2011年高考文科数学试题汇编----数列(教师用)


数列
一、选择题: (2011 年高考安徽卷文科 7)若数列 an ? 的通项公式是 an ? (??)g (?n ? ?) ,则 a? ? a? ? L a?? ? (A) 15 【答案】A (2011 年高考四川卷文科 9)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1, an+1 =3Sn(n ≥1),则 a6= (A)3 ×4 (C) 4
4 4

?

(B) 12

(C )

???

(D) ???

(B)3 × 4 +1 (D)4 +1
4

4

答案: A 解析:由题意,得 a2=3a1=3.当 n ≥1 时,an+1 =3Sn(n ≥1) ①,所以 an+2 =3Sn+1 ②,
4

②-①得 an+2 = 4an+1 ,故从第二项起数列等比数列,则 a6=3 ×4 . 5. (2011 年高考陕西卷文科 10)植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一 棵,相邻两棵树相距 10 米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从 1 到 20 依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两 . 个最佳 坑位的编号为( ) ... (A)(1)和(20) (B)(9)和(10) (C) (9)和(11) (D) (10)和(11)

答案:D 设在第 n 颗树旁放置所有树苗,利用等差数列求和公式,得出领取树苗往返所走的路程总和 f(n)
的表达式,再利用二次函数求最值的公式,求出这个最值 解:记公路一侧所植的树依次记为第 1 颗、第 2 颗、第 3 颗、…、第 20 颗 设在第 n 颗树旁放置所有树苗,领取树苗往返所走的路程总和为 f(n) (n 为正整数) 则 1 2 f(n)=[10+20+…+10(n-1)]+[10+20+…+10(20-n)] =10[1+2+…+(n-1)]+10[1+2+…+(20-n)] =5(n2-n)+5(20-n)(21-n) =5(n2-n)+5(n2-41n+420) =10n2-210n+2100, ∴f(n)=20(n2-21n+210),相应的二次函数图象关于 n=10.5 对称, 结合 n 为整数,可得当 n=10 或 11 时,f(n)的最小值为 2000 米. 故答案为:2000

-1-

(2011 年高考全国卷文科 6)设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 ,

S A?2 ? Sn ? 24 ,则 k ?
(A)8 【答案】D 【解析】 Sk ?2 ? Sk ? ak ?2 ? ak ?1 ? a1 ? (k ? 2 ?1)d ? a1 ? (k ? 1 ?1)d ? 2a1 ? (2k ? 1)d (B)7 (C)6 (D)5

? 2 ?1 ? (2k ? 1) ? 2 ? 4k ? 4 ? 24 ? k ? 5 故选 D。
(2011 年高考重庆卷文科 1)在等差数列 ?an ? 中, a2 ? 2 , a3 ? 4, 则a10 = A.12 【答案】D 二、填空题: 8.(2011 年高考浙江卷文科 17)若数列 ?n(n ? 4)( ) ? 中的最大项是第 k 项,则 k =_______。 【答案】4 解:要求数列最大项第 K 项 则只要 an 满足 ak>a(k+1)且 ak>a(k-1)即可 即 k(k+4)(2/3)^k>(k+1)(k+5)(2/3)^(k+1)且 k(k+4)(2/3)^k>(k-1)(k+3)(2/3)^(k-1) 化简得:k? >10 k? -2k-9<0 解得√10<k<√10+1 由于 k 是正整数 所以 k=4 即数列最大项第 4 项。 (2011 年高考江苏卷 13)设 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ,其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列, B.14 C.16 D.18

? ?

2 n? 3 ?

a2 , a4 , a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________
【答案】 3 3

按照 a1=1 有 因为数列不减且等差存在,所以 q>1
-2-

要使 q 最小,则需要 a2 最小,取为 1。此时需要 a1=1。 因为:a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数列, 所以有:a3=q ,a5=q^2,a7=q^3 因为:a2,a4,a6 成公差为 1 的等差数列 所以有:a2=1,a4=2,a6=3 因为:1≤a1≤a2≤a3≤a4≤a5≤a6≤a7 所以:1≤1≤1≤q≤2≤q^2≤3≤q^3 所以有:1≤q≤2 2≤q^2≤3 3≤q^3 综上所述:三次根号下 3 ≤q≤ 二次根号下 3 qmin=三次根号下 3

