【2014-2015学年高中数学(北师大版,必修二)课时作业 1.2 第一章立体几何初步


§ 2

直观图

【课时目标】 1.了解斜二测画法的概念.2.会用斜二测画法画出一些简单的平面图 形和立体图形的直观图.

用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的规则: (1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O.画直观图时,把它们画成 对应的 x′轴与 y′轴,两轴交于点 O′,且使∠x′O′y′=45° (或 135° ),它们确定的平面 表示水平面. (2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′轴的线 段. (3)已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段,长 度为原来的一半.

一、选择题 1.下列结论: ①角的水平放置的直观图一定是角; ②相等的角在直观图中仍然相等; ③相等的线段在直观图中仍然相等; ④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行. 其中正确的有( ) A.①② B.①④ C.③④ D.①③④ 2.具有如图所示直观图的平面图形 ABCD 是( )

A.等腰梯形 B.直角梯形 C.任意四边形 D.平行四边形 3. 如图, 正方形 O′A′B′C′的边长为 1 cm, 它是水平放置的一个平面图形的直观图, 则原图的周长是( )

A.8 cm B.6 cm C.2(1+ 3) cm D.2(1+ 2) cm 4.下面每个选项的 2 个边长为 1 的正△ABC 的直观图不是全等三角形的一组是(

)

5.如图甲所示为一个平面图形的直观图,则此平面图形可能是图乙中的(

)

6.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 45° ,腰和上底长均为 1 的等腰梯形, 则该平面图形的面积等于( )

1 2 A. + 2 2 C.1+ 2

2 2 D.2+ 2 B.1+

二、填空题 7.利用斜二测画法得到: ①三角形的直观图是三角形; ②平行四边形的直观图是平行四边形; ③正方形的直观图是正方形; ④菱形的直观图是菱形. 以上结论,正确的是______________.

8.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,已知 A′C′=3,B′C′=2,则 AB 边上的中线的实际长度为____________. 9.如图所示,为一个水平放置的正方形 ABCO,它在直角坐标系 xOy 中,点 B 的坐标为 (2,2),则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点 B′到 x′轴的距离为________.

三、解答题 10.如图所示,梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=4 cm,CD=2 cm,∠DAB=30° ,AD= 3 cm,试画出它的直观图.

11.已知正三角形 ABC 的边长为 a,求△ABC 的直观图△A′B′C′的面积.

能力提升 12.在水平放置的平面 α 内有一个边长为 1 的正方形 A′B′C′D′,如图,其中的对 角线 A′C′在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该 四边形的真实图形并求出其面积.

直观图与原图形的关系 1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁,可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联 系:(1)在求直观图的面积时,可根据斜二测画法,画出直观图,从而确定其高和底边等;而 求原图形的面积可把直观图还原为原图形;(2)此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而 出错,在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直,反之也是.所以在求面积时应按 照斜二测画法的规则把原图形与直观图都画出来,找出改变量与不变量.用斜二测画法画出 2 的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的 倍. 4 2.在用斜二测画法画直观图时,平行线段仍然平行,所画平行线段之比仍然等于它的真 实长度之比,但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.

§ 2
作业设计 1.B [由斜二测画法的规则判断.] 2.B 3.A [

直观图

答案

根据直观图的画法,原几何图形如图所示,四边形 OABC 为平行四边形, OB=2 2,OA=1,AB=3,从而原图周长为 8 cm.] 4.C [可分别画出各组图形的直观图,观察可得结论.] 5.C 6.D [如图 1 所示,等腰梯形 A′B′C′D′为水平放置的原平面图形的直观图,作 D′E′∥A′B′ 交 B′C′ 于 E′ , 由 斜 二 测 直 观 图 画 法 规 则 , 直 观 图 是 等 腰 梯 形 A′B′C′D′的原平面图形为如图 2 所示的直角梯形 ABCD,且 AB=2,BC=1+ 2,AD =1,所以 SABCD=2+ 2.]

图1

图2

7.①② 解析 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变,因 此三角形的直观图是三角形,平行四边形的直观图是平行四边形. 8.2.5 解析 由直观图知,原平面图形为直角三角形,且 AC=A′C′=3,BC=2B′C′=4, 计算得 AB=5,所求中线长为 2.5. 2 9. 2 解析

画出直观图,则 B′到 x′轴的距离为 21 2 2 ·OA= OA= . 2 2 4 2 10.解 (1)如图 a 所示,在梯形 ABCD 中,以边 AB 所在的直线为 x 轴,点 A 为原点, 建立平面直角坐标系 xOy.如图 b 所示,画出对应的 x′轴,y′轴,使∠x′O′y′=45° . (2)在图 a 中, 过 D 点作 DE⊥x 轴, 垂足为 E. 在 x′轴上取 A′B′=AB=4 cm, A′E′ 3 1 =AE= 3≈2.598 cm;过点 E′作 E′D′∥y′轴,使 E′D′= ED,再过点 D′作 2 2 D′C′∥x′轴,且使 D′C′=DC=2 cm. (3)连接 A′D′、B′C′,并擦去 x′轴与 y′轴及其他一些辅助线,如图 c 所示,则四 边形 A′B′C′D′就是所求作的直观图.

11.解 先画出正三角形 ABC, 然后再画出它的水平放置的直观图, 如图所示.由斜二测画法规则知 3 B′C′=a,O′A′= a. 4 过 A′引 A′M⊥x′轴,垂足为 M, 3 2 6 则 A′M=O′A′· sin 45° = a× = a. 4 2 8

1 ∴S△A′B′C′= B′C′· A′M 2 1 6 6 = a× a= a2. 2 8 16 12.

解 四边形 ABCD 的真实图形如图所示, ∵A′C′在水平位置,A′B′C′D′为正方形, ∴∠D′A′C′=∠A′C′B′=45° , ∴在原四边形 ABCD 中, DA⊥AC,AC⊥BC,∵DA=2D′A′=2, AC=A′C′= 2, ∴S 四边形 ABCD=AC· AD=2 2.


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