二次函数在闭区间上的最值问题


第三讲

二次函数在闭区间上的最值问题

一.知识点介绍 1.区间的概念 设 a、b 是两个实数,且 a<b,规定: (1)满足不等式 a (2)满足不等式 a (3)满足不等式 a (4)满足不等式 a

? x ? b 的实数的 x 集合叫做闭区间,表示为[a,b]; ? x ? b 的实数的 x 集合叫做开区间,表示为(a,b); ? x ? b 的实数的 x 集合叫做半开半闭区间,表示为[a,b); ? x ? b 的实数的 x 集合叫做也叫半开半闭区间,表示为(a,b];

说明:① 对于[a,b],(a,b),[a,b),(a,b]都称数 a 和数 b 为区间的端点,其中 a 为左端点, b 为右端点,称 b-a 为区间长度; ②在数轴上,这些区间都可以用一条以 a 和 b 为端点的线段来表示,在图中,用实心 点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端点; ③实数集 R 也可以用区间表示为 (-∞, +∞) , “∞”读作“无穷大”, “-∞”读作“负无穷大”, “+∞”读作“正无穷大”, 还可以把满足 x ? a, x>a, x ? b, x<b 的实数 x 的全体分别表示为[a,+∞)、 (a,+∞) 、(-∞,b]、(-∞,b)。 我们把以上区间记为 A,若 x 是 A 中的一个数,就说 x 属于 A,记作 x∈A。 否则就说 x 不属于 A,记作 x ? A。 2. 二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在 x∈ [α,β]上的最值: 当 a>0 时,有三种情况:

从上述 a>0 的三种情况可得结论:

b b ? [? , ? ] ,则当 x ? ? (1)若 ? 2a 2a
的最大值为 f (? ) 与 f ( ? ) 中较大的一个。 (2) 若 ?

时,

ymin

b 4ac ? b 2 ? f (? ) ? 2a 4a

,它

b ? [? , ? ] ,则最大值为 f (? ) 与 f ( ? ) 中较大的一个, 另一个即为最小值。 2a

当 a<0 可作同样处理。 二.例题讲解: 类型一“轴定区间定” 例 1:已知 f(x)=x2-x+2,当 x 在以下区间内取值时,求 f(x)的最大值与最小值。 (1) x∈[-1,0] (2) x∈[0,1] (3) x∈[1,2]

变式 1:求

y ? x2 ? x ? 6 的最值。

变式 2:已知 0≤x≤1,求

y ? x 1 ? x2

的最值。

变式 3:求函数

y ? x ? x ?1 的最小值。

类型二“轴变区间定” 2 例 2:求函数 f(x)=2x -2ax+3 在区间[-1,1]上的最小值。 变式 2:已知 y=x2,求 P=x2+(y-a)2 的最小值 变式 3:已知函数

f ( x) ? 4 x2 ? 4ax ? a2 ? 2a ? 2 在区间[0,2]上有最小值

3,求 a 的值。 类型三“轴定区间变” 例 3:已知 y=f(x)=x2-2x+3,当 x∈[t,t+1]时,求函数的最大值函数 g(t)和最小值函数 h(t)。并 求 h(t)的最小值。 变式:设 a 为实数,函数 f(x)=x2+|x-a|+1,求 f(x)的最小值。 类型三“轴变区间变” 例 4: 已知 三.拓展提高 1、设 ,求 的最小值。

?, ?

是方程

4 x 2 ? 4mx ? m ? 2 ? 0的两 个实 根, 当

m 为何 值时 ,

? 2 ? ? 2 有最小值?并求次最小值。

说明:在给定区间上求二次函数的最值时易错点是自变量 x 的取值限制,本题容易遗 漏 Δ≥0 这一隐含条件。

2、若函数

1 13 f ( x) ? ? x 2 ? 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求[a,b] 2 2
1 2 13 a ? ? 2a , 2 2 ? 1 13 2 ? f (b) ? ? b ? ? 2b ? ? 2 2

解:分三种情况讨论[a,b]。
f (a) ? ? (1) 当 a ? b ? 0 时, f ( x ) 在区间[a,b]上单调递增,所以 ? ? ?

a,b 是方程 ? 不可能;

