【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题7 概率与统计 第1讲 排列、组合与二项式定理 理


第1讲

排列、组合与二项式定理

计数原理、排列、组合问题 1.将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组 由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( A ) (A)12 种 (B)10 种 (C)9 种 (D)8 种 解析:分两步:第一步,选派一名教师到甲地,另一名到乙地,共有 =2(种)选派方法; 第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,共有 =6(种)选派 方法. 由分步乘法计数原理,不同选派方案共有 2×6=12(种). 2.计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画、4 幅油画、5 幅国画,排成一列,要求同一品种 的画必须连在一起,并且水彩画不放在两端,那么不同的排列方式的种数有( D ) (A) (C) (B) (D)

解析:先把 3 个品种的画看成整体,而水彩画受限制应优先考虑,不能放在头尾,油画与国画 有 种放法,再考虑国画与油画本身又可以全排列,故排列的方法有 种.

3.从 6 本不同的书中选出 4 本,分别发给 4 个同学,已知其中两本书不能发给甲同学,则不同 分配方法有( C ) (A)180 (B)220 (C)240 (D)260 解析:先从其他四本不同的书中选一本发给甲同学,有 种;再从剩下的五本不同的书中选三 本发给其他 3 个同学,有 种;则不同分配方法有 =240 种.

4.用 0,1,…,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( B ) (A)243 (B)252 (C)261 (D)279 解析:由 0,1,…,9 十个数字共可组成三位数个数为 有 =900,其中无重复数字的三位数

=648(个),则符合题意的三位数个数为 900-648=252.故选 B.

5. 如图,用 6 种不同的颜色把图中 A,B,C,D4 块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则 涂色方法共有 种(用数字作答).

解析:从 A 开始涂色,A 有 6 种涂色方法,B 有 5 种涂色方法,C 有 4 种涂色方法,D 若与 A 颜色

1

相同有 1 种涂色方法,否则有 3 种涂色方法.共有 6×5×4×(1+3)=480 种涂色方法. 答案:480 6.有 4 名优秀学生 A,B,C,D 全部被保送到甲,乙,丙 3 所学校,每所学校至少去一名,则不同的 保送方案共有 种. 解析:先把 4 名学生分为 2,1,1 的 3 组,有 =6 种分法,再将这 3 组分配到 3 所学校,有 =6

种情况,则共有 6×6=36 种不同的保送方案. 答案:36 7. 在运动会百米决赛上 ,8 名男运动员参加 100 米决赛 . 其中甲、乙、丙三人必须在 1,2,3,4,5,6,7,8 八 条 跑 道 的 奇 数 号 跑 道 上 , 则 安 排 这 8 名 运 动 员 比 赛 的 方 式 共 有 种. 解析:分两步安排这 8 名运动员. 第一步:安排甲、乙、丙三人,共有 1,3,5,7 四条跑道可安排. 所以安排方式有 =4×3×2=24 种.

第二步 : 安排另外 5 人 , 可在 2,4,6,8 及余下的一条奇数号跑道安排 , 所以安排方式有 =5×4×3×2×1=120 种. 故安排这 8 人的方式有 24×120=2880 种. 答案:2880 二项式定理的应用 8.在(x- ) 的二项展开式中,x 的系数为( A ) (A)40 (B)-40 (C)80
5 5 2

(D)-80

解析:(x- ) 的展开式的通项为

=

x (- ) =(-2)

5-r

r

r

,

令 5- =2,得 r=2,故展开式中 x 的系数是(-2)

2

2

=40,故选 A.

9.若二项式(x - ) (n∈N ),展开式中含有常数项,则 n 的最小值为( (A)7 (B)6 (C)5 (D)4
3(n-r)

3

n

*

A )

解析:根据题意,得 Tr+1= x 故选 A.

(-

)=

r

,令 6n-7r=0,得 n= ,故 n 的最小值为 7,

2

10.已知关于 x 的二项式(

+

) 展开式的二项式系数之和为 32,常数项为 80,则 a 的值为

n

( C ) (A)1 (B)±1 (C)2 (D)±2 n 解析:根据题意,该二项式的展开式的二项式系数之和为 32,则有 2 =32,可得 n=5,则二项式 的展开式的通项公式为 Tr+1= 可得 a=2;故选 C. 11. 在二项式(x + ) 的展开式中 , 所有二项式系数的和是 32, 则展开式中各项系数的和为 ( A ) (A)32 (B)-32 (C)0 (D)1 n 解析:依题意得所有二项式系数的和为 2 =32,解得 n=5. 因此,令 x=1,则该二项展开式中的各项系数的和等于(1 + ) =32,故 选 A. 12.(2015 皖南八校三联)( 为 . + ) 展开式的第四项为
9 2 5 2 n

(

) (

5-r

)= a

r

r

令 15-5r=0 得 r=3,由题意有 a =80,解

3

+ ) 的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大,则第四项

n

解析:由已知条件第五项和第六项二项式系数最大,得 n=9,(

T4= ·(

) ·( ) = .

