3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(教、学案)


3. 1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

一、教材分析 本节的主要内容是两角和与差的正弦、 余弦和正切公式, 为了引起学生学习本章的兴趣, 理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的方法,体会三角恒等变 换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。 二、教学目标 ⒈掌握两角和与差公式的推导过程; ⒉培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力; ⒊发展学生的正、逆向思维能力,构建良好的思维品质。 三、教学重点难点 重点:两角和与差公式的应用和旋转变换公式; 难点:两角和与差公式变 aSina+bCosa 为一个角的三角函数的形式。 四、学情分析 五、教学方法 1.温故、推新,循序渐进,以学生为主体逐步掌握本节知识要点 2.学案导学:见后面的学案。 3.新授课教学基本环节:预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精 讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 多媒体课件 七、课时安排:1 课时 八、教学过程 (一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式:

cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin? sin ? .
这是两角和与差的余弦公式,下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢? 提示:在第一章我们用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化,这对我们解决 今天的问题有帮助吗? 让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.

?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? sin ?? ? ? ? ? cos ? ? ?? ? ? ?? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? sin ? ?2 ? ? ?2 ? ?2 ? ?? 2 ?

? sin ? cos ? ? cos? sin ? .
sin ?? ? ? ? ? sin ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? sin ? cos ? ? ? ? ? cos ? sin ? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征,并思考两角和与差正切公式.(学生动手)

1

tan ?? ? ? ? ?

sin ?? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? . ? cos ?? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

通过什么途径可以把上面的式子化成只含有 tan ? 、 tan ? 的形式呢?(分式分子、分 母同时除以 cos ? cos ? ,得到 tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

注意: ? ? ? ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k? , ? ?

?
2

? k? (k ? z )

以上我们得到两角和的正切公式,我们能否推倒出两角差的正切公式呢?

tan ?? ? ? ? ? tan ? ?? ? ? ? ? ?? ??
注意: ? ? ? ? (二)例题讲解

tan ? ? tan ? ? ? ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k? , ? ?

?
2

? k? (k ? z ) .

例 1、已知 sin ? ? ? , ? 是第四象限角,求 sin ? 值.

3 5

?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ,cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ? 的 4? ?4 ? ?4 ? ?

4 3 ? 3? 2 解:因为 sin ? ? ? , ? 是第四象限角,得 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? ? , 5 5 ? 5?

2

3 ? sin ? 3 tan ? ? ? 5 ?? , 4 cos ? 4 5
于是有 sin ?

? ? 2 4 2 ? 3? 7 2 ?? ? ? ? ? ? sin cos ? ? cos sin ? ? ? ? ?? ? ? ? 4 4 2 5 2 ? 5 ? 10 ?4 ?

? ? 2 4 2 ? 3? 7 2 ?? ? cos ? ? ? ? ? cos cos ? ? sin sin ? ? ? ? ??? ? ? 4 4 2 5 2 ? 5 ? 10 ?4 ?
两结果一样,我们能否用第一章知识证明?

3 ? ?1 ? 4 ? 4 tan ? ? ? ? ? ? ?7 ? 4 ? 1 ? tan ? tan ? 3? ? 1? ? ? ? 4 ? 4?

??

tan ? ? tan

?

2

例 2、利用和(差)角公式计算下列各式的值:

i s 7 2c o s 4 2 c o s 7 2 n i s 4 2 (1) 、n

?

o s 2 0c o s 7 0 n i s 2 0 n i s 7 0 ; (2) 、c

?

; (3) 、

1? n a 1 t 5 1? n a 1 t 5



解:分析:解此类题首先要学会观察,看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差 正弦、余弦和正切公式中哪个相象.

i s 7 2o c s 4 2 o c s 7 2 n i s 4 2 n7 i s2 ? 4 2 (1) 、n
o s 2 0c o s 7 0 n i s 2 0 n i s 7 0 (2) 、c c o s2 0 ? 7 0

n i 3 s 0
c o s 9 0 0

?
?

?
?

?
?

??
??

?
?

1 ; 2


(3) 、

1? n a 1 t 5 n a t 4 5 n a 1 t 5 ? 1? n a 1 t 5 1n a t 4 5n a 1 t 5 ?

?

?n a t4 5 ?1 5 ? n a t 6 0

? ?3

?



例 3、化简 2 cos x ? 6 sin x 解:此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象,但我们能否发现规律呢?

?1 ? 3 2 cos x ? 6 sin x ? 2 2 ? cos x ? sin x ? ?2 ? ? 2 2 ? sin 30 cos x ? cos 30 sin x ? ? 2 2 sin ? 30 ? x ? 2 ? ?
思考: 2 2 是怎么得到的? 2 2 ?

? 2? ?? 6?
2

2

,我们是构造一个叫使它的正、

余弦分别等于

1 3 和 的. 2 2

(三)反思总结,当堂检测。 本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式,我们要熟记公式,在解题过程中要 善于发现规律,学会灵活运用.教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测。 设计意图:引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。 (课堂实录) (四)发导学案、布置预习。 设计意图:布置下节课的预习作业,并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸 拓展训练。 九、板书设计 十、教学反思 ⑴注重教学过程,注重探索,应贯穿于每一节课的始终。 ⑵充分挖掘知识之间、例题之间、例题与练习之间的内在联系,创设问题情景,激发学 生的学习兴趣。 ⑶通过不断地提出问题、解决问题,逐步培养学生的分析问题解决问题的能力。 在后面的教学过程中会继续研究本节课,争取设计的更科学,更有利于学生的学习,也 希望大家提出宝贵意见,共同完善,共同进步! 十一、学案设计(见下页)
3

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
课前预习学案 一、预习目标 1.理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式,初步运用公式求一些角的三角函数 值; 2.经历两角和与差的三角公式的探究过程, 提高发现问题、 分析问题、 解决问题的能力; 二、预习内容 1、在一般情况下 sin(α +β )≠sinα +sinβ ,cos(α +β )≠cosα +cosβ .

