怎么突破高中数学难题



怎么突破高中数学难题 在高中数学里,我们总会碰到或多或少的难题,令人寝食不安.有的题目可能使人摸不着头脑,找不 到方向! 其实难题也是有方法的, 关键是我们要能找对切入点.下面就突破难题常用的几种方法和大家一 起探讨. 一、从简单情形入手 很多复杂的问题其实只要从简单情形入手都能迎刃而解 .因为从简单情形入手往往更易看清问题的 本质.在数列问题中,从 n 等于 1,2 开始探究便于揭示问题的规律;在某些与计数相关的问题中如果数 目较大可以先考虑数目较小的情形,这是解决问题的基础;在涉及几何图形的数学问题中如果图形较为 复杂,可以将其中的基本图形抽取出来先进行研究以便排除不相干“线条”的干扰.对某些问题而言,从 简单情形入手可以打开解决问题的思路;从简单情形入手还可以理解为:思维的简单化,即面对数学问 题运用简单的数学手段处理问题,不将问题复杂化. 【例 1】:若数列 ?a n ?满足 a n ?1 1 ? 2a n , (0 ? a n ? ) ? 6 ? 2 ?? ,若 a1 ? ,则 a 20 的值为___________. 7 ?2a ? 1, ( 1 ? a ? 1) n n ? 2 ? 【切入点】由 a1 ? 5 6 5 3 6 ,可以求出: a2 ? , a3 ? , a4 ? ??然后推出 a20 ? . 7 7 7 7 7 x2 y 2 ? ? 1 ,过椭圆右焦点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点,交 y 轴于 P 点,设 【例 2】已知椭圆 25 9 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PA ? ?1 AF , PB ? ?2 BF ,则 ?1 ? ? 2 等于: A. ? 9 25 B. ? 50 9 C. 50 9 D. 9 25 【切入点】考虑到直线 l 就是 x 轴 .A 、 B 点分别是椭圆左右两个顶点, P 点即坐标原点,则 ??? ? ??? ? 5 PA ? (?5,0) , AF ? (9,0) 所以 ?1 ? ? ;同理可得: ? 2 ? ?5 ,因此得 ?1 ? ? 2 ,答案为 B. 9 二、从前一问结论入手 如果一个题设置有 2 问以上,它们各问之间总存在着某种联系,有时我们可以通过前问的结论得到 一些启示来解决下一问. 【例 3】如图所示,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 的中点. (1)求证:AB1⊥平面 A1BD; (2) 求二面角 A1 ? BD ? B1 的余弦值. 【切入点】由(1)知,AB1⊥平面 A1BD,又 B1F⊥BC(F 为线段 BC 的 中 点 ) , 连 结 GE , 则 ∠ B1GE 为 二 面 角 A1 ? BD ? B1 的 平 面 角 , 在 RT △ B1EG 中 , 1 B1E ? 2 , B1G ? 4 6 GE 6 , GE ? ,? cos ?B1GE ? . ? B1G 4 5 5 ∴二面角 A1 ? BD ? B1 的余弦值为 6 . 4 【例 4】(2012 年湖南数学竞赛 A 卷)已知函数 f ( x) ? e x ? x ,其中 e 为无理数,e=2.71828... (1)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax2 ? 1 的导函数 g '( x ) 在 [0, ??) 上是增函数,试求实数 a 的最大值; (2)求证: f ( ) ? f ( ) ? ... ? f ( 【切入点】由(1)问结论知: a ? 1 2 1 3 1 1

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