河北省定州中学2016届高三上学期第二次月考数学(理)试题


河北定州中学 2016 届高三上学期第二次月考数学理试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x∈N|x2-2x≤0},则满足 A∪B={0,1,2}的集合 B 的个数为 ( ) A.3 B.4 C.7 D.8 2 3 2013 i ? i ? i ??? i 2. 已知复数 z ? ,则复数 z 在复平面内 1? i 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.执行如图 1 所示的程序框图,则输出的 n 值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 1 1 4.已知正项等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2014 ? 2 ,则 ? a 2 a 2013 的最小值为( ) A.1 B.2 C.2013 D.2014 5.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为棱 BB1 的中点(如图 2) , 用过点 A,E,C1 的平面截去该正方体的上半部分,则剩余 图1 几何体的左视图为( ) B
A D

C

E

A.

B.
A1 D1 C1 B1

图2

C. D. 6.若关于 x 的不等式 x ?1 ? x ? 2 ? a2 ? a ?1的解集为空集, 则实数 a 的取值范围 是( ) A. ? ??, ?1?
?

B.(-1,0)

C.(0,1)

D.(1,2)

1 7.设 n ? ? 2 4 sin xdx, 则二项式 ( x ? ) n 的展开式的常数项是( ) 0 x A.12 B.6 C.4 D.1 8. 设 a1 , a2 ,?, an 是 1, 2,?, n 的一个排列, 把排在 ai 的左边且比 ai 小的数的个数为 ai ( i =1,2,?,n)的顺序数,如在排列 6,4,5,3,2,1 中,5 的顺序数为

1, 3 的顺序数为 0,则在 1 至 8 这 8 个数的排列中,8 的顺序数为 2,7 的顺序 数为 3,5 的顺序数为 3 的不同排列的种数为( ) A.48 B.120 C.144 D.192

? ? 9.已知函数 g ( x) ? 1 ? cos( x ? 2? )(0 ? ? ? ) 的图象过点 (1, 2) ,若有 4 个不同的 2 2
正数 xi 满足 g ( xi ) ? M ,且 xi ? 8(i ? 1, 2,3, 4) ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 等于( A.12 )

B.20 C.12 或 20 D.无法确定 r r r r r r r r r r 10.已知 a 、 b 、 c 均为单位向量,且满足 a · b =0,则( a + b + c )·( a + c ) 的最大值是 ( ) A.2+2 2 C.2+ 5 B.3+ 2 D.1+2 3
x2 y 2 ? ? 1(a,b ? 0) 的左右焦点分别 a 2 b2
2 ,则双 2
F1
A

y

11. 如图,已知双曲线

为 F1、F2,|F1F2|=2,P 是双曲线右支上的一点,PF1⊥PF2,

F2P 与 y 轴交于点 A,△APF1 的内切圆半径为
曲线的离心率是( ) 5 A. B. 2 2

P

C. 3

D. 2 2

第 11 题图

O x

F2

x

12. 已知函数 y ? f ( x) 定义域为 (?? , ? ) ,且函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线

? x ? ?1 对称,当 x ? (0, ? ) 时, f ( x) ? ? f ?( ) sin x ? ? ln x , (其中 f ?( x) 是 f ( x) 的 2 1 导函数) , 若 a ? f (30.3 ), b ? f (log ? 3), c ? f (log 3 ) , 则 a, b, c 的大小关系是 ( ) 9
A. a ? b ? c
c?a?b

B. b ? a ? c

C. c ? b ? a

D.

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应 位置上)
?y ?1 ? 13.实数 x,y 满足 ? y ? 2 x ? 1, 如果目标函数 z=x—y 的最小值为-2,则实数 m ?x ? y ? m ?

的值为 。 14. 已知 f ( x) ? m( x ? 2m)(x ? m ? 3) , g ( x) ? 2x ? 2 ,若同时满足条件 ① ?x ? R , f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ;② ?x ? ? ??, ?4? , f ? x ? ? g ? x ? ? 0 . 则 m 的取值范围是______________.

