重庆市七校联考2014-2015学年高一数学下学期期中试题 理


重庆市七校联考 2014-2015 学年高一数学下学期期中试题 理
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑. 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卷规定的位置上. 4.考试结束后,将答题卷交回. 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分,把正确答案涂在机读卡上才能得分) 1.不等式 ( x ? 2)(3 ? x) ? 0 的解集是( A. (??, 2) B. (3, ??) ) C. (2,3) D. (??, 2) U (3, ??) 开始 S = 0,i =1 C.22 ) C.30 D.55 i =i+1 i≤3 否 输出 S 结束 是 D.23 S =S+i2

2.高三(3)班共有学生56人,现根据座号,用系统抽样的方法,抽取 一个容量为4的样本.已知7号、35号、49号同学在样本中,那么样本 中还有一个同学的座号是( A.20 B.21 )

3.阅读右图的程序框图,则输出 S=( A.14 B.20

4.根据三个点(0,2) , (4,4) , (8,9)的坐标数据,求得的回归直线 方程是( A. =3x-1 C. =x+2 )

7 3 B. = x ? 8 2 1 10 D. = x ? 3 3

5.某观察站 C 与两灯塔 A、B 的距离分别为 200 米和 400 米,测得灯塔 A 在观察站 C 北偏东 30°,灯塔 B 在观察站 C 南偏东 30°处,则两灯塔 A、B 间的距离为( A.400米 B. 200 5 米 C. 200 3 米 D. 200 7 米 ). D.30°或 )

6.在△ABC 中, a ? 2, b ? 2 3 ,角 A=30°,则角 B 等于( A.60° 150° B.60°或120° C.30°

-1-

?x ? y ? 5 ? 7.已知不等式组 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 y ? x 的最大值是( ?y ? 0 ?
A.1 B.﹣1 C.﹣5



D.4

8. 已知等差数列 {an } 的公差 d ? 0 ,若 a4 ? a6 ? 24, a2 ? a8 ? 10 , 则该数列的前 n 项和 Sn 的 最大值为( A.50 ) B.40 ) C.45 D.35

9.下列结论中正确的是(

A.当 x ? 0 且 x ? 1 时, lg x ? C.当 x ? 3 时, x ?

1 ?2 lg x

B.当 x ? 0 且 x ? 1 时, x ? D.当 0 ? x ? 1 时, x ?

1 ?2 x

1 10 的最小值是 x 3

1 无最大值 x

10. a, b, c 分别为∠A,∠B,∠C 的对边,如果 b ? c ? 2 3, A ? 60?, ?ABC 的面积为 那么 a 为 ( A. 10 11.已知 ) B. 6 C.10
6 12 14 2004 2006 ? ? ?? ?( 10 16 18 2008 2010

3 , 2

D.6

a b 4 ? ad ? bc ,则 8 c d
B.-2010

) D.-2016

A.-2008

C.-2014

12 . 已 知 数 列 {an } 的 首 项 为 a1 ? 1 , 且 满 足 对 任 意 的 n ? N? , 都 有 an?1 ? an ? 2n ,

an?2 ? an ? 3? 2n 成立,则 a2015 ? (
A. 2
2016

) C. 2
2015

?1

B. 2

2016

?1

?1

D. 2

2015

?1

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13.为了了解某同学的数学学习情况,对他的6次数学测试成绩(满 分100分)进行统计,作出的茎叶图如图所示,则该同学数学成 绩的中位数为____________. 14.数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ? 1 (n ? 1) ,则

{an } 的通项公式为__________.
15.若 a ? a ? x ?
2

4 ? 6 ( x ? 0) 恒成立,则实数 a 的取值范围是____________. x
-2-

16 .△ ABC 的三边 a, b, c 和面积 S 满足 : S ? a 2 ? (b ? c)2 , 且△ ABC 的外接圆的周长为 . 三、解答题: (共 70 分,在答题卡上写出必要的求解或证明步骤才能得分) 17. (本小题满分 10 分) 已知 {an } 是首项为 2,公差为-2 的等差数列, (1)求通项 an ; 和 Sn . (2)设 ?bn ? an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的通项公式及其前 n 项

17? ,则面积 S 的最大值等于

18. (本小题满分 12 分) 解关于 x 的不等式

ax ? 2 ? 0 (a ? 0) x ?1

19. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,且 (a ? c)(sin A ? sin C ) ? (a ? b) sin B . (1)求角 C 的大小; (2)若 a ? 5 , c ? 7 ,求 ?ABC 的面积.

20. (本小题满分 12 分) 重庆某食品厂准备在该厂附近建一职工宿舍, 若建造宿舍的所有费用 p(万元)和宿舍与工 厂的距离 x(km)的关系式为 p= (0≤x≤8),若距离为 1 km 时,测算宿舍建造费用 3x+5 为 100 万元.为了交通方便,工厂与宿舍之间还要修一条道路,已知购置修路设备需 5 万元,铺设路面每公里成本为 6 万元.设 f ( x ) 为建造宿舍与修路费用之和. (1)求 f ( x ) 的表达式; (2)宿舍应建在离工厂多远处,可使总费用 f ( x ) 最小,并求最小值.

k

21. (本小题满分 12 分)

-3-

a ?3 , a n?1 ? 已知数列 {a } 的首项 1 4
n

2 a n ?1

3a n

, n ? 1,2,3?

(1)证明:数列 {

1 ? 1} 是等比数列; an

(2)是否存在互不相等的正整数 m, s, t 成等差数列,且 am ? 1, as ? 1, at ? 1 成等比数列? 如果存在,求出所有符合条件的 m, s, t ,如果不存在,请说明理由.

22. (本小题满分 12 分) 已知 ? 为锐角,且 tan? ? 的首项 a1 ?