6

3

答案: 13.若(1+x+x ) =a0+a1x+a2x +…+a12x ,则 a2+a4+…+a12= 6 解析:令 x=1,则 a0+a1+a2+…+a12=3 , 令 x=-1,则 a0-a1+a2-…+a12=1, 所以 a0+a2+a4+…+a12= 令 x=0,则 a0=1, 所以 a2+a4+…+a12= 答案:364 -1=364. .
2 6 2 12

.

3

14.若(x +ax+1) (a>0)的展开式中 x 的系数是 66, 则 sin xdx 的值为 .

2

6

2

解析:由题意可得(x +ax+1) 的展开式中 x 的系数为 + a 故

2

6

2

2

+ a =66,

2

所以 a=2 或 a=-2(舍去).故 cos 2. 答案:1-cos 2

sin xdx=

sin xdx=(-cos x) =1-

一、选择题 1.从 8 名女生和 4 名男生中,抽取 3 名学生参加某档电视节目,如果按性别比例分层抽样,则 不同的抽取方法数为( B ) (A)224 (B)112 (C)56 (D)28 解析:根据分层抽样,从 12 个人中抽取男生 1 人,女生 2 人;所以取 2 名女生 1 名男生的方法 数为 =112.

2.从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数 为( B ) (A)24 (B)18 (C)12 (D)6 解析 : 依该数三个数位数字的奇偶性可分为两种情况 :(1) 奇偶奇 ;(2) 偶奇奇 . 对于 (1), 有 =12 个数,对于(2)有 · =6 个数.满足条件的数共有 12+6=18 个.故选 B.

3.4 位同学从甲、 乙、 丙 3 门课程中各选修 1 门,则恰有 2 人选修课程甲的不同选法有( B ) (A)12 种 (B)24 种 (C)30 种 (D)36 种 解析:分三步,第一步先从 4 位同学中选 2 人选修课程甲.共有 种不同选法,第二步第 3 位同 学选课程,有 2 种选法.第三步第 4 位同学选课程,也有 2 种不同选法.故共有 ×2×2=24(种).
7

4.(2014 湖北卷)若二项式(2x+ ) 的展开式中 的系数是 84,则实数 a 等于(

C )

(A)2

(B)

(C)1

(D)

解析:Tk+1= (2x) ( ) = 2 a x C.

7-k

k

7-k k 7-2k

,令 7-2k=-3,得 k=5,即 T5+1=

2 a x =84x ,解得 a=1.故选

2 5 -3

-3

4

5.设 a∈Z,且 0≤a<13,若 51 +a 能被 13 整除,则 a 等于( D ) (A)0 (B)1 (C)11 (D)12 解析:51
2012

2012

+a=a+(1-13×4)

2012

=a+1-

(13×4)+ +

(13×4) +…+ (13×4) +…+
1

2

(13×4)

2012

,
2011

显然当 a+1=13,即 a=12 时,51

2012

+a=13+13×4[-

(13×4)

],能

被 13 整除.故 a=12. 6 4 m n 6.在(1+x) (1+y) 的展开式中,记 x y 项的系数为 f(m,n),则 f(3,0) +f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)等于( C ) (A)45 (B)60 (C)120 (D)210 解析:因为 f(m,n)= = + + + ,所以 f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3) =120.

7.从某班成员分别为 3 人,3 人和 4 人的三个学习小组中选派 4 人组成一个环保宣传小组,则 每个学习小组都至少有 1 人的选派方法种数是( C ) (A)130 (B)128 (C)126 (D)124 解析:每个小组至少 1 人,则等价为有一个小组选派 2 人,其余两个小组各 1 人, 则共有
6

+

+

=36+36+54=126,选 C.

