精品 高中数学 第三章 推理与证明 数学证明名师点拨课件 北师大版选修1-2


? 1.三段论中的大前提提供了一个一般性的原 理,小前提指出了一种特殊情况,两个命题结 合起来,揭示了一般原理与特殊情况的内在联 系,从而得到了第三个命题——结论. ? 2.三段论推理的结论正确与否,取决于两个 前提是否正确,推理形式(即S与M的包含关系) 是否正确. ? [特别提醒] 运用三段论推理时,常可省略大 前提或小前提,对于复杂的证明,也常把前一 个三段论的结论作为下一个三段论的前提. ? 1.演绎的前提是一般性原理,演绎所得 的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊 事实,结论完全蕴涵于前提之中. ? 2.在演绎推理中,前提与结论之间存在着必 然的联系,只要前提是真实的,推理的形式是 正确的,那么结论也必定是正确的.因而演绎 推理是数学中严格证明的工具. ? 3.演绎推理是一种收敛性的思维方法, 它较少有创造性,但却具有条理清晰、令 人信服的论证作用,有助于科学的理论化 和系统化. 合情推理 常用形式 思维运动 过程的 方向 归纳、类比 三段论 演绎推理 主 要 前提与结 区 论联系 别 的性质 归纳推理是从部分到整体, 从一般性的知识的前提推出一 从特殊到一般的推理; 个特殊性的知识的结论, 类比推理是从特殊到特 即从一般到特殊的推理 殊的推理 结论超过了前提所断定的 结论不超过前提所断定的范围, 范围,其结论具有或然 前提和结论的联系是必然 性 的 不能作为数学证明的工具, 可以作为数学证明的工具,较 但它具有创造性思维, 少创造性,但它严密的论 对于数学的发现很有意 证有助于数学的理论化和 义 系统化 应 用 合情推理 演绎推理 两者紧密联系,互为依赖,互为补充 (1)演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理从具体的经验 中概括出来.从这个意义上可以说,没有归纳推理就没有演绎推 主 理. 要 联 (2)合情推理也离不开演绎推理,合情推理活动的目的、任务和方向必 须借助于理论思维,依靠人们先前积累的一般性理论知识作指 系 导.这本身就是一种演绎活动,并且合情推理得到的结论正确与否, 必须借助于演绎推理去论证,从这个意义上说,没有演绎推理也就 没有合情推理. ? 演绎推理与合情推理的有机结合——探 索性演绎法,即探索性演绎法是在演绎 推理的基础上发展起来的一种合情推理 的方法. ? ◎如图,在△ABC中,AC>BC,CD是 AB边上的高,求证:∠ACD>∠BCD. ? 【错解】 证明:在△ABC中,因为 CD⊥AB,AC>BC,所以AD>BD,所以 ∠ACD>∠BCD. ? 【错因】 错解原因在于虽然运用的大 前提正确:在同一个三角形内,大边对 大角;而AD与BD并不是同一个三角形的 两条边,即小前提并不成立,所以推理 过程错误. ? 【正解】 证明:因为CD⊥AB, ? 所以∠ADC=∠BDC=90°. ? 所以∠A+∠ACD=∠B+∠BCD=90°. ? 所以∠A-∠B=∠BCD-∠ACD. ? 在△ABC中,因为AC>BC,所以∠B>∠A, 即∠A-∠B<0, ? 所以∠BCD-∠ACD<0,所以∠ACD> ∠BCD.

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