【解析】考察综合运用等差、等比的概念及通项公式,不等式的性质解决问题的能力,难题。 由题意: 1 ? a1 ? a2 ? a1q ? a2 ? 1 ? a1q2 ? a2 ? 2 ? a1q3 ,

?a2 ? q ? a2 ? 1, a2 ? 1 ? q2 ? a2 ? 2
而 a2 ? 1 , a1 ?1 , ? a, 1 , a2 ? 2 q3 ? a2 ? 2 ? 3 , 2 a2 ? 的最小值分别为 1, 2, 3; ?qmin ? 3 3 。

(2011 年高考辽宁卷文科 15)Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S2=S6,a4=1,则 a5=____________。 答案: -1

6?5 ? d, ?2a1 ? d ? 6a1 ? 解析:设等差数列的公差为 d,解方程组 ? 得 d=-2,a5=a4+d=-1. 2 ? ?a1 ? 3d ? 1,
三、解答题: (2011 年高考江西卷文科 21) (本小题满分 14 分)

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(1)已知两个等比数列 ?an ?, ?bn ?,满足 a1 ? a?a ? 0?, b1 ? a1 ? 1, b2 ? a2 ? 2, b3 ? a3 ? 3 , 若数列 ?an ? 唯一,求 a 的值; (2)是否存在两个等比数列 ?an ?, ?bn ?,使得 b1 ? a1 , b2 ? a2 , b3 ? a3 , b4 ? a4 成公差 不 为 0
?

的等差数列?若存在,求 ?an ?, ?bn ? 的通项公式;若 不 存在,说明理由.
?

(2)假设存在这样的等比数列 ? an ?? , bn ? , 公比分别为 q1,q 2 ,则由等差数列的性质可得:

?b2 ? a2 ? ? ?b3 ? a3 ? ? ?b1 ? a1 ? ? ?b4 ? a4 ?,整理得: ?b1 ? b3 ??q2 ? 1? ? ?a1 ? a3 ??q1 ? 1?
要使该式成立,则 q2 ? 1= q1 ? 1 ? 0 ? q1 ? q2 ? 1 或 b1 ? b3 ? a1 ? a3 ? 0 此时数列 b2 ? a2 ,

b3 ? a3 公差为 0 与题意不符,所以不存在这样的等比数列 ?an ?? , bn ?.
(2011 年高考福建卷文科 17)(本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (I)求数列{an}的通项公式; (II)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值.

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1 (2011 年高考湖南卷文科 20)(本题满分 13 分) 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M 的价值在使用过程中逐年减少, 从 第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始,每年初 M 的价值 为上年初的 75%. (I)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; (II)设 An ?

a1 ? a2 ? n

? an

, 若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则须在第 n 年初对 M

更新,证明:须在第 9 年初对 M 更新. 解析: (I)当 n ? 6 时,数列 {an } 是首项为 120,公差为 ?10 的等差数列.

an ? 120 ?10(n ?1) ? 130 ?10n;
当 n ? 6 时,数列 {an } 是以 a6 为首项,公比为

3 为等比数列,又 a6 ? 70 ,所以 4

3 an ? 70 ? ( ) n ? 6 ; 4

?120 ? 10(n ? 1) ? 130 ? 10n, n ? 6 ? 因此,第 n 年初,M 的价值 an 的表达式为 an ? ? 3 an ? 70 ? ( ) n ?6 , n ? 7 ? ? 4
(II)设 Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公式得 当 1 ? n ? 6 时, Sn ? 120n ? 5n(n ?1), An ? 120 ? 5(n ?1) ? 125 ? 5n; 当 n ? 7 时,

-5-

Sn ? S6 ? (a7 ? a8 ?

