广东省深圳市石岩公学2014-2015学年高一下学期第一次月考数学试卷 Word版含解析


广东省深圳市石岩公学 2014-2015 学年高一下学期第一次月考数 学试卷
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.点 P 在直线 a 上,直线 a 在平面 α 内可记为() A.P∈a,a?α B.P?a,a?α C.P?a,a∈α 2.A,B,C 为空间三点,经过这三点() A.能确定一个平面或不能确定平面 B. 可以确定一个平面 C. 能确定无数个平面 D.能确定一个或无数个平面 3.l1∥l2,a、b 与 l1、l2 都垂直,则 a,b 的关系是() A.平行 B. 相交 C. 异面 D.平行、相交、异面都有可能 4.若 θ 是两条异面直线所成的角,则() A.θ∈(0,π] B. C. D.

D.P∈a,a∈α

5.设 a 表示平面,a,b 表示直线,给定下列四个命题: ①a∥α,a⊥b?b⊥α; ②a∥b,a⊥α?b⊥α; ③a⊥α,a⊥b?b∥α; ④a⊥α,b⊥α?a∥b 其中正确命题的个数有() A.1 个 B. 2 个 C. 3 个

D.4 个

6.用若干个体积为 1 的正方体搭成一个几何体,其正视图、侧视图都是如图所示的图形,则 这个几何体的最大体积与最小体积的差是()

A.6

B. 7

C. 8

D.9

7.若 P、A、B、C 是球 O 面上的四个点,PA、PB、PC 两两垂直,且 PA=PB=PC=1,则球 O 的表面积为() A.2π B.3π C . 4π D.5π

8.△ ABC 所在平面 α 外一点 P 到三角形三顶点的距离相等,那么点 P 在 α 内的射影一定是 △ ABC 的() A.外心 B.内心 C.重心 D.以上都不对 9.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 45°,腰和上底均为 1 的等腰梯形, 那么原平面图形的面积是()

A.2+

B.

C.

D.1+

10.长方体三条棱长分别是 AA′=1,AB=2,AD=4,则从 A 点出发,沿长方体的表面到 C′的 最短矩离是() A.5 B. 7 C. D.

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为. 12.一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm) ,如图所示,则该几何体的侧面积为 cm.

13.如图所示,PA⊥平面 ABC,∠ACB=90°,且 PA=AC=BC=2,则:①二面角 P﹣BC﹣A 的大小为;②PB 与底面 ABC 所成的角的正切值等于.

14.如图,点 O 为正方体 ABCD﹣A′B′C′D′的中心,点 E 为面 B′BCC′的中心,点 F 为 B′C′的 中点,则空间四边形 D′OEF 在该正方体的面上的正投影可能是(填出所有可能的序 号) .

三.解答题(本大题共 5 小题,共 50 分) 15.如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别为 DD1、DB 的中点. (1)求证:EF∥平面 ABC1D1; (2)求证:EF⊥B1C; (3)求三棱锥 的体积.

16.如图为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,EC∥PD,且 PD=AD=2EC=2. (1)答题卡指定的方框内已给出了该几何体的俯视图,请在方框内画出该几何体的正(主) 视图和侧(左)视图; (2)求四棱锥 B﹣CEPD 的体积; (3)求证:BE∥平面 PDA.

17.如图(1)所示,正△ ABC 的边长为 2a,CD 是 AB 边上的高,E,F 分别是 AC,BC 的 中点.现将△ ABC 沿 CD 翻折,使翻折后平面 ACD⊥平面 BCD(如图(2) ) , (1)试判断翻折后直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由;

(2)求三棱锥 C﹣DEF 的体积.

18.如图,A1A 是圆柱的母线,AB 是圆柱底面圆的直径,C 是底面圆周上异于 A、B 的任意 一点,A1A=AB=2. (1)求证:BC⊥平面 A1AC; (2)求三棱锥 A1﹣ABC 的体积的最大值.