3 ? ? sin ? ? , 则 sin(? ? ) ? _________; 若? 是第四象限角,则 sin(? ? ) ? _________ . 5 4 4 tan ? ? 2,?是第三象限角,求 tan(? ?

?

6

) ? __________ _ .

注意角的变换及公式的 灵活运用,如? ? (? ? ? ) ? ? ;2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ),
2、 ? ? ?

2

? (? ?

? ? ) ? ( ? ? )等。 2 2
2 , tan( ? ? ?) ? 5
C、

已知 tan( ? ? ?) ?

1 ? ,那么 tan( ? ? )的值为 ( 4 5

)

A、-

3 18

B、

3 18

13 12

D、

3 22

3.在运用公式解题时,既要注意公式的正用,也要注意公式的反用和变式运用.如公式 tan(α ±β )=

tan? ? tan ? 可变形为:tanα ±tanβ =tan(α ±β )(1 ? tanα tanβ ); 1 ? tan? tan ?

±tanα tanβ =1-

tan? ? tan ? , tan( ? ? ?)

tan20? ? tan40? ? 3 tan20? tan40? ? __________ _.
4、又如:asinα +bcosα = a 2 ? b 2 (sinα cosφ +cosα sinφ )= φ ),其中 tanφ =

a 2 ? b 2 sin(α +

b 等,有时能收到事半功倍之效. a

sin ? ? cos? ? __________ ;
3 cos x ? sin x =_____________.

sin ? ? cos? ? __________ _.

三、提出疑惑
4

同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标 1. 能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式,以及两角和与差的正弦、正切公式, 了解公式间的内在联系。 2.能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。 学习重难点: 1. 教学重点:两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用; 2. 教学难点:两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 二、学习过程 (一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式:

动手完成两角和与差正弦和正切公式.

观察认识两角和与差正弦公式的特征,并思考两角和与差正切公式.

通过什么途径可以把上面的式子化成只含有 tan ? 、 tan ? 的形式呢?(分式分子、分 母同时除以 cos ? cos ? ,得到 tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

注意: ? ? ? ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k? , ? ?

?
2

? k? (k ? z )

以上我们得到两角和的正切公式,我们能否推倒出两角差的正切公式呢?

tan ?? ? ? ? ? tan ? ?? ? ? ? ? ?? ??
注意: ? ? ? ? (二)例题讲解

tan ? ? tan ? ? ? ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k? , ? ?

?
2

? k? (k ? z ) .

例 1、已知 sin ? ? ? , ? 是第四象限角,求 sin ?
5

3 5

?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ,cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ? 的 4? ?4 ? ?4 ? ?

值.

例 2、利用和(差)角公式计算下列各式的值:

i s 7 2c o s 4 2 c o s 7 2n i s 4 2 (1) 、n

?

o s 2 0c o s 7 0 n i s 2 0n i s 7 0 ; (2) 、c

?

; (3) 、

1? a n 1 t 5 1? a n 1 t 5



例 3、化简 2 cos x ? 6 sin x

(三)反思总结

( 四 ) 当堂检测

1、 sin 7? cos37? ? sin 83? sin 37?的值为 (
6

)

(A) ?

3 2

(B) ?

1 2

(C)

1 2

(D)

3 2

1 ? tan2 75? 2、 的值为 ( tan75?
(A) 2 3

)

(B)

2 3 3 2 3 3

?C ? ? 2

3

(D) ?

3、 若sin 2x sin 3x ? cos2x cos3x, 则x的值是 (
(A)

)

?

10 ? (C) 5

? 6 ? (D) 4
(B)

1 ?? ? 3? ? ? 4、 若 cos? ? ,? ? ? ,2? ?, 则 sin?? ? ? ? ________ . 5 3? ? 2 ? ?

3 ? tan15? 5、 ? _________ . 1 ? 3 tan15?
6、 cos?? ? ? ?cos ? ? sin?? ? ? ?sin ? ? _________ .
参考答案 1、 ?

1 2

2、C

3、A

4、

?2 6 ? 3 10

5、1

6、 cos?

课后练习与提高 1. 已知 tan ?? ? ? ? ?

2 ?? 1 ?? ? ? ( ) , tan ? ? ? ? ? , 求 tan ? ? ? ? 的值. 5 4? 4 4? ? ?

7

2. 若 ? , ?均为锐角,且 sin ? ? sin ? ? ? 3、函数 y ? cos

?
2

1 1 , cos ? ? cos ? ? , 则 tan( ? ? ? ) ? . 2 2

x ? cos ? ( x ? 1) 的最小正周期是___________________.
2

4、? 为第二象限角,sin ? ?

3 5 , ?为第一象限角, cos ? ? .求 tan( 2? ? ?)的值。 5 13

5.已知 sin(? ? 求 tan

?
2

)?

4 ? 12 ? ? , cos( ? ? ) ? ? , 且? ? 为第二象限角, ? ?为第三象限角, 5 2 13 2 2

???
2

.

8


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