2、随机事件及其概率


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2.1 随机事件
2.1.1 随机现象

定义
?如果一种现象我们可以根据其赖以存在的条件,事先 准确地断定它们未来的结果,则这种现象我们成为确定性现

象。
?如果一种现象如果在同样条件下进行同样的观测或试 验可能发生不同的结果,这种现象称为随机现象。

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2.1.2 随机试验与随机事件 定义 对随机现象进行实验或观察的过程,如果具有下列 特点: ?重复性:在相同条件下,试验可以重复进行; ?明确性:试验结果不止一个,但明确所有结果; ?随机性:试验前不能准确地预言该次试验将出现哪种结果。

则称之为随机试验,一般记为E。

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定义 在随机试验中试验的每一个可能结果称为随机事 件,简称为事件,用A、B、C表示。 ? 随机试验中不能分解成其它事件组合的最简单的随机 事件称为基本事件。 ? 随机试验中能够分解成其它事件组合的随机事件称为 复合事件。 ? 每次试验中一定发生的事件称为必然事件,记为Ω; ? 一定不会发生的事件称为不可能事件,记为Φ。

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例 对试验E:掷一个骰子。连线:
A=“出现偶数点” B=“点数小于7” C=“点数为3” D=“点数大于8” 基本事件 复合事件 必然事件 不可能事件

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2.1.3 样本空间

定义 为了方便,把随机试验中的每一个基本结果用一
个点表示,称之为样本点,记为ω。 所有样本点组成的集合称为样本空间,记为Ω。 随机事件与集合的对应:

? 随机事件定义为样本空间的某个子集;
? 基本事件定义为样本空间的某个单点集; ? 样本空间作为随机事件为必然事件;

? 空集作为随机事件为不可能事件。

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2.1.4事件间的关系与运算 由于随机事件可以用集合来表示,因此可以参照集合的 关系来定义事件的关系和运算。 ? 包含和相等 定义 如果事件A发生会导致B发生,则称B包含A,或A 包含于B,记为 A ? B或B ? A。 若B包含A且A包含B,则称A与B相等或A与B等价,记为 A=B。

对 ?事件A,? ? A ? ? 。

Ω B A

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?和 定义 事件“A与B至少有一个发生”称为A与B的和或并, 记为A+B或A∪B。 Ω

A A+B B

运算率: ? 交换律:A∪B=B∪A; ? 结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C); ? A ? B ? A? B ? B。

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?积 定义 事件“A与B同时发生”称为A与B的积或交,记为 AB或A∩B。 Ω A
AB B

运算率: ? 交换律:AB=BA; ? 结合律:(AB)C=A(BC); ? A ? B ? AB ? A; ? 分配率:A(B∪C)=AB∪AC,A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)。

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? 互不相容 定义 若事件A和B不可能同时发生,则称A与B是互不相 容的或互斥的,记为AB=Φ。
Ω A B

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? 对立事件 定义 事件“A没有发生”称为A的对立事件或逆事件, 记为 A 。 Ω A
A

运算率: ? 若A为B的对立事件,则B也是A的对立事件,这时称 A与B互为对立事件; ? 两个对立事件一定是互不相容的,但反之不真; ? 对立事件满足关系式:A ? A,AA ? ?,A ? A ? ?; ? 事件的减法可以表示为:A ? B ? AB ; ? 对偶律(Demorgan公式): A ? B ? AB ,AB ? A ? B 。

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?差 定义 事件“A发生而B不发生”称为A与B的差,记为 A-B或A\B 。
Ω

A-B

B

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例 若A、B、C是同一个随机试验中的事件,用事件的关 系和运算表示下面的事件: ? A发生而B、C都不发生; ABC ? A ? B ? C ? A、B都发生而C不发生; AB C ? AB ? C ? A、B、C都发生; ABC ? A、B、C至少有一个发生; A ? B ? C
? A、B、C中正好有一个发生; ABC ? ABC ? ABC ? A、B、C至少有两个发生;AB ? AC ? BC ? A、B、C中正好有两个发生; ABC ? ABC ? ABC ? A、B、C最多有一个发生; ABC ? ABC ? ABC ? ABC ? AB ? AC ? BC ? A、B、C最多有两个发生; ABC ? ABC ? ABC ? ABC ? ABC ? ABC ? ABC ? ABC

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例 设袋中有红、白、黄各一球,有放回抽取三次(取出 球后仍把球放回原袋中),每次取一球。试说明下列各组事件 是否相容?若不相容,说明是否对立? ? A=“三次抽取颜色全不同”,B=“三次抽取颜色不全 同”; ? A=“三次抽取颜色全同”,B=“三次抽取颜色不全 同”; ? A=“三次抽取无红色球”,B=“三次抽取无黄色球”; ? A=“三次抽取无红色球也无黄色球”,B=“三次抽取 无白色球”。