3 3 3 ? an ) ? 570 ? 70 ? ? 4 ? [1 ? ( ) n ?6 ] ? 780 ? 210 ? ( ) n ?6 4 4 4

3 780 ? 210 ? ( ) n ?6 4 An ? . n
因为 {an } 是递减数列,所以 { An } 是递减数列,又

3 3 780 ? 210 ? ( )8?6 780 ? 210 ? ( )9?6 47 79 4 4 A8 ? ? 82 ? 80, A9 ? ? 76 ? 80, 8 64 9 96
所以须在第 9 年初对 M 更新. (2011 年高考四川卷文科 20)(本小题共 12 分) 已知﹛ an ﹜是以 a 为首项,q 为公比的等比数列, Sn 为它的前 n 项和. (Ⅰ)当 S1 , S3 , S4 成等差数列时,求 q 的值; (Ⅱ)当 Sm , Sn , S i 成等差数列时,求证:对任意自然数 k , am?k , an?k , ai ?k 也成等差数列.

(Ⅱ)当 Sm , Sn , Si 成等差数列,则 2Sn ? Sm ? Si . 当 q ? 1 时,由 2Sn ? Sm ? Si ,得 2na ? ma ? ia ,即 2n ? m ? i .

am?k ? ai ?k ? 2an?k ? a ? a ? 2a ? 0 ;
当 q ? 1 时,由 2Sn ? Sm ? Si ,得 2 化简得 q ? q ? 2q ? 0 .
m i n

a(1 ? q n ) a(1 ? q m ) a(1 ? qi ) , ? ? 1? q 1? q 1? q

am?k ? ai ?k ? 2an?k ? aqm?k ?1 ? aqi ?k ?1 ? 2aqn?k ?1 ? aqk ?1 (qm ? qi ? 2qn ) ? 0 ,
综上,对任意自然数 k , am?k , an?k , ai ?k 也成等差数列.

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(2011 年高考湖北卷文科 17)(本小题满分 12 分) 成等差数列的三个正数的和等于 15, 并且这三个数分别加上 2、 5、 13 后成为等比数列 {bn } 中的 b2、b4、b5 (Ⅰ)求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,求证:数列 {Sn ? } 是等比数列. 本小题主要考查等差数列、等比数列及其求和公式等基础知识,同时考查基本运算能力. 解析: (1)设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a, a+d. 依题意, 得 a-d+a+a+d=15,解得 a=5. 所以 {bn } 中的 b3 , b4 , b5 依次为 7-d, 10, 18+d. 依题意,有(7-d) (18+d)=100,解得 d=2 或 d=-13(舍去). 故 {bn } 的第 3 项为 5,公比为 2.
5 4

5 由 b3 ? b1 ? 22 ,即 5 ? b1 ? 22 ,解得 b1 ? . 4
所以 {bn } 是以

5 5 为首项, 2 为公比的等比数列, 其通项公式为 bn ? ? 2n?1 ? 5 ? 2n?3 . 4 4

5 (1 ? 2 n) 5 5 ? 5 ? 2 n ? 2 ? , 即 Sn ? ? 5 ? 2n ? 2. (2)数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ? 4 1? 2 4 4

5 S ? 5 5 n ?1 4 5 ? 2n ?1 所以 S1 ? ? , ? ? 2. 4 2 S ? 5 5 ? 2n ? 2 n 4

5 5 因此 {Sn ? } 是以 为首项,公比为 2 的等比数列. 4 2
(2011 年高考山东卷文科 20)(本小题满分 12 分) 等比数列 ?an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1 , a2 , a3 中的 任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

-7-

(Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn ? an ? (?1)ln an ,求数列 ?bn ? 的前 2 n 项和 S 2 n . 【解析】 (Ⅰ)由题意知 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18 ,因为 ?an ? 是等比数列,所以公比为 3,所以数列

?an ? 的通项公式 an ? 2 ? 3n?1 .
(2011 年高考安徽卷文科 21)(本小题满分 13 分) 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数, 使得这 n ? 2 个数构成递增的等比数列, 将这 n ? 2 个 数的乘积记作 Tn ,再令 an ? lg Tn, n ? 1 . (Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )设 bn ? tan an ? tan an ?1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . 【命题意图】 :本题考察等比和等差数列,指数和对数运算,两角差的正切公式等基本知识, 考察灵活运用知识解决问题的能力,综合运算能力和创新思维能力。

(Ⅱ )由(Ⅰ )知 bn ? tan an ? tan an?1 ? tan(n ? 2) ? tan(n ? 3) , n ? 1 又

tan[(n ? 3) ? tan(n ? 2)] ?