15. 4cos50? ? tan 40? ? _____________________. (0, ? ?) ( 0, ? ?) 16. 已知定义域为 的函数 f ? x ? 满足: ( 1 )对任意 x ? ,恒有
m ? Z ,有 f ? 2 m ? = 0 ;② 函数 f ? x ? 的值域为 [0, ;③存在 n ? Z ,使得 ? ?)
f ? 2 n +1? =9 ;④“函数 f ? x ? 在区间 (a, b) 上单调递减”的充要条件是 “存在

(2)当 x ? (1,2] 时, f ? x ? ? 2 ? x .给出如下结论:①对任意 f ? 2x ?=2f ? x ? 成立;

k ? Z ,使得 (a, b) ? (2k , 2k ?1 ) ”.其中所有正确结论的序号是

.

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤,并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17.( 满 分 12 分 ) 已 知 集 合 ? 1 ? A ? ?x ? R 0 ? ax ? 1 ? 5? , B ? ? x ? R ? ? x ? 2? ? a ? 0 ? ; 2 ? ? ⑴ A, B 能否相等?若能,求出实数 a 的值,若不能,试说明理由? ⑵若命题 p : x ? A, 命题 q : x ? B 且 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范 围. 本 小 题

18.(本小题满分 12 分) 高考数学考试中共有 12 道选择题,每道选择题都有 4 个选项,其中有且仅有一个是正确的。评分标准规定: “在每小题给出的上个选 项中,只有一项是符合题目要求的,答对得 5 分,不答或答错得 0 分” 。某考生 每道选择都选出一个答案,能确定其中有 8 道题的答案是正确的,而其余题中, 有两道题都可判断出两个选项错误的,有一道题可能判断一个选项是错误的, 还有一道题因不理解题意只能乱猜。试求出该考生的选择题: ⑴得 60 分的概率; ⑵得多少分的概率最大?

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形.已知 AB ? 3, AD ? 2, PA ? 2, PD ? 2 2, ?PAB ? 60? . ⑴求异面直线 PC 与 AD 所成的角的余弦值; ⑵求二面角 P ? BD ? A 的正切值.

20.( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 半 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1? x ? 0 ? 与 半 椭 圆 a 2 b2
y
B2

y 2 x2 ? ? 1? x ? 0 ? 组 成 的 曲 线 称 为 “ 果 圆 ”, 其 中 b2 c2 a2 ? b2 ? c2 , a ? 0, b ? c ? 0 。如图,设点 F0 , F1 , F2 是相应椭圆 的焦点, A1 , A2 和 B 1 , B2 是“果圆” 与 x , y 轴的交点, ⑴若三角形 F0 F1 F2 是边长为 1 的等边三角形, 求 “果圆” 的方程; b ⑵若 A1 A2 ? B1B2 ,求 的取值范围; a ⑶一条直线与果圆交于两点, 两点的连线段称为果圆的弦。 是否 存在实数 k ,使得斜率为 k 的直线交果圆于两点,得到的弦的中 点的轨迹方程落在某个椭圆上?若存在,求出所有 k 的值;若不 存在,说明理由。

.F
A1

2

O

.

M

.

F0

A2

x

F1
B1

x 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f . ( x ) ? e ? a x ? 1 ( a ? 0 , e 为 自 然 对 数 的 底 数 ) ⑴求函数 f ( x ) 的最小值; ⑵若 f ( x ) ≥0 对任意的 x ?R 恒成立,求实数 a 的值; 1 n ? 1 n 2 n n n n e ⑶在(2)的条件下,证明: ( ) ? ( ) ? ? ? ? ? ( ) ? ( ) ?( 其 中 n ? N * ) n n n ne ? 1

请考生在(22).(23).(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做 的第一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂 C 黑. A 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 D 如图,直线 PA 为圆 O 的切线,切点为 A ,直径 BC ? OP ,连接 O AB 交 PO 于点 D . ⑴证明: PA ? PD ; ⑵求证: PA ? AC ? AD ? OC .
B

P

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? sin 2 ? ? 2a cos? (a ? 0) ,过点 P (?2,?4)的直线 l 的参

2 ? ? x ??2? 2 t 数方程为 ? y ??4? 2 t ? ? 2

( t 为参数) ,直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点.