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2.2 随机事件的概率
在历史上,概率曾有过四次定义:
? 古典定义:概率的最初定义; ? 统计定义:基于频率的定义; ? 几何定义:古典概率的推广; ? 公理化定义:纯数学的抽象。

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2.2.1 随机事件的频率 定义 设A为随机试验E中的事件,重复n次试验E时A发生 的次数称为A在n次试验中发生的频数,记为μn(A)。 比值fn(A)=μn(A)/n称为A在n次试验中发生的频率。

定理 频率有如下性质:
? 非负性:0≤fn(A)≤1; ? 正则性:fn(Ω)=1; ? 有限可加性:若m个事件A1、A2、?、Am两两互不相 容,则fn(A1∪A2∪?∪Am)=fn(A1)+fn(A2)+?+fn(Am)。

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历史上数学家用抛硬币进行验证频率的稳定性得到结果: 试验者 德摩根 蒲 费 丰 勒 试验次数 2048 4040 10000 频数 1061 2048 4979 频率 0.5181 0.5069 0.4979

皮尔逊
皮尔逊 维 尼

12000
24000 30000

6019
12012 14994

0.5016
0.5005 0.4998

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当实验次数足够大时,一件事件的频率总在一个固定的 数值附近波动。且随着实验次数的不断增大,事件的频率稳 定于这一数值,这一性质称为频率的稳定性。
定义(概率的统计定义) 在相同条件下重复进行同一试 验时,随着试验次数的无限增大,事件A发生的频率会稳定 在某一常数附近,称这个数值为事件A的概率,记作P(A)。 定理 概率的性质: ? 非负性:0≤P(A)≤1; ? 正则性:P(Ω)=1; ? 有限可加性:若A1、A2、?、An两两互不相容,则 P(A1∪A2∪?∪An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An) 。

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2.1.2概率的公理化定义 定义 设随机试验E的样本空间为Ω,若对Ω的任意一个 子集A,都有唯一的实数P(A)与之对应,且对应关系P满足下 列条件: ? 非负性:0≤P(A)≤1; ? 正则性:P(Ω)=1; ? 可列可加性:若A1、A2、?、An、?两两互不相容,则 P(A1∪A2∪?∪An∪?)=P(A1)+P(A2)+?+P(An)+? 则称P(A)为事件A的概率。

Kolmogorov

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定理 概率的性质:
? 不可能事件的概率为零:P(Φ)=0; ? 减法公式:P(A-B)=P(A)-P(AB);

? 若 A ? B,则P( A ? B) ? P( A) ? P( B);
? 加法公式: P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB); ? 若A、B互不相容,则P(A∪B)=P(A)+P(B); ? P( A) ? 1 ? P( A) ; ? 一般加法公式:对任意n个事件A1、A2、?、An,

P(? Ai ) ? ? P( Ai ) ?
i ?1 i ?1

n

n

1?i ? j ? n

? P( A A ) ? ? P ( A A A ) ?
i j 1?i ? j ? k ? n i j k

? ? (?1) n?1 P( A1 A2 ? An )

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例 若事件A、B满足 P( AB ) ? P( AB) 且P(A)=p,求P(B)。 练习 已知P(A)=p,P(B)=q,P(A+B)=r,求P( AB )和P( A ? B )。 例 小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答出甲、乙两类 问题的概率分别为0.7和0.2,两类问题都能答出的概率为0.1。 求小王: ? 答出甲类而答不出乙类问题的概率; ? 至少有一类问题答不出的概率; ? 两类问题都答不出的概率。

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2.3 古典概率模型(等概率模型)
2.3.1 古典概率模型 定义 设随机试验E具有如下特点: ? 试验的基本事件的个数有限; ? 各个基本事件发生的可能性相同。 则称E为古典概型。 (概率的古典定义) 设古典概型E中有n个基本事件,随机 事件A包含m个基本事件,则称 m 有利于A的基本事件数 P( A)? ? n 基本事件总数 为事件A的概率。

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2.3.2 基础知识
? 乘法原理 例 某人到食堂去买饭,主食有三种,副食有五种,他主 食和副食各买一种,共有多少种不同的买法? 乘法原理 如果完成一件事需要k个步骤,其中,做第一 步有n1种不同的方法,做第二步有n2种不同的方法, ?,做 第k步有nk种不同的方法。那么,完成这件事一共有 n=n1×n2×?×nk 种不同的方法。

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注意 乘法原理运用的范围是: ? 这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成; ? 每个步骤各有若干种不同的方法来完成。 例 由数字0、1、2、3组成三位数,问:

? 可组成多少个不相等的三位数?
? 可组成多少个没有重复数字的三位数?