19. (理科)如图,在组合体中,ABCD﹣A1B1C1D1 是一个长方体,P﹣ABCD 是一个四棱 锥.AB=4,BC=3,点 P∈平面 CC1D1D 且 PD=PC=2 . (Ⅰ)证明:PD⊥平面 PBC; (Ⅱ)求 PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值; (Ⅲ)若 AA1=t,当 t 为何值时,PC∥平面 AB1D.

广东省深圳市石岩公学 2014-2015 学年高一下学期第一次 月考数学试卷
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.点 P 在直线 a 上,直线 a 在平面 α 内可记为() A.P∈a,a?α B.P?a,a?α C.P?a,a∈α

D.P∈a,a∈α

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据线、面都是由点组成,借助于元素与集合和集合与集合的关系表示. 解答: 解:点 P 在直线 a 上,直线 a 在平面 α 内可记为 P∈a,a?α; 故选:A. 点评: 本题考查了几何中,点与线、线与面的位置关系的表示;体现了符号语言的重要性. 2.A,B,C 为空间三点,经过这三点() A.能确定一个平面或不能确定平面 B. 可以确定一个平面 C. 能确定无数个平面 D.能确定一个或无数个平面 考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 当空间三点不在同一条直线上时,能确定一个平面, 空间三点在同一条直线上时,不能确定一个平面. 解答: 解:当 A,B,C 三点不在同一条直线上时,经过这三点有且只有一个平面,即能确 定一个平面; 当 A,B,C 三点在同一条直线上时,经过这三点不能确定一个平面; 所以,经过空间三点 A,B,C 能确定一个平面或不能确定平面,A 正确,B、C、D 错误. 故选:A. 点评: 本题考查了空间三点是否能确定一个平面的应用问题,是基础题目. 3.l1∥l2,a、b 与 l1、l2 都垂直,则 a,b 的关系是() A.平行 B. 相交 C. 异面 D.平行、相交、异面都有可能 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 分析: 判断 a,b 关系,可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析. 解答: 解:在如图中正方体中, 不妨令 l1=AB,l2=CD, 则:a=AA1,b=BB1 时,a、b 平行, a=AA1,b=D1A 时,a、b 相交,

a=AA1,b=C1B 时,a、b 异面, 故选 D.

点评: 在判断空间线面的关系,常常把他们放在空间几何体中来直观的分析,在判断线与 面的平行与垂直关系时,正方体是最常用的空间模型,大家一定要熟练掌握这种方法. 4.若 θ 是两条异面直线所成的角,则() A.θ∈(0,π] B. C. D.

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 阅读型. 分析: 由异面直线及其所成的角的定义出发,即可得解. 解答: 解:直线 a,b 是异面直线,经过空间任意一点 O,作直线 a′,b′,并使 a′∥a,b′∥b. 我们把直线 a′和 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角.异面直线所成的角的 范围:θ∈(0, ].

当 θ=90°时,称两条异面直线互相垂直. 故选:B. 点评: 本题主要考查了异面直线及其所成的角的定义,属于基础题. 5.设 a 表示平面,a,b 表示直线,给定下列四个命题: ①a∥α,a⊥b?b⊥α; ②a∥b,a⊥α?b⊥α; ③a⊥α,a⊥b?b∥α; ④a⊥α,b⊥α?a∥b 其中正确命题的个数有() A.1 个 B. 2 个 C. 3 个

D.4 个

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 阅读型. 分析: 利用线面垂直的判断方法,线面垂直的性质定理,及线面平行的判断方法,我们对 已知中的四个结论逐一进行分析,即可得到答案. 解答: 解:若 a∥α,a⊥b,则 b 与 α 可能平行也可能相交,故①错误; 若 a∥b,a⊥α,根据线面垂直的第二判断定理,得 b⊥α,故②正确; 若 a⊥α,a⊥b,则 b 与 α 可能平行也可能 b?α,故③错误; 若 a⊥α,b⊥α,根据线面垂直的性质,我们易得 a∥b,故④正确. 故选 B

