【金版学案】2014-2015学年高中数学苏教版必修三课件:2.3.1 平均数及其估计


第 2章 2.3 2.3.1





总体特征数的估计 平均数及其估计

情景切入 我们已经学习了用图、表来组织、概括样本数据, 并且学习了如何通过图、表所提供的信息,用样本的频 率分布估计总体的分布.但是,在很多情况下,我们往 往并不需要了解总体的分布形态,而是更关心总体的某 一数字特征,如平均数、方差等.

1.理解众数、中位数、平均数的意义. 2.掌握平均数的计算方法并能用样本平均数估计总

体平均数.

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自 主 学 习 最多 的数据叫做这组 1 .在一组数据中,出现次数 ________ 数据的众数;将一组数据按从小到大的顺序依次排列, 中间 位置的一个数据 ( 或中间两个数据的平 把处在 ________ 中位数 均数 ) 叫做这组数据的 ________ ;如果有 n 个数 x1 , x2 ,
1 x3 , … , xn ,那么 x = ______________ n(x1+x2+?+xn)叫做这 n 个数的平
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均数.
2 .在频率分布直方图中,中位数左边和右边直方图的

相等 ., 面积________

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要 点 导 航

众数、中位数、平均数
1 .众数是样本观测值中出现次数最多的数,在频
率分布直方图中它是最高的矩形的中点.样本众数通常用 来表示分类变量的中心值,容易计算,但是它只能表达样 本数据中的很少一部分信息.通常用于描述分类变量的中 心位置. 2.将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位 置的一个数据 (或两个数据的平均数 )叫做这组数据的中位
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数.中位数不受几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)

要 点 导 航

的影响,容易计算.它仅利用了数据中排在中间的数据的

信息.当样本数据质量比较差 ,即存在“一些错误数
据”(如数据的录入错误或测量错误等 )时,应该用抗极端 数据强的中位数表示数据的中心值. 3.平均数是频率分布直方图的“重心”.由于平 均数与样本的每一个数据都有关,所以任何一个样本数据
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的改变都会引起平均数的改变.因此,平均数可以反映出
更多的关于数据全体的信息.一般情况下,一组数据的平 均值可以反映出这组数据的一般情况,比如某班一次考试

要 点 导 航

成绩的平均分可以反映出该班学生该科的学习水平.但特

殊情况下,平均值可能受某几个极端值的影响,而偏离一
般情况. 4.众数、中位数、平均数的区别与联系: (1)众数、 中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数 是最重要的量. (2) 平均数的大小与一组数据里每个数据
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均有关系 ,任何一个数据的变动都会引起平均数的变
动. (3) 众数考查各数据出现的频率,大小只与这组数据 中的部分数据有关,当一组数据中有不少数据多次重复出 现时,众数往往更能反映问题.(4)中位数仅与数据的

要 点 导 航 排列位置有关,某些数据的变动对中位数没有影 响.中位数可能出现在所给数据中,也可能不在所给
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数据中.当一组数据中的个别数据变动较大时,可用
中位数描述其集中趋势.(5)实际问题中求得的平均数、 众数和中位数应带上单位.

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典 例 剖 析

题型一

平均数的计算

例1有容量为100的样本,数据分组及各组的频数、 频率如下. [12.5 , 14.5) , 6 , 0.06 ; [14.5 , 16.5) , 16 , 0.16 ; [16.5 ,
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18.5),18,0.18;[18.5,20.5),22,0.22;[20.5,22.5),
20 , 0.20 ; [22.5 , 24.5) , 10 , 0.10 ; [24.5 , 26.5] , 8 , 0.08.试估计总体的平均数.

典 例 剖 析

分析: 由于每组的数据是一个范围,所以可以用

组中值近似地表示平均数.
解析: 解法一:总体的平均数约为

×(13.5×6+ 15.5×16+ 17.5×18 + 19.5×22 + 21.5×20
+23.5×10+25.5×8)=19.42.

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故总体的平均数约为19.42.
解法二:求组中值与对应频率积的和.