tan(n ? 3) ? tan(n ? 2) ? tan1 1 ? tan(n ? 2) ? tan(n ? 3)

? tan(n ? 2) ? tan(n ? 3) ?

tan(n ? 3) ? tan(n ? 2) ?1 tan1

所以数列 {bn } 的前 n 项和为

S n ? tan(1 ? 2) ? tan(1 ? 3) ? tan(2 ? 2) ? tan(2 ? 3) ? …… ? tan( n ? 2) ? tan( n ? 3) tan(1 ? 3) ? tan(1 ? 2) tan(2 ? 3) ? tan(2 ? 2) tan( n ? 3) ? tan( n ? 2) ? ? …… ? ?n tan1 tan1 tan1 tan(n ? 2) ? tan 3 ? ?n tan1 ?
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【解题指导】 :做数列题时应优先运用数列的相关性质,本题考察的是等比数列前 n 项积,自 然想到等比数列性质: tn?2 ? t1 ? tn?1 ? t2 ? ……=t1 ? tn?2 ? 102 ,倒序相乘法是借鉴倒序相加法 得到的,这样处理就避免了对 n 奇偶性的讨论。 第二问的数列求和应联想常规的方法:倒序相加法,错位相减法,裂项相消法。而出 现 tan ? ? tan ? 时自然应该联想正切的和角或差角公式。 本题只要将这两个知识点有机结合起 来就可以创造性的把问题解决。 (2011 年高考广东卷文科 20)(本小题满分 14 分) 设 b>0,数列 {an } 满足 a1 ? b , an ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n , 2an ? b 【解析】
n?1

nban ?1 (n ? 2) . an ?1 ? n ? 1

?1 .

-9-

解: 1 )由题得an an ?1 ? an (n ? 1) ? nban ?1 ?1 ? n ? 1 nb 1 1 n ?1 n ? ? ? ? an ?1 an b b an ?1 an 令Bn ? n 1 1 ? Bn ? Bn ?1 ? an b b

n n ?1 n n ?1 当b ? 1时, =1 ? ? ? =1 an an ?1 an an ?1 ? 数列{ n n 1 }是一个等差数列 ? = +(n-1) 1=n an an 1 ? an ? 1

1 1 1 1 ? ( Bn ?1 ? ) ? 数列{Bn ? }是一个等比数列 b ?1 b b ?1 b ?1 1 1 1 n-1 1 1 1 1 n-1 1 1 n-1 ? Bn ? =(B1 ? )( ) ? Bn ? =( ? )( ) ?? ( ) b ?1 b ?1 b b ?1 b b ?1 b b(b ? 1) b 1 1 n-1 1 1 1 n ? Bn ? ? ( ) ? ? [1 ? ( ) ] b(b ? 1) b b ?1 b ?1 b 当b ? 1时,Bn ? ?1 b=1 n 1 1 n (b ? 1)nb n ? ? ? [1 ? ( )] ? an = ? an = ? (b ? 1)nb n n an b ? 1 b b ?1 b ?1 ? ? bn ? 1 (2)当b ? 1时,an ? 1, 不等式左边 =2 右边=2 2 ? 2 ? 2an ? b n ?1 ? 1 (b-1)nb n (b-1)nb n n ?1 当b ? 1时,即证2 ? b ? 1 即证2 ? b n ?1 ? 1 n n ?1 b ?1 (b ? 1)(b ? ? ? ? ? 1) 即证2nb n ? (b n ?1 ? 1 ) (b n ?1 ? ? ? ? ? 1) 即证2nb n ? 1+b ? ? ? ? ? b n ?1 ? b n ?1 ? ? ? ? ? b 2 n 1 ? b 2 n ?1 ? bn 1? b n 2 n ?1 当0 ? b ? 1时,即证(2n+1)b (b ? 1) ? b ? 1 ? (b ? 1)(b 2 n ? ? ? ? ? 1) 即证2nb n ? 1+b ? ? ? ? ? b n ?1 ? b n ? b n ?1 ? ? ? ? ? b 2 n ? b n ? 即证(2n+1)b n ? b 2 n ? ? ? ? ? 1 利用数学归纳法可以证明 同理当b ? 1时,不等式成立。综合得对于一切正整数n,2a n ? b n ?1 ? 1
(2011 年高考全国新课标卷文科 17)(本小题满分 12 分) 已知等比数列 ?an ? 中, a1 ?