点评: 本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系,熟练掌握空间中线面关系 的定义、判定方法及性质定理是解答此类问题的关键. 6.用若干个体积为 1 的正方体搭成一个几何体,其正视图、侧视图都是如图所示的图形,则 这个几何体的最大体积与最小体积的差是()

A.6

B. 7

C. 8

D.9

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 计算题. 分析: 由题意根据正视图、侧视图都是如图所示的图形,推出几何体的最小体积,最大体 积,然后求出它们的差即可. 解答: 解:由正视图、侧视图可知,体积最小时,底层有 3 个小正方体,上面有 2 个,共 5 个; 体积最大时,底层有 9 个小正方体,上面有 2 个,共 11 个, 故这个几何体的最大体积与最小体积的差是 6. 故选 A. 点评: 本题考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力,逻辑推理能力,结合实体反复 思考和练习,强化空间想象能力. 7.若 P、A、B、C 是球 O 面上的四个点,PA、PB、PC 两两垂直,且 PA=PB=PC=1,则球 O 的表面积为() A.2π B.3π C . 4π D.5π 考点: 球内接多面体;球的体积和表面积. 专题: 计算题. 分析: 先把三棱锥扩展为正方体,求出对角线的长,就是球的直径,然后求出表面积. 解答: 解:先把三棱锥扩展为正方体,求出对角线的长, 即:对角线边长为 , 所以球的半径为 , ) =3π
2

所以球的表面积为 4π(

故选 B. 点评: 本题考查学生的空间想象能力,以及球内接多面体、球的体积和表面积公式的利用, 是基础题. 8.△ ABC 所在平面 α 外一点 P 到三角形三顶点的距离相等,那么点 P 在 α 内的射影一定是 △ ABC 的() A.外心 B.内心 C.重心 D.以上都不对

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: △ ABC 所在平面 α 外一点 P 到三角形三顶点的距离相等,则在底面的射影相等,从 而确定是三角形的外心. 解答: 解:由题意 PA=PB=PC,PO⊥面 ABC,于是 OA=OB=OC,所以 O 为三边中垂线的 交点,O 是三角形的外心. 故选 A

点评: 本题主要考查线面垂直的性质及三角形外心的定义. 9.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 45°,腰和上底均为 1 的等腰梯形, 那么原平面图形的面积是()

A.2+

B.

C.

D.1+

考点: 斜二测法画直观图. 专题: 计算题;作图题. 分析: 原图为直角梯形,上底为 1,高为 2,下底为 1+ 可利用原图和直观图的面积关系求解.

,利用梯形面积公式求解即可.也

解答: 解: 恢复后的原图形为一直角梯形, 上底为 1, 高为 2, 下底为 1+

, S= (1+

+1)

×2=2+ . 故选 A 点评: 本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法,属基础知识的考查. 10.长方体三条棱长分别是 AA′=1,AB=2,AD=4,则从 A 点出发,沿长方体的表面到 C′的 最短矩离是() A.5 B. 7 C. D.

考点: 多面体和旋转体表面上的最短距离问题. 专题: 计算题. 分析: 从 A 点出发,沿长方体的表面到 C′有 3 条不同的途径,分别从与顶点 A 相邻的三个 面出发,根据勾股定理得到长度分别是 , ,5,比较结果,得到结论. 解答: 解:从 A 点出发,沿长方体的表面到 C′有 3 条不同的途径, 分别从与顶点 A 相邻的三个面出发,根据勾股定理得到长度分别是 , ,5, 比较三条路径的长度,得到最短的距离是 5 答案为:5. 故选 A.