⑴写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; ⑵若 PA ? PB ? AB 2 ,求 a 的值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? x ? 1 . ⑴求使不等式 f ( x) ? 6 成立的 x 的取值范围; ⑵ ?xo ? R , f ( xo ) ? a ,求实数 a 的取值范围.

河北定州中学 2016 届高三上学期第二次月考数学理 试题
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参考答案
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.
题号 答案 1 D 2 A 3 D 4 B 5 C 6 B 7 B 8 C 9 C 10 C 11 B 12 B

二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 8 14.(-4,-2) 15. 3 16.①②④ 三、解答题:共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1 ? 1 ? ?? ? ? 1 4? ? a 2 ?a?2 当 a?0 时 17. 解 析 : (1) 当 a ? 0 时 A ? ? x ? ? x ? ? ? ? a a? ? 4 ? ?2 ? ? a

? 4 1? A ? ? x ? x ? ? ? 显然 A ? B a? ? a
故 A ? B 时, a ? 2 ????6 分 (2) p ? q ? A ? B
?

0 ? ax ? 1 ? 5 ? ?1 ? ax ? 4

1 ? 1 1 ? 1 ? ?? ? ?? ? 4? ? a 2或 a 2 解得 a ? 2 ? 4 ?则? a? ? 4 ? 2 ? ?2 ? a ? a 1 ?4 ? ? ? 4 1? ? 2 ? a ? ?8 当 a ? 0 时, A ? ? x ? x ? ? ? 则 ? a 1 a a ? ? ?? ? 2 ? a
? 1 当 a ? 0 时, A ? ? x ? ? x ? ? a
综上 p 是 q 的充分不必要条件,实数 a 的取值范围是 a ? 2, 或 a ? ?8 ????12 分 18.解析: (1)要得 60 分,必须 12 道选择题全答对 依题意,易知在其余的四道题中,有两道题答对的概率各为 为

1 ,有一道题答对的概率 2

1 1 ,还有一道题答对的概率为 ,所以他做选择题得 60 分的概率为: 3 4 1 1 1 1 1 P? ? ? ? ? . ????5 分 2 2 3 4 48

(2)依题意,该考生选择题得分的可能取值有:40,45,50,55,60 共五种 得分为 40,表示只做对有把握的那 8 道题,其余各题都做错,于是其概率为:

P1 ?

1 1 2 3 6 ? ? ? ? 2 2 3 4 48

类似的,可知得分为 45 分的概率:

1 1 2 3 1 1 1 3 1 1 2 1 17 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 2 2 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 48 17 7 ; 得分为 55 的概率: P4 ? ; 得分为 50 的概率: P3 ? 48 48 1 . 得分为 60 的概率: P5 ? 48 ? 该生选择题得分为 45 分或 50 分的可能性最大。-------------------12 分
1 P2 ? C 2

19.解析: (Ⅰ)在 ?PAD 中,由题设 PA ? 2, PD ? 2 2 可得

PA 2 ? AD 2 ? PD 2 于是 AD ? PA .在矩形 ABCD 中, AD ? AB .又 PA ? AB ? A ,
所以 AD ? 平面 PAB . 由题设, BC // AD ,所以 ?PCB (或其补角)是异面直线 PC 与 AD 所成的角. 在 ?PAB 中,由余弦定理得

PB ? PA2 ? AB2 ? 2PA? AB? cos PAB ? 7
由 AD ? 平面 PAB , PB ? 平面 PAB , 所 以 AD ? PB , 因 而 BC ? PB , 于 是 ?P B C 是 直 角 三 角 形 , 故

tan?PCB ?