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? 加法原理

例 从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘
轮船。一天中,火车有4班,汽车有2班,轮船有3班。那么 一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的 走法? 加法原理 如果完成一件事有k类方法,其中第一类有n1 种不同的方法,第二类有n2种不同的方法,?,第k类有nk 种不同的方法。那么完成这件事一共有

n=n1+n2+?+nk
种不同的方法。

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注意 加法原理运用的范围是:

? 这件事要分几类彼此互不相同的方法完成;
? 每一类的每一种方法都可以把这件事情完成。 例 从5幅不同的国画、2幅不同的油画、7幅不同的水 彩画中选不同画种的两幅画布置房间,有几种选法?

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? 排列
例 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一 项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下 午的活动,有多少种不同的选法? 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一

定顺序,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个 数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记做Anm。

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定理

例 三个同学必须从四种不同的选修课中选一种自己
想学的课程,若一门课程只允许一名同学选。共有多少种 不同的选法?

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? 组合
例 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活 动,有多少种不同的选法? 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫 做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,记做Cnm。

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定理 例 10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小 组,共有多少种分法?

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2.3.2 古典概率模型中的概率计算
例 一只口袋中有3只黑球和2只白球,不放回地抽取两 次,每次取一个。求: ? 两次都取到白球的概率; ? 两次取的球颜色相同的概率; ? 至少有一次取到白球的概率。 练习 假设有100件产品,其中有60件一等品,30件二等

品,10件三等品,从中一次随机地抽取两件,求恰好抽到两
件一等品的概率。

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例 r个人随机地进入n(n>r)个不同的房中,设每个人进入
每个房间是等可能的。求这r个人每人住一个房间的概率。 练习 一学生宿舍共有10名学生,求:至少有两个人的生 日在同一天的概率。 至少有两个人的生日在同一天的概率:
人数 20 25 30 40 50 55 100

概率 0.411

0.507

0.706

0.891

0.970

0.990 0.9999997

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例 从1,2,3,4,5,6,7,8,9,0共十个数中任取一个数,假定每 个数都以等可能的概率被取中,取后还原。先后取出8个数。 求: ? 8个数全部相同的概率; ? 取出的数中不包含4和0的概率。

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2.4 条件概率
2.4.1条件概率的定义 引例 某专业有两个班级共100人学线性代数。已知在期中

考试中,一班有7人不及格,二班有9人不及格,现从两个班中
随意找一个不及格的同学,问这个同学在一班的概率为多少? 定义 设A、B是两个事件,若P(B)>0,则

P( AB ) P( A | B) ? P( B)
称为在事件B发生条件下A发生的条件概率。

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注意
? 条件概率P(A|B)与事件乘积P(AB)之间的区别; ? 条件概率与无条件概率之间的大小无确定关系; ? 由于条件概率是一种特殊的概率,因此有以前学过的所 有性质和公式; ? 在古典概型中,计算条件概率可用定义或缩减样本空间 法来计算。

例 口袋里有3个红球和7个白球。不放回地摸取两次,求
第一次摸到白球的条件下第二次又摸到白球的概率。

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2.4.2 概率的乘法公式 定理(乘法公式) 若P(A)≠0,则P(AB)=P(A)P(B|A)。 例 一批灯泡共100只,设其中10只次品。不放回抽取两 次,求第二次才抽到合格品的概率。 推论 若P(A1A2…An-1)≠0,则

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)
例 口袋中有4个白球和1个红球,5个人依次从中摸取一

个球,求他们摸到红球的概率各为多少?

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2.4.3全概率公式与Bayes公式
引例 有三个箱子,第一个箱子里有3个红球7个白球,第 二个箱子里有6个红球4个白球,第三个箱子里有1个红球9个 白球,随意选一个箱子,从中摸出一个球,问此球是红球的 概率是多大? 定义 若n个事件A1、A2、…、An满足: ? 当i≠j时AiAj=Φ;

? A1∪A2∪…∪An=Ω
则称这n个事件A1、A2、…、An为一个完备事件组。

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定理 若A1、A2、?、An为完备事件组,则 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+?+P(An)P(B|An)
? ? P ( Ai ) P ( B Ai )
i ?1 n

这个公式称为全概率公式。 例 盒中有15个球,9新6旧,第一次比赛时任取3个球, 赛后放回盒,第二次比赛时又任取3个球,求取3个新球的概 率?