点评: 本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离,考查直角三角形的勾股定理,解答的 关键是要分类讨论. 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

11.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为



考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题. 分析: 设圆锥底面圆的半径为 r,高为 h,根据圆锥是由半径为 R 的半圆卷成,求出圆锥的 底面半径与高,即可求得体积. 解答: 解:设圆锥底面圆的半径为 r,高为 h,则 2πr=πR,∴ ∵R =r +h ,∴ ∴V= ×π× 故答案为: 点评: 本题考查圆锥的侧面展开图,考查圆锥的体积公式,属于基础题. 12.一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm) ,如图所示,则该几何体的侧面积为 80cm. × =
2 2 2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 图表型. 分析: 先判断三视图复原的几何体的形状,结合三视图的数据,确定斜高,再求侧面积. 解答: 解:三视图复原的几何体是正四棱锥, 斜高是 5cm,底面边长是 8cm, 侧面积为 ×4×8×5=80(cm ) ;
2

故答案为:80. 点评: 本题考查由三视图求几何体的侧面积,考查空间想象能力,是基础题. 13.如图所示,PA⊥平面 ABC,∠ACB=90°,且 PA=AC=BC=2,则:①二面角 P﹣BC﹣A 的大小为 45°;②PB 与底面 ABC 所成的角的正切值等于 .

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面所成的角. 专题: 计算题. 分析: 根据二面角平面角的定义可知∠PCA 为二面角 P﹣BC﹣A 的平面角,在直角三角形 PAC 中求出此角即可,根据 PA⊥平面 ABC,则∠PBA 是 PB 与底面 ABC 所成的角,在直角 三角形∠PBA 中求出此角即可. 解答: 解:∵PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC ∴PA⊥BC,而∠ACB=90°, ∴BC⊥面 PAC,从而 BC⊥PC 且 PA=AC=BC=2, ∴∠PCA 为二面角 P﹣BC﹣A 的平面角 ∴二面角 P﹣BC﹣A 的大小为 45° ∵PA⊥平面 ABC, ∴∠PBA 是 PB 与底面 ABC 所成的角 PA=2,AB=2 ∴tan∠PBA= 故答案为:45°; 点评: 本题主要考查了二面角的度量,以及直线与平面所成角等有关知识,同时考查空间 想象能力、推理论证的能力,属于基础题. 14.如图,点 O 为正方体 ABCD﹣A′B′C′D′的中心,点 E 为面 B′BCC′的中心,点 F 为 B′C′的 中点,则空间四边形 D′OEF 在该正方体的面上的正投影可能是①②③(填出所有可能的序 号) .

考点: 平行投影及平行投影作图法. 分析: 根据平行投影的特点和正方体的性质,得到分别从正方体三个不同的角度来观察正 方体,得到三个不同的投影图,逐个检验,得到结果. 解答: 解:由题意知光线从上向下照射,得到③, 光线从前向后照射,得到① 光线从左向右照射得到②

故答案为:①②③ 点评: 本题考查平行投影及平行投影的作图法,考查正方体的性质,本题是一个基础题, 是为后面学习三视图做准备,告诉我们从三个不同的角度观察图形结果不同. 三.解答题(本大题共 5 小题,共 50 分) 15.如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别为 DD1、DB 的中点. (1)求证:EF∥平面 ABC1D1; (2)求证:EF⊥B1C; (3)求三棱锥 的体积.

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)欲证 EF∥平面 ABC1D1,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 EF 与平 面 ABC1D1 内一直线平行,连接 BD1,在△ DD1B 中,E、F 分别为 D1D,DB 的中点,根据中 位线定理可知 EF∥D1B,满足定理所需条件; (2)先根据线面垂直的判定定理证出 B1C⊥平面 ABC1D1,而 BD1?平面 ABC1D1,根据线面 垂直的性质可知 B1C⊥BD1,而 EF∥BD1,根据平行的性质可得结论; (3) 可先证 CF⊥平面 EFB1, 根据勾股定理可知∠EFB1=90°, 根据等体积法可知
C﹣B1EF,即可求出所求.

=V

解答: 解: (1)证明:连接 BD1,如图,在△ DD1B 中,E、F 分别为 D1D,DB 的中点,则

平面 ABC1D1.