1 1 ,q ? , 3 3

(1) sn 为数列 ?an ? 前 n 项的和,证明: s n ?

1 ? an 2

(2)设 bn ? log3 a1 ? log3 a 2 ?? ? log3 an ,求数列 ?bn ? 的通项公式; 17.分析: (1)直接用等比数列通项公式与求和公式; (2)代人化简得到等差数列在求其和。 解: (1)?a n ?

1 ? an 1 1 n?1 1 ? ( ) ? n ,? s n ? 3 3 2 3

(2) ? bn ? log3 a1 ? log3 a 2 ? ? ? log3 an ? ?(1 ? 2 ? ? ? n) n(n ? 1) ?? 2

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点评:本题考查等比、等差数列的通项公式与求和公式。注意正确用公式计算。 (2011 年高考浙江卷文科 19) (本题满分 14 分) 已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的首项 a1 为

a ( a ? R ),且

1 1 1 * , , 成等比数列(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式(Ⅱ)对 n ? N ,试 a1 a2 a4

比较

1 1 1 1 与 的大小. ? ? ... ? a1 a2 a22 a2n

【解析】 : (Ⅰ)

1 1 1 2 ? ? ? a2 ? a1a4 ? (a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d ) ? d ? a1 ? a 2 a2 a1 a4

数列 {an } 的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? a1 ? (n ?1)a1 ? na (Ⅱ)记 Tn ?

1 1 1 因为 a2n ? 2n a ,所以 ? ? ... ? a2 a22 a2n

1 1 n [1 ? ( ) ] 1 1 1 1 1 2 Tn ? ( ? 2 ? ... ? n ) ? 2 a 2 2 2 a 1? 1 2
1 1 1 1 ? [1 ? ( ) n ] 从而当 a ? 0 时, Tn ? ;当 a ? 0 时, Tn ? a 2 a1 a1
(2011 年高考天津卷文科 20)(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 与 ?bn ? 满足 bn?1an ? bn an?1 ? (?2)n ? 1 , bn ? (Ⅰ)求 a2 , a3 的值; (Ⅱ)设 cn ? a2n?1 ? a2n?1 , n ? N ? ,证明 ?cn ? 是等比数列; (Ⅲ)设 Sn 为 ?an ? 的前 n 项和,证明

3 ? (?1)n?1 , n ? N ? ,且 a1 ? 2 . 2

S1 S2 ? ? a1 a2

?

S2 n?1 S2 n 1 ? ? n ? (n ? N ? ) . a2 n?1 a2 n 3

?2, n是奇数 3 ? (?1)n?1 n , n ? N ? ,可得 bn ? ? 【解析】 (Ⅰ) 由 bn ? , bn?1an ? bn an?1 ? (?2) ? 1 , 2 ?1, n是偶数
当 n=1 时, a1 ? 2a2 ? ?1, 由 a1 ? 2 ,得 a2 ? ?

3 ; 当 n=2 时, 2a2 ? a3 ? 5, 可得 a3 ? 8 . 2

(Ⅱ)证明:对任意 n ? N ? , a2n?1 ? 2a2n ? ?22n?1 ? 1--------①

2a2n ? a2n?1 ? 22n ?1 ---------------②

- 11 -

②-①得: a2n?1 ? a2n?1 ? 3? 22n?1 ,即 cn ? 3 ? 22n?1 ,于是
? (Ⅲ)证明: a1 ? 2 ,由(Ⅱ)知,当 k ? N 且 k ? 2

cn?1 ? 4 ,所以 ?cn ? 是等比数列. cn

时, a2k ?1 ? a1 ? (a3 ? a1 ) ? (a5 ? a3 ) ? =2+3(2+ 2 ? 2 ?
3 5

? (a2k ?1 ? a2k ?3 )

? 22 k ?3 )=2+ 3 ?

2(1 ? 4k ?1 ) ? 22 k ?1 ,故对任意 k ? N ? , , 1? 4
1 ? 22 k ?1 , k ? N ? , 2 k ? (a2 k ?1 ? a2 k ) ? ,于是 2

由①得 22k ?1 ? 2a2k ? ?22k ?1 ? 1, 所以 a2 k ? 因此, S 2 k ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ?