8.若(ax+ ) 展开式的所有项系数之和为 64,则展开式的常数项为( C ) (A)10 或-270 (B)10 (C)20 或-540 (D)20 解析:由(ax+ ) 展开式的所有项系数之和为 64,知(a+1) =64,解得 a=1 或 a=-3,当 a=1 时,由
6 6

Tr+1= Tr+1=
3

·x ·x =
6-r

6-r

-r

·x
6-r

6-2r

, 令 6-2r=0, 得 r=3, 展开式的常数项为 ·(-3) ·x
6-r 6-2r

=20; 当 a=-3 时 , 由

·(-3) ·x ·x =

-r

, 令 6-2r=0, 得 r=3, 展 开 式 的 常 数 项 为

(-3) · =-540. 9.某公司新招聘 5 名员工,分给下属的甲、 乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分给同一 部门;另三名电脑编程人员不能都分给同一个部门,则不同的分配方案种数是( B ) (A)6 (B)12 (C)24 (D)36 解析:先安排两名英语翻译 ,有 门, 种办法;然后从三名电脑编程人员选出两名安排在同一部 · · =2×3×2=12.

种办法,因此,满足条件的不同分配方案种数是
6

10.(2015 河北沧州 4 月质检)(x-1)( +x) 的展开式中的一次项系数是(

C )

5

(A)5

(B)14
6

(C)20

(D)35
6-r r 2r-6

解析:( +x) 中展开式的通项为 Tr+1= ( ) x = x

,令 2r-6=0,得 r=3,此时展开式中的常数

项为 20,令 2r-6=1,无整数解,故( +x) 的展开式中无一次项.故(x-1)( +x) 的展开式中的一 次项系数是 20.故选 C. 11.将甲、乙等 5 名交警分配到三个不同路口疏导交通,每个路口至少一人,且甲、乙在同一 路口的分配方案共有( C ) (A)18 种 (B)24 种 (C)36 种 (D)72 种 解析:先分组:(1)一路口 3 人,另两路口各 1 人,因为甲、 乙在同一路口,则共有 =3(种);(2)

6

6

两路口 2 人,一路口 1 人,因为甲、乙在同一路口,则共有 =3(种).再排列,所有的分配方案

共有( =36(种).

+ )

12.设函数 f(x)=(2x+a) ,其中 n=6 ( B ) (A)-240 (B)240 (C)-60 (D)60 解析:根据题意, n=6 cosxdx

n

cos xdx,

=-12,则 f(x)的展开式中 x 的系数为

4

=6sin x

=6(sin -sin 0) =6, 6 故 n=6,所以 f(x)=(2x+a) , 5 5 5 6 从而得到 f′(x)=6(2x+a) ×2=12(2x+a) ,f′(0)=12a ,f(0)=a , 故 = = =-12,解得 a=-1,

故 f(x)=(2x-1) ,f(x)的展开式的通项公式 Tr+1= (2x) (-1) ,T4+1= (2x) (-1) =240x ,故 选 B.

6

r

6-r

4

6-4

4

6

二、填空题 13.已知(ax+1) 的展开式中 x 的系数与(x+ ) 的展开式中 x 的系数相等,则 a=
5 2 4 3

.

解析:由二项式定理知:(ax+1) 的展开式中 x 的系数为

5

2

a ,(x+ ) 的展开式中 x 的系数为

2

4

3

,于是有 a =

2

,解得 a = ,所以可得 a=± .

2

答案:± 14.5 位同学排队,其中 3 位女生,2 位男生.如果 2 位男生不能相邻,且女生甲不能排在排头, 则排法种数为 . 解析:先排 3 个女生,三个女生之间有 4 个空,从 4 个空中选 2 个排男生,共有 女生甲排在第 1 个,则三个女生之间有 3 个空,从 3 个空中选 2 个排男生,有 满足条件的不同排法有 72-12=60 种. 答案:60 =72 种,若 =12 种,所以

15.若(

- ) 展开式的各项系数的绝对值之和为 1024,则展开式中 x 的系数为

n

.

解析:Tr+1= (

) (- ) =(-3) ·

n-r

r

r

,

因为展开式的各项系数绝对值之和为 +|(-3) |(-3)
n 1

|+(-3)
n

2

+|(-3)

3

|+…+

|=(1+3) =1024,

解得 n=5,令

=1,解得 r=1,

所以展开式中 x 的系数为(-3)

1

=-15.

答案:-15 16. 现有四种不同颜色的染料,给如图的四个不同区域染色,每个区域只染一种颜色,相邻区 域涂不同的颜色 , 若同一种颜色可重复使用 , 则共有 种不同的染色方法 ( 用数字作 答).

7

解析:有四种不同颜色的染料完成这件事情最少需要两种染料,最多可用四种,故按照使用染 料的种数来分类;第一类使用两种染料时有 第二类使用三种染料时有 =12(种)方法; =24(种)方法,

=72(种)方法;第三类使用四种染料时有

所以最终一共有 12+72+24=108(种)不同的染色方法. 答案:108

8


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