典 例 剖 析

解析: 13 . 5×0.06 + 15.5×0.16 + 17.5×0.18 +
19.5×0.22 + 21.5×0.20 + 23.5×0.10 + 25.5×0.08 = 19.42. 故总体的平均数约为19.42.
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规律总结: 当条件给出某几个范围内的数据的频率或
频数时,可用组中值求近似平均数.

典 例 剖 析

? 变式训练 1.为了了解某班学生每周做家务劳动的时间, 某综合实践活动小组对该班 50名学生进行了调查,有

关数据如下表:
每周做家务的 时间/小时 人数 0 2 1 1.5 2 2.5 2 6 8 12 3 13 3.5 4 4 3

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根据上表中的数据,回答下列问题: (1)该班学生每周做家务劳动的平均时间是多少小时?

(2)这组数组的中位数、众数分别是多少?

典 例 剖 析

解析: (1)该班学生每周做家务劳动的平均时间为

1 × 50
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(0× 2+ 1×2+ 1.5×6+ 2×8+ 2.5×12+ 3×13+ 3.5×4+ 4×3)=2.44(小时),即该班学生每周做家务劳动的平均时 间为 2.44 小时. (2)由表中的数据,我们可以发现这组数据的中位数是 2.5 小时,众数是 3 小时.

典 例 剖 析

题型二

平均数的应用

例 2为了估计一次性筷子的用量, 2010年某县从 600 家高、中、低档饭店中抽取10家,得到这些饭店每天消
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耗的一次性筷子的数据如下 ( 单位:盒) ;0.6,3.7,2.2,
1.5,2.8,1.7,1.2,2.1,3.2,1.0. (1)通过对样本数据的计算,估计该县2010年共消耗 了多少盒一次性筷子(每年按350个营业日计算).

典 例 剖 析 (2)2012 年又对该县一次性木质筷子的用量以同样 的方式做了抽样调查,调查结果是10家饭店平均每天使用 一次性筷子2.42盒,求该县2011年、2012年这两年一次性
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筷子用量平均每年增加的百分率.
(3)假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消

耗的木材量,如何利用统计知识去做?简要说明你的做
法.

典 例 剖 析

分析: 根据样本平均数估算总体平均数,进一步确

定总体的数目.
解析: (1)样本平均数 x= × (0.6 + 3.7+ 2.2+ 1.5 + 2.8 + 10
20 1.7+1.2+2.1+3.2+1.0)= =2. 10 由样本的平均数为 2 估计总体的平均数也为 2,故 2010 年该县 600 家饭店共消耗一次性筷子为 2×350×600=420 000(盒). 1
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典 例 剖 析

(2)由于2010年一次性筷子用量是平均每天2盒,而

2012年用量是平均每天2.42盒,设平均每年增长的百分率
为x,依题意有2.42=2×(1+x)2,解得x=10%,所以该 县2011年、2012年这两年一次性筷子的用量平均每年增长 10%. (3)先采用简单随机抽样的方法抽取若干县(市)(作样
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本),再从这些县(市)中采用分层抽样的方法抽取若干家饭
店,统计一次性木质筷子的用量计算平均数,从而估计总 体平均数,再进一步计算所消耗的木材总量.

典 例 剖 析

规律总结: 统计学的一个重要思想就是利用样本的 信息来推断总体的有关信息,这样才能体会学习统计 知识的作用和价值,我们要善于通过对表面随机现象 进行统计分析,来揭示事物的内在规律.

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典 例 剖 析

? 变式训练 2.某校在一次学生身体素质调查中,在甲、乙两 班中随机抽10名男生测验100 m短跑,测得成绩如下(单 位:s):
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甲 15.1 14.8 14.1 14.6 15.3 14.8 14.9 14.7 15.2 14.5
乙 15.0 15.0 14.2 14.5 16.1 15.2 14.8 14.9 15.1 15.2 问哪个班里男生100 m短跑平均水平高一些?

典 例 剖 析

解析: x

1 × (15.1+ 14.8+ 14.1+ 14.6+ 15.3+ 14.8+ 甲= 10
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14.9+14.7+15.2+14.5)=14.8(s), 1 x 乙 = ×(15.0+15.0+14.2+14.5+16.1+15.2+14.8+ 10 14.9+15.1+15.2)=15.0(s). ∵x 甲 <x 乙,∴甲班男生短跑水平高些.


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