2 ? 1 ,函数 f ( x) ? x 2 tan 2? ? x ? sin( 2? ?

?
4

) ,数列 {an }

1 , an?1 ? f (an ) . 2 (1)求函数 f ( x) 的表达式;

? an ; 1 1 1 ? ??? ? 2 (n ? 2 , n ? N * ) (3)求证: 1 ? 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an .
(2)求证: a n ?1

-4-

2014—2015 学年度第二学期半期七校联考 高一数学(理科)参考答案 一、选择题: 1-5CBABD 二、填空题: 13. 84
2

6-10BACCB 14.
2 2

11-12AD 15. (??, ?1) ? (2, ??) 16. 64

16题提示: a ? b ? c ? 2bc ? ∴

1 bc sin A 2

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? 1 ? sin A 2bc 4

8 ? sin A ? ? 1 ? 17 ∴ cos A ? 1 ? sin A 故 ? 4 ?cos A ? 15 ? 17 ? ∵ 2 R ? 17 ∴ a ? 2 R sin A ? 8 30 4 64 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b 2 ? c 2 ? bc ? bc 17 17 1 1 8 ? 64 ∴ S ? bc sin A ? ?17 ?16 ? 2 2 17
三、解答题: 17.答案: (1) an ? ?2n ? 4
2

(4 分)

3n ? 1 (2) Sn ? 3n ? n ? (6 分) 2 2 18.答 案 : a ? 2 ,解集为 {x | x ? 或x ? 1} (4 分) a a ? 2 ,解集为 {x | x ? R, 且x ? 1} (8 分) 2 0 ? a ? 2 ,解集为 {x | x ? 1或x ? } (12 分) a
19 . 答 案 : ( 1 ) 由 已 知 和 正 弦 定 理 得 : ( a+c ) ( a-c ) =b ( a-b ) 故 a -c =ab-b , 故 a +b -c =ab , 故 cos C =
2 2 2 2 2 2

a 2 ? b2 ? c2 1 = ,故 2ab 2

C=60°( 6 分 ) 2 2 2 2 2 ( 2 ) 由 ( 1 ) 中 a -c =ab-b , 得 25-49=5b-b , 得 b -5b-24=0 , 解 得 b=8 或 b=-3 ( 舍 ),故 b=8 .所 以 ,△ ABC 的 面 积 为 :S = 分) 20.解:(1)根据题意得 100= ,所以 k=800, 3×1+5 800 故 f(x)= +5+6x,0≤x≤8. (6 分) 3x+5 800 (2)因为 f(x)= +2(3x+5)-5≥80-5, 3x+5

1 ab sin C = 10 3 . ( 12 2

k

-5-

800 当且仅当 =2(3x+5)即 x=5 时 f(x)min=75. 3x+5 所以宿舍应建在离厂 5 km 处,可使总费用 f(x)最小,最小为 75 万元. (12 分) 21.解: (1)?

2a ? 1 2 1 1 1 ? n ? ? ? , …………2 分 an?1 3an 3 3 an 1 1 1 1 1 3 ? 1 ? ( ? 1) ,又 a1 ? ,? ? 1 ? , ? a1 3 an ?1 3 an 4 1 1 1 ? 数列 { ? 1} 是以为 首项, 为公比的等比数列. an 3 3
n

…………6 分

1 1 1 1 ? 1 ? ? n ?1 ? (2) 由 (1) 知 an ?1 33 3


3n 1 1 3 n1 ? , 即 . ……8 ? an ? n ? ?1 ? n , 3 ?1 an 3n 3

假设存在互不相等的正整数 m , s , t 满足条件, 则有 ?

?m ? t ? 2s

2 ?(as ? 1) ? (am ?1)(at ?1) 化简得 (3s ? 1)2 ? (3m ? 1)(3t ? 1) , 即 32 s ? 2 ? 3s ? 1 ? 3m?t ? 3m ? st ? 1 , m t s 因为 2 s ? m ? t ,所以得 3 ? 3 ? 2 ? 3 .

,所以 (

3s 3m 3t 2 ? 1) ? ( ? 1)( ? 1) 3s ? 1 3m ? 1 3t ? 1
…………10 分

但是 3m ? 3t ? 2 3m ? 3t ? 2 ? 3s ,当且仅当 m ? t 时等号成立, 这与 m , s , t 互不相等矛盾, 所以不存在互不相等的正整数 m , s , t 满足题给的条 件。…………12 分 22.解:⑴ tan 2? ? ∴ 2? ?

2 tan? 2( 2 ? 1) ? ?1 2 1 ? tan ? 1 ? ( 2 ? 1) 2
∴ sin(2? ?

又∵ ? 为锐角 (3 分)

?
4
2

?
4

) ?1
1 2

f ( x) ? x 2 ? x

⑵ an?1 ? an ? an ∴ an ? 0
2

∵ a1 ? ∴ a n ?1 ? a n

∴ a 2 , a3 ,? a n 都大于 0 (6 分)



1 1 1 1 1 1 1 ? ? ,∴ . ? ? ? 1 ? a n a n a n ?1 a n?1 a ? a n a n (1 ? a n ) a n 1 ? a n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ ? ??? ? ? ? ? ??? ? 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an a1 a2 a2 a3 an an?1 1 1 1 ? ? ? 2? a1 a n ?1 a n ?1 1 1 3 3 3 ∵ a 2 ? ( ) 2 ? ? , a3 ? ( ) 2 ? ? 1 , 又∵ n ? 2 an?1 ? an 2 2 4 4 4 1 1 1 1 ?2, ∴ an?1 ? a3 ? 1 , ∴1 ? 2 ? ∴1 ? ? ??? ?2 a n ?1 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? an (12

1

?

2 n

分)

-6-


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