(2)

(3)∵CF⊥平面 BDD1B1,∴CF⊥平面 EFB1 且 ∵ ,

, ,

∴EF +B1F =B1E 即∠EFB1=90°, ∴ = =

2

2

2

点评: 本题主要考查了线面平行的判定,以及线面垂直的性质和三棱锥体积的计算,同时 考查了空间想象能力、运算求解能力、转化与划归的思想,属于中档题. 16.如图为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,EC∥PD,且 PD=AD=2EC=2. (1)答题卡指定的方框内已给出了该几何体的俯视图,请在方框内画出该几何体的正(主) 视图和侧(左)视图; (2)求四棱锥 B﹣CEPD 的体积; (3)求证:BE∥平面 PDA.

考点: 直线与平面平行的判定;简单空间图形的三视图. 专题: 常规题型;证明题;转化思想. 分析: (1)按照三视图所在的平面两两垂直,看不见的线用虚线,看得见的用实线画出. (2)由 PD⊥平面 ABCD,PD?平面 PDCE,得到平面 PDCE⊥平面 ABCD,因为 BC⊥CD 所 以 BC⊥平面 PDCE,从而有 BC 为高,然后求得底的面积,最后由棱锥体积公式求解. (3)由 EC∥PD,得 EC∥平面 PDA,同时,有 BC∥平面 PDA,因为 EC?平面 EBC,BC? 平面 EBC 且 EC∩BC=C,得到平面 BEC∥平面 PDA,进而有 BE∥平面 PDA. 解答: 解: (1)该组合体的主视图和侧视图如图示: (2)∵PD⊥平面 ABCD,PD?平面 PDCE ∴平面 PDCE⊥平面 ABCD ∵BC⊥CD∴BC⊥平面 PDCE ∵ ∴四棱锥 B﹣CEPD 的体积 (3)证明:∵EC∥PD,PD?平面 PDA,EC?平面 PDA ∴EC∥平面 PDA, 同理可得 BC∥平面 PDA ∵EC?平面 EBC,BC?平面 EBC 且 EC∩BC=C ∴平面 BEC∥平面 PDA 又∵BE?平面 EBC∴BE∥平面 PDA ﹣﹣ .

点评: 本题主要考查空间几何体的三视图,体积和线线,线面,面面平行关系的转化,考 查很全面,灵活,属中档题. 17.如图(1)所示,正△ ABC 的边长为 2a,CD 是 AB 边上的高,E,F 分别是 AC,BC 的 中点.现将△ ABC 沿 CD 翻折,使翻折后平面 ACD⊥平面 BCD(如图(2) ) , (1)试判断翻折后直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (2)求三棱锥 C﹣DEF 的体积.

考点: 平面与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与平面之间的位置 关系. 专题: 计算题. 分析: (1)判断:AB∥平面 DEF,再由直线与平面平行的判定定理进行证明. (2)过点 E 作 EM⊥DC 于点 M,由面 ACD⊥面 BCD,面 ACD∩面 BCD=CD,而 EM?面 ACD,知 EM 是三棱锥 E﹣CDF 的高,由此能求出三棱锥 C﹣DEF 的体积. 解答: 解: (1)判断:AB∥平面 DEF, 证明:因在△ ABC 中,E,F 分别是 AC,BC 的中点, ∴EF∥AB, 又因 AB?平面 DEF, ∴EF?平面 DEF, 所以 AB∥平面 DEF, (2)过点 E 作 EM⊥DC 于点 M, ∵面 ACD⊥面 BCD,面 ACD∩面 BCD=CD,而 EM?面 ACD

