (本小题满分 13 分)本题考查空间直线与直线,直线与平面,平面与平面的 位置关系,空间直线平行的证明,多面体体积的计算,考查空间想象能力,推理论 证能力和运算求解能力. (Ⅰ)证明:设 G 是线段 DA 与 EB 延长线 由于△OAB 与△ODE 都是正三角形,所以
OB ?
1 DE ,OG=OD=2, 2

的交点.

同理, 设 G ? 是线段 DA 与 FC 延长线的交点,
OG ? ? OD ? 2.

有 所以 G 与

又由于 G 和 G ? 都在线段 DA 的延长线上,
G ? 重合.

在△GED 和△GFD 中,由 OB ?

1 1 DE 和 OC ? DF ,可知 B 和 C 分别是 GE 和 GF 的中 2 2

点,所以 BC 是△GEF 的中位线,故 BC∥EF.
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3 ,而△OED 是边长为 2 的正三 2

(II)解:由 OB=1,OE=2, ?EOB ? 60?, 知S EOB ? 角形,故 S OED ? 3. 所以 S OEFD ? S EOB ? S OED ?
3 3 . 2

过点 F 作 FQ⊥DG, 交 DG 于点 Q, 由平面 ABED⊥平面 ACFD 知, FQ 就是四棱锥 F—OBED 的高,且 FQ= 3 ,所以 VF ?OBED ? FQ ? S OBED ? . (20) (本小题满分 10 分)本题考查回归分析的基本思想及其初步应用,回归直线 的意义和求法,数据处理的基本方法和能力,考查运用统计知识解决简单实际应用 问题的能力. 解: (Ⅰ)由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直线上升,下面来配回 归直线方程,为此对数据预处理如下: 年份—2006 需求量—257 -4 -21 -2 -11 0 0 2 19 4 29
1 3 3 2

对预处理后的数据,容易算得
x ? 0, y ? 3.2, (?4) ? (?21) ? (?2) ? (?11) ? 2 ? 19 ? 4 ? 29 260 b? ? ? 6.5, 40 42 ? 22 ? 22 ? 42 a ? y ? b x ? 3.2.

由上述计算结果,知所求回归直线方程为
y ? 257 ? b( x ? 2006) ? a ? 6.5( x ? 2006) ? 3.2,
?

即 y ? 6.5( x ? 2006) ? 260.2.

?



(II)利用直线方程①,可预测 2012 年的粮食需求量为
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6.5(2012 ? 2006) ? 260.2 ? 6.5 ? 6 ? 260.2 ? 299.2 (万吨)≈300(万吨).

21. (本小题满分 13 分)本题考查等比和等差数列,指数和对数的运算,两角差的 正切公式等基本知识,考查灵活运用知识解决问题的能力,综合运算能力和创 新思维能力. 解: (Ⅰ) 设 l1 , l 2 ,? , l n ? 2 构成等比数列,其中 t1 ? 1, t n ? 2 ? 100, 则
Tn ? t1 ? t 2 ? ? ? t n ?1 ? t n ? 2 , Tn ? t n ?1 ? t n ? 2 ? ? ? t 2 ? t1 ,

① ②

①×②并利用 t1t n ?3?i ? t1t n ? 2 ? 10 2 (1 ? i ? n ? 2), 得
Tn2 ? (t1t n ? 2 ) ? (t 2 t n ?1 ) ? ? ? (t n ?1t 2 ) ? (t n ? 2 t1 ) ? 10 2 ( n ? 2 ) ,? a n ? lg Tn ? n ? 2, n ? 1.

(II)由题意和(Ⅰ) 中计算结果,知 bn ? tan(n ? 2) ? tan(n ? 3), n ? 1. 另一方面,利用 tan 1 ? tan((k ? 1) ? k ) ? 得 tan(k ? 1) ? tan k ?
n n?2 k ?3

tan(k ? 1) ? tan k , 1 ? tan(k ? 1) ? tan k

tan(k ? 1) ? tan k ? 1. tan 1

所以 S n ? ? bk ?? tan(k ? 1) ? tan k
k ?1

tan(k ? 1) ? tan k ? 1) tan 1 k ?3 tan(n ? 3) ? tan 3 ? ? n. tan 1 ? ?(
n?2

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