S2k ?1 ? S2k ? a2k ?
S2 k ?1 S2 k ? a2 k ?1 a2 k



k ? 1 2 k ?1 ?2 , 2 k k ? 1 2 k ?1 ?2 k ? 1 ? 22 k k 1 k 2 2 ? 2k ? 1? k ? k k = , ? ? 2k 2 k ?1 1 2 2 ?1 4 4 (4 ? 1) 2 ? 2 2 k ?1 2

所以

S1 S2 ? ? a1 a2

?

S2 n?1 S2 n 1 ? ? n ? (n ? N ? ) . a2 n?1 a2 n 3

【命题意图】本小题主要等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证 能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法. (2011 年高考江苏卷 20)设 M 为部分正整数组成的集合,数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和为

S n ,已知对任意整数 k 属于 M,当 n>k 时, S n?k ? S n?k ? 2(S n ? S k ) 都成立
(1)设 M={1} , a 2 ? 2 ,求 a5 的值; (2)设 M={3,4} ,求数列 {an } 的通项公式

- 12 -

由(5) (6)得:

an?5 ? an?3 ? 2d2 ? an?4 ? 2a4 ? 2d2 ,(9); an?4 ? an?2 ? 2d1 ? an?5 ? 2a4 ? 2d1,(10);
由(9) (10)得: an?5 ? an?4 ? d2 ? d1 , 2a4 ? d1 ? d2 , an?2 ? an?3 ? d2 ? d1; ??a n ? (n ? 2) 成 等差,设公差为 d, 在(1) (2)中分别取 n=4,n=5 得: 2a1 +6a 2 ? 15d ? 2(2a1 ? 5a2 ? 5d ),即4a2 ? 5d ? ?2;

2a1 ? 8a2 ? 28d ? 2(2a1 ? 7a2 ? 9d ),即3a2 ? 5d ? ?1 ? a2 ? 3, d ? 2,? an ? 2n ?1.
(2011 年高考江苏卷 23)(本小题满分 10 分)

? }, b 设整数 n ? 4 , P ( a, b) 是平面直角坐标系 x O y中的点,其中 a, b? {1, 2 , 3 , n , a
(1)记 An 为满足 a ? b ? 3 的点 P 的个数,求 An ; (2)记 Bn 为满足 ( a ? b) 是整数的点 P 的个数,求 Bn

1 3

- 13 -

? (n ? 1)(n ? 2) , n ? 3k ? 1orn ? 3k ? 2 ? ? 6 ? Bn ? ? (k ? N * ) (n ? 3)n ? , n ? 3k ? 3 ? 6 ?
(2011 年高考全国卷文科 17) (本小题满分 l0 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 设数列 ?an ? 的前 N 项和为 Sn ,已知 a2 ? 6, 6a1 ? a2 ? 30, 求 an 和 Sn 【解析】设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,由题 ?

?a1q ? 6, ?6a1 ? a1q ? 30,
2

解得 ?

?a1 ? 3, ?a1 ? 2, 或? ?q ? 2, ?q ? 3.

所以 a1 ? 3, 则 an =a1q

n?1

a1 (1 ? q n ) ? 3 ? 2n ? 3 ? 3 ? 2 . Sn = 1? q
n?1

a1 ? 2, 则 an =a1qn?1 ? 2 ? 3n?1. Sn =

a1 (1 ? q n ) ? 3n ? 1 1? q

(2011 年高考重庆卷文科 16)(本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分) 设 {a n } 是公比为正数的等比数列, a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 4 。 (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 {bn } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 s n 。 解: (I)设 q 为等比数列 {an } 的公比,则由 a1 ? 2, a3 ? a2 ? 4得2q2 ? 2q ? 4 , 即 q ? q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2或q ? ?1(舍去) ,因此 q ? 2.
2

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所以 {an } 的通项为 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n (n ? N * ). (II) Sn ?

2(1 ? 2n ) n(n ? 1) ? n ?1 ? ? 2. 1? 2 2

? 2n?1 ? n2 ? 2.

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