平面向量的加法运算


向量加法运算 及其几何意义
高一数学组

复习回顾:

向量、平行向量、相等向量的含义分别是?
向量:既有方向又有大小的量。

平行向量:非零时,方向相同或相反的向量。

? ? 规定0 / / a

相等向量:方向相同并且长度相等的向量

问题1:青少年科技创新大赛中,某校学生 在展台上展示研制的机器人,指挥中心发 出命令:向东走3米,…再向东走2米。在 此过程中机器人所走的路程是多少?位移 是什么?

A

B

C

??? ??? ??? ? ? ? AB ? BC ? AC

问题2:指挥中心发出命令:向东走4 米,…再向南走3米。 在此过程中机器人 所走的路程又是多少?位移是什么?

A

B

??? ??? ??? ? ? ? AB ? BC ? AC

C

向量的加法

定义:
求两个向量和的运算,叫做向量的 加法。

? 与向量 ? 向量 a b

? ? 的和,记作 a ? b

一、向量加法的三角形法则

?? ?? ? ? ? 已知向量 a , b, 求作向量a + b
? a
? b

作法(1)在平面内任取一点O

(2)作 OA ? a ,?? ? b
(3)则 OB ? a ? b

O

A

? ? a?b

这 种 作 法 首尾相 接 , 要诀: 叫 做 向 量 起点指终点。 加法的三角形法则
B

向量的加法

定义:
求两个向量和的运算,叫做向量的 加法。

? 与向量 ? 向量 a b

? ? 的和,记作 a ? b

两个向量的和仍然是一 个向量(简称和向量)

向量的加法 练习:求作下列向量的和向量
(1)

b

a

? ? a?b

b
(2)

a

? ? a?b

向量的加法

思考:当向量a, b为共线向量时, a ? b如何作出来?
(1)同向

(2)反向

a
b
A B

a
b
C
A C B

AC ? a ? b

AC ? a ? b

首尾相接,起点指终点

A

C

B

??? ??? ??? ? ? ? AB ? BC ? AC

A

B

C

? ? ? ? ? a ? 0 ? 0?a ? a

? ? ? a ? (?a ) ? 0

请选用合适符号连接: ? ? ? ? ? a ? b ____ a ? b (<,>,? ,?, ? )

拓展思考:对于两个非零向量
? ? 1.当a与b不共线时,
? ? ? ? a? b

? ? 3.当a与b共线且反向时, ? ? ? ? 4.当_______________时, a与b反向且 a ? b
? ? ? ? a与b反向且 a ? b , 5.当_______________时,

? ? 2.当a与b共线且同向时,

< ? ? ? ? a? b=
? ? ? ? a? b

<

? ? ? ? a ? b ? ? ? ? a ? b ? ? ? ? a ? b

? ? ? ? ? ? ? ? a?b ? a ? b

? ? ? ? ? ? ? ? a?b ? b ? a

? a
? b
A

? a
? b
D

B

? b
C

这种作法叫做平 行四边形法则

二、向量加法的平行四边形法则 任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
a b

共起点
C

D

b

1.将向量平移到同一起点
2.作以它们为邻边的平行四边 形? ?
A

B

? ? ??? ? a ? b ? AC

3. a ? b 是共起点的对角线
两种方法做出的结果一样吗?

? ? 练习:用平行四边形法则作 a ? b
(1)

向量的加法

b

a

b
(2)

a

向量的加法
探究1
向量的加法是否满足交换律:

? ? ? ? a?b ? b?a

? ? a?b? ? ? b?a ?

??? ??? ??? ? ? ? AB ? BC ? AC ??? ???? ??? ? ? AD ? DC ? AC
D
b b b a

C

a

A

a

B

向量的加法
探究2

向量加法的结合律:

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
D

? ? ? a?b?c
首尾相连
A

? ? c b?c ? ? a?b
a
B

C

b

根据图示填空: ??? ? DA (1)a+d=____________ ??? ? CB (2)c+b=____________

D

C
d c O b

a

A

B

三、向量加法的推广 ? ? 多边形法则: d 多个向量加法运算可按 ? ? ? ? ? 照首尾相接,起点指终 a?b?c?d c 点。

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An ? 1 An ? A1 An ????? ????? ????? ? ? ? ??????? ????? ? ? A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An? 1 An ? An A1 ? 0

? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? AB ? BC ? CD ? DE ? EF ? AF ? ????? ????? ????? ? ? ? ??????? ?????
a

b

举例:

向量加 法

学以致用
例1.化简
AD (1) AB ? CD ? BC ? ________
(2) MA ? BN ? AC ? CB ? ________ MN

??? ??? ??? ???? ? ? ? (3) AB ? BD ? CA ? DC ? _____ 0

?

?

??

?

?

向量加法

学以致用
? 例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常 常通过轮渡进行运输.一艘船从长江南 岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于 对岸的方向行驶,同时江水的速度为向 东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及 船实际航行的速度; (2)求船实际航行的速度的大小和方向.

向量加 法

求船实际航行的速度的大小和方向
解: 如图,设 AB表示水流的
速度, 表示渡船的速度, AD AC表示渡船实际过 江的速度.(由平行四边形 5 法则可以得到) 由AB ? AD得Rt ?ABC , 船从南岸的码头 A 点出发到达对 2 ???? 2 2 得 AC C 点,照这种走法,从 岸的码头 ? 2 5? 5 ? 29 码头tan ?CAB ? 2 , 查计算器可得?CAB ? 68?. C 点能否回到码头 A 点? 答:船实际航行速度的大小为 29km/h,方向为东偏北68?.



D

C

A

B

向量加 法

探究
若水流速度和船速的大小保持不变, 最后要能使渡船垂直过江,则船的 航向应该如何?在白纸上作图探究.
D C

5

A

2

B

向量加 法

向量的加法

1.向量加法的三角形法则

2.向量加法的平行四边形法则 3.向量加法的交换律及结合律
4.向量不等式
? ? ? ? ? ? ? ? a?b ? a ? b

向量的加法
例2. 在长江南岸某渡口处,江水以12.5km/h的速度向 东流,渡船的速度为25km/h. 渡船要垂直地渡过长江, 其航向应如何确定?

?? ? ?? ? ?? ? 解:设 AB 表示水流的速度, AD 表示渡船的速度,AC 表示 渡船实际垂直过江的速度。

?? ?? ?? ? ? ? ∵AB+AD=AC,

D

C

∴ 四边形ABCD为平行四边形
在 Rt△ABC 中 ,∠ACD=90o

?? ? ?? ? ?? ? DC = AB =12.5, AD =25

A

B

∴∠CAD=30o
o 答:渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西 30

向量的加法 课本第84页练习 1(2)(4)2题 作业:

课本第91页A组,3题

课外:
《世纪金榜》及知能提升作业(十六)


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