1 2 13 1 13 x ? 2 x ? ? 0 的两个不同实根,而方程 ? x 2 ? 2 x ? ? 0 的两根异号, 2 2 2 2

( 2 )当 a ? 0 ? b 时, f ( x ) 在区间 [a,0]上递增,在区间 [0,b] 上递减,故 f(0)=2b ,且

min{ f (a ), f (b )}? 2a ,由 f(0)=2b 得 b=

13 1 13 2 13 39 ? ? 0 ,而 ,于是 f (b) ? ? ( ) ? 4 2 4 2 32 1 13 a ? 0 ,故 f(b)≠2a,所以 f(a)=2a,即 ? a 2 ? ? 2a ,解得 a ? ?2 ? 17 。 2 2 13 此时[a,b]=[ ?2 ? 17 , ] 4
f (a ) ? ? (3) 当 0 ? a ? b 时, f ( x ) 在区间[a,b]上单调递减,所以 ? ? ? 1 2 13 a ? ? 2b , 2 2 ? ? f (b) ? ? 1 b 2 ? 13 ? 2a ? ? 2 2

解得 a=1,b=3,此时[a,b]= [1,3] 四.课后作业
2 1.求函数 f ( x) ? ?2 x ? 8x ? 3 , x ? [?2,3] 的最值

2. 求 y ? ? x2 ? 6x ? 5 的最值。 3.已知函数 f(x)= - x2+2ax+1-a 在 0≤x≤1 时有最大值 2,求 a 的值。

4. 已知函数 f(x)=x2+2x+3 在[m,0]上有最大值 3, 最 小值 2,求 m 的取值范围. 5. 已知二次函数 上的最大值为 3,求实数 a 的值。 6.已知函数 在区间[m,n]上的最小值为 在区间

3m,最大值为 3n,求 m,n 的值。
1.答案: f ( x)max ? f (?2) ? 11 , f ( x)min ? f (3) ? ?39

2 2 2.答案:首先 ? x ? 6 x ? 5 ? 0 ,即 x ? 6 x ? 5 ? 0 ,所以 1 ? x ? 5 ,

又y?

? x 2 ? 6 x ? 5 ? ?( x ? 3) 2 ? 4 ,

所以 f ( x)max ? f (3) ? 2 , f ( x)min ? f (1) ? f (5) ? 0 3. 思维分析:一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论 解:f(x)= -(x-a)2+a2-a+1(0≤x≤1),对称轴 x=a 10 a<0 时, f ( x)max ? f (0) ? 1 ? a ? 2? a ? ?1

y

y
1

y

a 0

x

0 a1

x

0

1a

x

2 0≤a≤1 时 f ( x) max ? f (a) ? a ? a ? 1 ? 2得a ?
0

2

1? 5 (舍) 2

30 a>1 时, f ( x) max ? f (1) ? a ? 2 ? a ? 2 综上所述:a= - 1 或 a=2 4.[答案] [-2,-1] [解析] f(x)=x2+2x+3=(x+1)2+2,对称轴 x=-1,开口向上,f(-1)=2,∴m≤-1. 又 f(0)=f(-2)=3,∴m≥-2,故 m∈[-2,-1]. 5. 分析:这是一个逆向最值问题,若从求最值入手,需分 与 两大类五种情 形讨论, 过程繁琐不堪。 若注意到 的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到,

因此先计算这些点的函数值,再检验其真假,过程简明。 解:(1)令 ,得 ,且

此时抛物线开口向下,对称轴为 故 (2) 令 故 符合题意; (3)若 综上, 或 ,得 不合题意; , 得

, 此时抛物线开口向上, 闭区间的右端点距离对称轴远些,

,经检验,符合题意。

评注:本题利用特殊值检验法,先计算特殊点(闭区间的端点、抛物线的顶点)的函数值, 再检验其真假,思路明了、过程简洁,是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方 法。 解析 1:讨论对称轴 中1与 的位置关系。

①若 解得 ②若

,则

,则

,无解

③若

,则

,无解

④若 综上, 解析 2:由 在 上递增。

,则

,无解

,知

,则

,f(x)

所以

解得

评注:解法 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值,缩小了 m,n 的取值范围, 避开了繁难的分类讨论,解题过程简洁、明了。


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