PB 7 2 11 . ? ? cos?PCB ? BC 2 11

所以异面直线 PC 与 AD 所成的角的余弦值为

2 11 .????6 分 11

(Ⅱ)过点 P 做 PH ? AB 于 H,过点 H 做 HE ? BD 于 E,连结 PE 因为 AD ? 平面 PAB , PH ? 平面 PAB ,所以 AD ? PH .又 AD ? AB ? A , 因而 PH ? 平面 ABCD ,故 HE 为 PE 再平面 ABCD 内的射影.由三垂线定理可知, BD ? PE ,从而 ? PEH 是二面角 P ? BD ? A 的平面角。 由题设可得,

PH ? PA ? sin 60? ? 3, AH ? PA ? cos 60? ? 1, BH ? AB ? AH ? 2, BD ? AB 2 ? AD 2 ? 13, AD 4 HE ? ? BH ? BD 13
于是再 Rt ?PHE 中, tan?PEH ?

39 4 39 .????12 分 4

所以二面角 P ? BD ? A 的正切值为

(用空间向量坐标法或其它方法,可以相应给分)

20.解析:⑴? F0 ( c, 0), F1 0, ? b2 ? c 2 , F2 0,b2 ? c 2 ,
? F0 F2 ?
3 4

?

?

?

?

?b

2

? c 2 ? ? c 2 ? b ? 1, F1 F2 ? 2 b 2 ? c 2 ? 1 ,
7 4 , 所 求 “ 果 圆 ” 方 程 为 x2 ? y 2 ? 1 ( x ≥ 0) , 4 7

2 于 是 c2 ? , a 2 ? b 2? c ?

4 y 2 ? x2 ? 1 ( x ≤ 0) 3

????4 分

⑵由题意,得

a ? c ? 2b ,即 a 2 ? b 2 ? 2b ? a .
b 4 ? . a 5

? ( 2b)2 ? b2 ? c2 ? a2 ,? a 2 ? b 2 ? (2b ? a) 2 ,得
又 b2 ? c2 ? a2 ? b2 , ? ⑶设“果圆” C 的方程为
b2 1 ? . a2 2
?

b ? 2 4? ?? , ? ? . ????7 分 a ? ? 2 5?

x2 y 2 y 2 x2 , ? ? 1 ( x ≥ 0) ? ? 1 ( x ≤ 0) . a 2 b2 b2 c 2

记平行弦的斜率为 k .
x2 y 2 ? ? 1 ( x ≥ 0) 的交点是 a 2 b2 ? ? ? y 2 x2 t2 ? t2 t ? ,与半椭圆 2 ? 2 ? 1 ( x ≤ 0) 的交点是 Q ? ? c 1 ? 2 , t ?. P ? a 1? 2, ? ? ? ? b b b c ? ? ? ? 2 ? a?c t x2 y2 ?x ? ? 1? 2 , y ) 满足 ? 得 ? ? 1. ? P,Q 的中点 M ( x, 2 b 2 b2 ? y ? t, ? a?c ? ? ? ?

当 k ? 0 时,直线 y ? t ( ? b ≤ t ≤ b ) 与半椭圆

?

2

?

a ? c ? 2b a ? c ? 2b ? a?c ? 2 ? ?0. ? a ? 2b ,? ? ? ?b ? ? 2 ? 2 2

2

综上所述,当 k ? 0 时, “果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上. 当 k ? 0 时,以 k 为斜率过 B1 的直线 l 与半椭圆
? 2ka 2b k 2 a 2b ? b3 ? ,2 2 . ? 2 2 2 2 ? ?k a ?b k a ?b ?

x2 y 2 ? ? 1 ( x ≥ 0) 的交点是 a 2 b2

由此, 在直线 l 右侧, 以 k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线 y ? ?