故 EM⊥平面 BCD 于是 EM 是三棱锥 E﹣CDF 的高, 又△ CDF 的面积为 S△ CDF= = = = ,

EM=



故三棱锥 C﹣DEF 的体积

=

=



点评: 本题考查直线与平面的位置关系的判断,考查三棱锥的体积的求法,解题时要认真 审题,仔细解答,注意合理地化空间问题为平面问题. 18.如图,A1A 是圆柱的母线,AB 是圆柱底面圆的直径,C 是底面圆周上异于 A、B 的任意 一点,A1A=AB=2. (1)求证:BC⊥平面 A1AC; (2)求三棱锥 A1﹣ABC 的体积的最大值.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 证明题. 分析: (1)欲证 BC⊥平面 AA1C,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证 BC 与平面 AA1C 内两相交直线垂直,而 BC⊥AC,AA1⊥BC,AA1∩AC=A 满足定理条件; (2)设 AC=x,在 Rt△ ABC 中,求出 BC,根据体积公式 VA1﹣ABC= S△ ABC?AA1 表示成关 于 x 的函数,根据二次函数求出其最大值. 解答: 解: (1)证明:∵C 是底面圆周上异于 A、B 的任意一点,且 AB 是圆柱底面圆的直 径, ∴BC⊥AC. ∵AA1⊥平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴AA1⊥BC. ∵AA1∩AC=A,AA1?平面 AA1C,AC?平面 AA1C, ∴BC⊥平面 AA1C. (2)设 AC=x,在 Rt△ ABC 中, BC= = (0<x<2) ,

故 VA1﹣ABC= S△ ABC?AA1= ? ?AC?BC?AA1 = x (0<x<2) , = .
2 2

即 VA1﹣ABC= x =

∵0<x<2,0<x <4,∴当 x =2,即 x= 三棱锥 A1﹣ABC 的体积最大,其最大值为

时,

点评: 本小题主要考查直线与平面垂直,以及棱柱、棱锥、棱台的体积等基础知识,考查 空间想象能力,运算能力和推理论证能力. 19. (理科)如图,在组合体中,ABCD﹣A1B1C1D1 是一个长方体,P﹣ABCD 是一个四棱 锥.AB=4,BC=3,点 P∈平面 CC1D1D 且 PD=PC=2 . (Ⅰ)证明:PD⊥平面 PBC; (Ⅱ)求 PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值; (Ⅲ)若 AA1=t,当 t 为何值时,PC∥平面 AB1D.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)由已知易得△ PCD 为等腰直角三角形,PD⊥PC,BC⊥面 CC1DD1,可求 BC⊥PD,从而可证得 PD⊥平面 PBC. (Ⅱ)过 P 点在平面 CC1DD 作 PE⊥CD 于 E,连接 AE,可得 PE⊥面 ABCD,∠PAE 就是 PA 与平面 ABCD 所成的角,利用 tan∠PAE= 即可得解.

(Ⅲ) 当 t=4 时, 四边形面 CC1DD1 是一个正方形, 可求∠PDC=45°, C1D⊥PD. 又 PC∥C1D. 可 证 PC∥面 AB1C1D,从而得证. 解答: 解: (Ⅰ)证明:因为 PD=PC=2 ,CD=AB=4, 所以△ PCD 为等腰直角三角形, 所以 PD⊥PC. 因为 ABCD﹣A1B1C1D1 是一个长方体,所以 BC⊥面 CC1DD1, 而 P∈面 CC1DD1,所以 PD?面 CC1DD1,所以 BC⊥PD. 因为 PD 垂直于平面 PBC 内的两条相交直线 PC 和 BC,

(或 PC∩BC=C 也可) 由线面垂直的判定定理, (不说也可) 可得 PD⊥平面 PBC. (Ⅱ)过 P 点在平面 CC1DD 作 PE⊥CD 于 E,连接 AE. 因为面 ABCD⊥面 PCD,所以 PE⊥面 ABCD, 所以∠PAE 就是 PA 与平面 ABCD 所成的角 因为 PE=2,AE= ,所以 tan∠PAE= . .

所以 PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值为

(Ⅲ)当 t=4 时,PC∥平面 AB1D. 当 t=4 时,四边形面 CC1DD1 是一个正方形,所以∠C1DC=45°,而∠PDC=45°, 所以∠PDC1=90°,所以 C1D⊥PD. 而 PC⊥PD,C1D 与 PC 在同一个平面内,所以 PC∥C1D. 而 C1D?平面 AB1C1D,所以 PC∥面 AB1C1D,所以 PC∥平面 AB1D.

点评: 本题主要考查了直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,直线与平面所成 的角的求法,考查了空间想象能力和推理论证能力,属于基本知识的考查.


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