2011届高三数学综合题


2011 届高三数学综合题
一、填空题: π 1.将函数 y=sinx 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长 10 到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是 2.已知正四棱柱的底面边长为 2,高为 3,则该正四棱柱的外接球的表面积为 3.如图在△ABC 中,∠BAC=120?,AB=1,AC=2,D 为 BC 边上 C ? ? ? ? 一点DC =2 BD ,则 AD · BC =
2

. .



D A B

4.已知函数 f(x)=2cos2x+sin x-4cosx,x∈R,则函数 f(x)的 最大值为 1
2

. x≥0,

?log (x+1) 5. 已知函数 f(x)=? 1 ?(2) -1
x

若 f(3-2a2)>f(a), 则实数 a 的取值范围是 x<0.



6.已知一个底面为正方形的长方体容器,若下底面和四个侧面的面积和 27,则当容器的容积 最大时,底面边长的值为____________. 二、解答题: 1 π π 7.已知函数 f(x)=(1+ )sin2x+msin(x+ )sin(x- ). tanx 4 4 π 3π (1)当 m=0 时,求 f(x)在区间[ , ]上的取值范围; 8 4 3 (2)当 tanα=2 时,f(α)= ,求实数 m 的值。 5

8.在四边形 ABCD 中,BC=CD=DB,且 AD=1,AB=2,∠BAD=α. π (1)当 α= 时,求线段 AC 的长度; 3 (2)当 α 取何值时,四边形 ABCD 的面积最大?并求出面积的最大值.

9.在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC.

P

F

A

C

π (1)若∠BAC= ,AB=AC=PA=2,E,F 分别为 3 棱 AB,PC 的中点,求线段 EF 的长; (2)求证: “∠PBC=90° ”的充要条件 是“平面 PBC⊥平面 PAB” .

10.如图,四边形 ABCD 是为菱形,EC⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD. (1)求证:BD⊥AE; (2)若 AB=3,∠DAB=60° ,EC=2DF=2, 求四面体 ACEF 的体积.
A D F

E

C B

11.某学科在市模考后从全年级抽出 100 名学生的学科成绩作为样本进行分析,得到样本频率 分布直方图如图所示. (1)估计该次考试该学科的平均成绩; (2)估计该学科学生成绩在[100,130)之间的概率; (3)为详细了解每题的答题情况,从样本中成绩在 80~100 之间的试卷中任选 2 份进行分 析,求至少有 1 人成绩在 80~90 之间的概率.
频率 组距 0.026

0.02

0.012 0.01 0.006 0.004 0.002 0 80 90 100 110 130 140 150 160 成绩

12.古罗马皇帝的女儿吉冬逃难到非洲,欲在海边购买“一张兽皮”的土地.她把一张兽皮剪 成了细条,结成一条长度为 l 的长绳,聪明的吉冬选择了如图所示的半岛形陆地 AOB,海

岸线 AOB 构成角 θ,P、Q 分别为长绳的两个端点,P 在 OA 上,Q 在 OB 上,长绳与海岸 线 OA、OB 所围住的土地即为其所有. (1)当 P、Q 处于什么位置时,所围住的三角形土地 POQ 面积最大? (2)已知 P、Q 两点位置确定(|PQ|<l),若点 M 是角 θ 内一点, 当 M 处于什么位置时,所围住的四边形土地 POQM 面积最大?

A P
θ

O

Q B

13.如图,已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆经过等腰梯形 ABCD 的四个顶点,两腰与 x → → 轴相交于点 M、N,且MB=-2MA. (1)若梯形的高等于 3,上底 BC 长等于 2,MN=6,求椭圆的方程; (2)当 MN 等于椭圆的短轴长时,求椭圆的离心率 e 的取值范围. C N O D A B M x y

x2 y2 14.已知椭圆 C: + =1(m>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,且椭圆上存在一点 P 满足 m+1 m ? ? PF1·PF2=1.

(1)求椭圆离心率 e 的取值范围; ? ? (2)若直线 PF2 与椭圆的右准线 l 相交于点 Q,且PF2=2F2Q,求直线 PF2 的方程.

15.在平面直角坐标系 xOy 中,A(2a,0) ,B(a,0) ,a 为非零常数,动点 P 满足 PA= 2PB, 记点 P 的轨迹曲线为 C. (1)求曲线 C 的方程; → → (2)曲线 C 上不同两点 Q (x1,y1),R (x2,y2)满足 AR =λ AQ ,点 S 为 R 关于 x 轴的对称点. ①试用 λ 表示 x1,x2,并求 λ 的取值范围; ②当 λ 变化时,x 轴上是否存在定点 T,使 S,T,Q 三点共线,证明你的结论.

16.已知{an}的前 6 项是公差不为零的等差数列,从第 5 项起是等比数列,a22+a32=a52+a62, S7=1. (1)求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn; (2)试求所有的正整数 m,使得 am+am+1+am+2=amam+1am+2 成立.

17. 已知数列{an}的通项公式是 an=2n 1, 数列{bn}是等差数列, 令集合 A={a1, a2, ?, an, ?},


B={b1,b2,?,bn,?},n∈N*.将集合 A∪B 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数 列记为{cn}. (1)若 cn =n,n∈N*,求数列{bn}的通项公式; cn+1 5 (2)若 A∩B=?,且数列{cn}的前 5 项成等比数列,c1=1,c9=8,求满足 > 的正整数 n cn 4 的个数. 18.已知 a∈R,函数 f(x)=x2(x-a). (1)求函数 f(x)在区间[1,2]上的最小值 h(a); 1 (2)对(1)中的 h(a),若关于 a 的方程 h(a)=k(a+ )有两个不同的实数解,求实数 k 的取 2

值范围; (3)若点 A(a1,h(a1)),B(a2,h(a2)),C(a3,h(a3))从左到右依次是函数 y=h(a)图象上三点, 且这三点不共线,求证:△ABC 是钝角三角形.

19.已知函数 f(x)=(x-1)2,g(x)=alnx. (1)若两曲线 y=f(x),y=g(x)在 x=2 处的切线互相垂直,求 a 的值,并判断函数 F(x)=f(x) -g(x)的单调性并写出其单调区间; 1 (2)若函数 φ(x)=af(x)+ g(x)的图象与直线 y=x 至少有一个交点,求实数 a 的取值范围; a

(3)证明对任意的 n∈N ,都有 ln(1+n)>

*

?
i=1

n

i-1 成立. i2


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