b2 x 上, ka 2

即不在某一椭圆上. 当 k ? 0 时,可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上.????12 分 x ? 21.解析: (1)由题意 a , ? 0 ,f () x ? e ? a x ? 由f 得 x?lna. () x? e ?? a0 当x 时, f ?(x ? ( ? ? , l n) a时, f ?(x )?0;当 x ? ( l n, a ? ? ) )?0. ∴f ( x ) 在 ( ? ? ,l na )单调递减,在 ( l na ,? ? )单调递增. 即 f ( x ) 在 x?lna处取得极小值,且为最小值,
其最小值为 f ( l n a ) ? e ?? a l n aa 1 ? ?? a l n a 1 .
l n a

??????4 分

)m ≥ 0. (2) f (x) ≥ 0对任意的 x ?R 恒成立,即在 x ?R 上, f (x in
由(1) ,设 g ,所以 g(a) ( a ) ? a ? aa l n ? 1 . ≥ 0.

? 由g 得 a ?1. ( a ) ? 1 ? l n a ? 1 ? ? l n a ? 0
易知 g ( a ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1 , ??) 上单调递减, ∴ g ( a ) 在 a ? 1 处取得最大值,而 g( 1 ) ?0.

a ? 1. 因此 g(a) ≥ 0的解为 a ? 1 ,∴
x

??????8 分
x

(3)由(2)知,对任意实数 x 均有 e ? ,即 1 x ? 1 ≥ 0 ?x≤ e. 令x ? ?
k ?? k k ,则 0 ?1? ≤e n . ( n ? N * , k ? 0 , 1 , 2 , 3 , … , n ? 1 ) n n

k ? ? kn n ? k ( 1 ?)≤ ( e n) ? e ∴ . n 12 n ? 1 n n nn n ? ( n ? 1 ) ? ( n ? 2 ) ? 2? 1 ∴( ) ? ( ) ? … ? () ? ( ) ≤ e ? e ? … ? e ? e ? 1 nn n n ? n 1 ? e 1 e ? ? ? ? ? 1 1 1 ? e 1 ? e e ? 1 . ????????12 分

22.证明:(1)∵直线 PA 为圆 O 的切线,切点为 A ∴∠PAB=∠ACB????????????????2 分 C ∵BC 为圆 O 的直径,∴∠BAC=90° A ∴∠ACB=90°-B D ∵OB⊥OP,∴∠BDO=90°-B???????????4 分 O 又∠BDO=∠PDA,∴∠PAD=∠PDA=90°-B ∴PA=PD???????????????????5 分 (2)连接 OA,由(1)得∠PAD=∠PDA=∠ACO B ∵∠OAC=∠ACO ∴Δ PAD∽Δ OCA???????????????8 分 PA AD ∴ = ∴PA?AC=AD?OC???????????????10 分 OC AC

P

23.解析:(1) 由 ρ sin θ =2acosθ (a>0)得 ρ sin θ =2aρ cosθ (a>0) 2 ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y =2ax(a>0)?????????2 分 直线 l 的普通方程为 y=x-2?????????????4 分 2 (2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程 y =2ax 中, 2 得 t -2 2(4+a)t+8(4+a)=0 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2 则有 t1+t2=2 2(4+a), t1t2=8(4+a)???????????6 分 2 ∵|PA|?|PB|=|AB| 2 2 ∴t1t2=(t1-t2) , 即(t1+t2) =5t1t2????????????8 分 2 2 ∴[2 2(4+a)] =40(4+a) a +3a-4=0 解之得:a=1 或 a=-4(舍去) ∴a 的值为 1???????????????????10 分 24. 解析:(1) 由绝对值的几何意义可知 x 的取值范围为(-2,4) ???5 分 (Ⅱ) ? x0?R,f(x0)<a,即 a>f(x)min ??????????????7 分 由绝对值的几何意义知:|x-3|+|x+1|可看成数轴上到 3 和-1 对应点的距离和. ∴f(x)min=4 ???????????????????9 分 ∴a>4 所求 a 的取值范围为(4,+∞) ????????????????10 分

2

2

2

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