高一函数的零点与二分法


函数的零点与二分法 一、 零点定义: 一般地,对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,如果_______________________________,那么 就把_______________叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点. ? 事实上,函数的零点就是_______________的解,也就是______________________ __________________________________________________. 练习: 1、函数 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 2 的零点是___________ 2、若函数 f(x)=x2+2x+a 没有零点,求实数 a 的取值范围___________ 3、若函数 f(x)=x2-ax-b 的两个零点是 2 和 3,求函数 g(x)=bx2-ax-1 的零点___________ 二、零点存在条件 问题:所有函数都存在零点吗?什么条件下才能确定零点的存在呢? 1、探究:(I)画出并观察二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 的图象:
2

1 在区间(-2,0)上有零点______; f (?2) · f (0) _____0(<或>) ○ . ②在区间(2,4)上也有这样的不等式吗? (II)观察函数的图象 在区间(a,b)上______(有/无)零点; f(a)·f(b)_____0(<或>);在区间(b,c) 上______零点;f(b)·f(c) _____0;在区间 (c,d)上______零点;f(c)·f(d) _____0. 2、零点性质: 如果函数 y ? f ( x) 在定义区间 ?a, b? 上的图像是_______________________的曲线,且 有__________________,那么在区间 ( a, b) 内一定存在一个实数 c ,使 f (c) ? 0 ,也就是在

y

a0 b

c

d

x

( a, b) 内,函数 y ? f ( x) 有零点
说明:1.两个条件缺一不可 2.有零点表示至少有一个,可以有多个. 问:若函数在区间(a,b)内有零点,是否一定能得出 f (a) ? f (b) ? 0 ? 问:在加上什么样的条件,区间(a, b)内就有且仅有一个零点了呢?

3 练习:1、在下列哪个区间内,函数 f (x)= x +3x-5 一定有零点( ) A、(-1,0) B、(0,1) C、(1,2) D、(2,3) 2、若 f ( x) ? ax ? 1 在 (1 , 2) 内有零点,则实数 a 的取值范围是. 三、零点的求法 3 如何求函数 f (x)= x +3x-5 的零点? CCTV2“幸运 52”片段 : 主持人李咏说道:猜一猜这架家用型数码相机的价格. 观众甲:2000!李咏:高了! 观众乙:1000! 李咏:低了! 观众丙:1500! 李咏:还是低了!· · · · · · · · 由此判断价格应该在________________之间,如果再猜呢? 3 事实用上述方法求求函数 f (x)= x +3x-5 的零点(精确到 0.1)

二分法求零点:通过每次把 y ? f ( x) 的零点所在的小区间_____________________,使区间 的两个端点逐步______________________,以求得零点的近似值,这种方法叫做二分法. 练习: 求函数 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 1 ( x ? ( 0 , 2) ) 的零点(精确到 0.1)

函数综合练习 一、填空: 1、若函数 f ( x) ? 3ax ? 1 ? 2a 在区间 [?1 , 1] 上存在 x0 ,使 f ( x0 ) ? 0 ( x0 ? ?1) ,则实数 a 的 取值范围是. 2、若二次函数 y ? x 2 ? bx ? c 的两个零点分别是 ? 1 , 2 ,则不等式 x ? f ( x) ? 0 的解集是. 3、若函数 f ( x) ? 2 x ? b (a ? x ? 2) 是奇函数, ,则 a ? b ? .

? x ? 2 ? x ? ?1? 2 4、函数 f ? x ? ? ? ? x ?? 1 ? x ? 2 ? ,且 f ?a ? ? 3 ,则 a 的值是. ? 2x ?x ? 2? ?

5、 y ? ?2 x 2 ? 4 x ? 1?x ? ?0 , 3? ? 的最大值是 M ,最小值是 m ,则 M ? m 的值是. 6.若函数 f ( x) ?

1 ( x ? 1) 2 ? 1的定义域和值域都是 [1, b ] ( b ? 1 ) ,则 b ? __________. 2

2 7、若奇函数 y ? f ?x ? 在 R 上单调递增,且 f m +f ? m ? ? 0 ,则实数 m 的取值范围是___

? ?

8、已知函数 y ? f ( x) 是偶函数, y ? g ( x) 是奇函数,它们的 定义域是 [?3 , 3] ,且它们在 x ? [0 , 3] 上的图象如图所示,则 不等式 f ( x) ? 0 的解集是. g ( x) 二、选择: 1、函数 f ( x) ? x ?

y

o

3 4
1

y=f(x) x 3 y=g(x)

3 的零点所在大致区间是() x

(A) ( 0 , 1 ) (B) ( 1 , 2 ) (C) ( 2 , 3 ) (D) ( 3 , 4 ) 2、已知 f ? x ? 是 R 上增函数, a、 b ? R 且 a+b ? 0 ,则下列不等式中正确的是() (A) f ? a ?+f ? b ? ? - [ f ? a ?+f ?b ?] (C) f ? a ?+f ? b ? ? - [ f ? a ?+f ?b ?] (B) f ? a ?+f ? b ? ? f (-a)+f (-b) (D) f ? a ?+f ? b ? ? f (-a)+f (-b)

( 0, + ? ) 3、若 f ( x) 是奇函数,且在 上是增函数,且 f (?3) ? 0 ,则 f ( x) ? 0 的解是() (-?,-3)( ? 0,3) (A)(-3,0)? (3, (B) ? ?)
( ? ?, ? 3)( ? 3, ? ?) (C)

(-3, 0)( ? 0, 3) (D)


4、 若函数 y ? f ( x) 在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线, 则下列说法正确的是 ( A.若 f (a) f (b) ? 0 ,不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; B.若 f (a) f (b) ? 0 ,存在且只存在一个实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; C.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ;

D.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; 三、解答: 1、已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 2 , x ?[ ? 5 , 5 ] (1)当 a ? ?1 时,求函数 f ( x) 的最大值与最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在 [?5 , 5 ] 上是单调函数。 (上海高考题)

2、对于任意定义在区间 D 上的函数 f ( x) ,若实数 x0 ? D 满足 f ( x0 ) ? x0 。则称 x0 为函数

f ( x) 在区间 D 上的不动点。
(1)求函数 f ( x) ? 2x ? (2)若函数 f ( x) ? 2 x ?

1 ? 2 在 (0 , ? ?) 上的不动点; x
1 ? 2a 在 (0 , ? ?) 上没有不动点,求实数 a 的取值范围。 x

3、 (提高)已知函数 f ( x ) ?

ax ? b 1 2 是定义在 (?1 ,1 ) 上的奇函数,且 f ( ) ? ? . 2 2 5 x ?1

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)判断 f ( x) 的单调性,并给予证明; (3)解不等式 f (t ? 1) ? f (t ) ? 0 。


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