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推论 P(B)=P(A)P(B|A)+P(? )P(B|? )
例 某次足球比赛中甲队成功进入最后决赛。现在二分之 一决赛还有一场未进行,由乙队和丙队进行。根据以往战绩, 已知甲队战胜乙队的概率为0.4,战胜丙队的概率为0.7,乙队

战胜丙队的概率为0.5。求甲队最后夺冠的概率。

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练习 某种商品由三个厂家同时供货。第一个厂家的供 应量为第二个厂家的供应量的2倍,第二、三厂家供应量相 等,三个厂家的次品率依次为2%,2%,4%,现从市场任 购一件商品,求这件商品是次品的概率。

进一步地,若从商场中任购一件商品,结果是次品,
问这件次品来自哪个厂家的可能性大?

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定理 若A1、A1、…、An为完备事件组,P(An)>0,则 P(B)>0时 P( Am ) P( B Am ) P( Am B) ? n ? P( Ai ) P( B Ai )
i ?1

?P(Ai)称为先验概率; ?条件概率P(Ai|B)称为后验概率; Thomas Bayes ?此公式称为Bayes公式或后验概率公式 或逆概率公式; ?用它进行计算分析判断的方法称为Bayes决策。

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例 东大电子实验室从甲、乙、丙三个电子元件制造商 处购电子元件,数量比为1:2:2,已知甲、乙、丙三个制造 商制造的电子元件次品率分别为0.001、0.005、0.01,若 实验室使用的电子元件是次品,求该次品是购自甲制造商 的概率。 例 某地区患有某种病的人占0.005,患者对一种试验反 应呈阳性的概率为0.95,正常人对这种试验反应是阳性的概 率为0.04。现抽查一人,试验反应是阳性,问此人是该种病 患者的概率有多大?

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练习 试卷中有一道选择题共4个答案可供选择,其中 只有1个答案正确。任一考生若会解这道题,则一定能选出 正确答案;若不会解这道题,则任选一答案。设某考生会 解这道题的概率为0.8,已知该考生所选答案是正确的,求 他会解这道题的概率。

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2.5 随机事件的独立性
2.5.1 两个事件的独立性 引例 甲、乙、丙、丁四名学生中甲、乙二人通过英语 六级,甲、丁二人通过了计算机二级,从四人中任选一个人。 ? 求他通过计算机二级的概率; ? 若已知他已通过英语六级,求他通过计算机二级的概率。

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定义 若两个事件A、B满足: P(AB)=P(A)P(B) 则称A与B是(相互)独立的。 定理 相互独立的一些结论: ? 若P(B)>0,则A、B相互独立的充要条件是 P(A)=P(A|B) ? 下列四对事件中

A与B ;A与B;A与B;A与B
若有一对独立,则其他三对也独立; ? P(A)>0,P(B)>0,则A、B互不相容与A、B相互独立不 能同时成立。

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例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张牌,判断“取 到K”和“取到的牌是红桃的”是否相互独立? 在应用中常凭经验或借助直观的方法来判断独立性,利 用独立性来进行计算和分析。 例 甲、乙二人各投篮一次,设甲投中的概率为0.7,乙 投中的概率为0.8,求甲、乙二人至少有一人投中的概率。 练习 设随机事件A、B相互独立, P(A)=P(B)=0.9,求A、 B中至多有一个发生的概率。

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2.5.2 多个事件的独立性 定义 若三个事件A、B、C满足: P(AB)=P(A)P(B); P(AC)=P(A)P(C); P(BC)=P(B)P(C); P(ABC)=P(A)P(B)P(C); 则称A、B、C相互独立。 若A、B、C任何两个事件都是独立的,则称A、B、 C是 两两独立的。 注意 相互独立一定两两独立,但两两独立不一定相互 独立。

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定义 设A1、A2、…、An是n个事件,若对任何正整数m 以及1≤i1≤i2≤…≤im≤n都有 P(Ai1Ai2 …Aim)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aim) 则称A1、A2、…、An是相互独立的。 若n个事件A1、A2、…、An中任何两个事件都是独立的, 则称A1、A2、…、An是两两独立的。 例 设随机事件A、B、C两两独立,P(A)=P(B)=P(C)<0.5, ABC=Φ,若已知 P( ABC ) ?
13 ,求 P( A)。 25

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例 已知某型号的高射炮击中敌机的概率为0.6,现若干门 炮同时射击,欲以99%以上的把握击中敌机,问至少配置几 门高射炮?


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