【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中人教B版数学选修2-1课时作业:3.2.4]


3.2.4
课时目标

二面角及其度量

理解二面角和二面角的平面角的概念,会用向量的方法求二面角.

1 . 从 一 条 直 线 出 发 的 ______________ 所 组 成 的 图 形 叫 做 二 面 角 , 这 条 直 线 叫 做 ________________,每个半平面叫做________________.棱为 l,两个面分别为 α、β 的 二面角,记为____________. 2.在二面角 α—l—β 的______上任取一点 O,在______________内分别作射线 OA⊥l, OB⊥l,则________叫做二面角 α—l—β 的平面角. 3.平面角是________的二面角叫做直二面角,相交成______________的两个平面,叫做 相互垂直的平面. 4.二面角的平面角,它的两边在__________平面内,且都________于棱,两个条件缺一 不可. 5.

用向量夹角来研究二面角性质及其度量的方法(如图所示) (1)分别在二面角 α—l—β 的面 α、β 内,并沿 α,β________的方向,作向量 n1⊥l,n2⊥l, 则__________等于该二面角的平面角. (2)设 m1⊥α,m2⊥β,则〈m1,m2〉与该二面角____________________.

一、选择题 1.自二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线,这两条垂线所成的角与二面角的大小 关系是( ) A.相等 B.互为补角 C.互为余角 D.相等或互为补角 2.如图所示,

已知二面角 α—l—β 的大小为 60° ,m,n 为异面直线,且 m⊥α,n⊥β,则直线 m,n 的 夹角为( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 3. 如果二面角 α—l—β 的平面角是锐角, 点 P 到 α, β 和棱 l 的距离分别为 2 2, 4 和 4 2, 则二面角的大小为( ) A.45° 或 30° B.15° 或 75° C.30° 或 60° D.15° 或 60° 4.从点 P 引三条射线 PA、PB、PC,每两条夹角均为 60° ,则二面角 B—PA—C 的余弦值 是( ) 1 1 3 3 A. B. C. D. 2 3 3 2 5.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 E 为 BB1 的中点,则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成

的锐二面角的余弦值为( ) 1 2 3 A. B. C. 2 3 3 6.

D.

2 2

如图所示,在边长为 a 的等边△ABC 中,AD⊥BC,沿 AD 将△ABD 折起,若折起后 B、 1 C 两点间距离为 a,则二面角 B—AD—C 的大小为( ) 2 A.30° B.45° C.60° D.90° 1 2 3 4 5 6 题 号 答 案 二、填空题 7.若两个平面 α,β 的法向量分别是 n=(1,0,1),ν=(-1,1,0).则这两个平面所成的锐 二面角的度数是____________. 8.在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,底面为正三角形,若 AA1=AB=1,E 为棱 BB1 的中点, 则平面 AEC 与平面 ABC 所成锐二面角的大小为________. 9.

如图,已知正四棱锥的体积为 12,底面对角线的长为 2 6,则侧面与底面的夹角等于 ________. 三、解答题 10.自二面角 α—l—β 的棱上一点 A 在平面 β 内引一条射线 AC,它与棱 l 成 45° 角,和平 面 α 成 30° 角,求二面角 α—l—β 的大小.

11.

ABCD 是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90° ,又 SA⊥平面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD=

1 ,求面 SCD 与面 SAB 所成二面角的正切值. 2

能力提升 12.在正方体 AC1 中,求二面角 A—BD1—C 的大小.

13.

如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC,AA1=AB,D 为 BB1 的中点,E 为 AB1 上的 一点,AE=3EB1. (1)证明:DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线; (2)设异面直线 AB1 与 CD 的夹角为 45° ,求二面角 A1-AC1-B1 的正弦值.

1.二面角有三个要素:两个半平面和一条棱;二面角大小范围是[0,π]. 2.求二面角的大小的一般步骤是: (1)找出或作出平面角;(2)证明它符合定义;(3)通过解三角形计算. 3.与二面角有关的问题中找或作平面角的常用方法: (1)根据定义找出二面角的平面角; (2)根据三垂线定理或其逆定理作出二面角的平面角; (3)作二面角棱的垂面,则垂面和二面角的两个面的交线所成的角是该二面角的平面角. S射影 4.利用射影面积公式 cos α= 求二面角的大小. S原 5.利用平面的法向量来求二面角.

3.2.4

二面角及其度量

知识梳理 1.两个半平面 二面角的棱 二面角的面 α—l—β 2.棱 两半平面 ∠AOB 3.直角 直二面角 4.同一个 垂直 5.(1)延伸 〈n1,n2〉 (2)大小相等或互补 作业设计 1.D 2.B 3.B [如图①,②所示,分别是 P 在二面角 α—l—β 的内部、外部时的情况.因为 PA⊥ α,所以 PA⊥l,因为 PC⊥l,所以 l⊥面 PAC,同理,l⊥面 PBC,而面 PAC 与面 PBC 有 公共点,所以面 PAC 和面 PBC 应重合,即 A,B,C,P 在同一平面内,∠ACB 是二面角 的平面角. PA 2 2 1 在 Rt△APC 中,sin∠ACP= = = ,所以∠ACP=30° .在 Rt△BPC 中,sin∠BCP PC 4 2 2 PB 4 2 = = ,所以∠BCP=45° ,故∠ACB=30° +45° =75° (图①),或∠ACB=45° - PC 4 2 2 30° =15° (图②).] =

① ② 4.B [在射线 PA 上取一点 O,分别在平面 PAB、PAC 内作 OE⊥PA,OF⊥PA 交 PB、PC 于 E、F,则∠EOF 为所求二面角的平面角. 3 3 + -1 4 4 3 1 在△EOF 中,令 EF=1,则由题意可求得,OE=OF= ,∴cos∠EOF= = . 2 3 3 3 2× × 2 2 故选 B.] 5.B

[建立如图所示的直角坐标系,设正方体的棱长为 1, 1 → → 则DA1=(1,0,1),DE=(1,1, ) 2

设平面 A1DE 的法向量 n1=(x,y,z),则 x+z=0 x=-z, ? ? ? ? ∴? 解得? z z ?x+y+2=0. ?y=2. ? ? 1 令 z=1,∴n1=(-1, ,1) 2 平面 ABCD 的一个法向量为 n2=(0,0,1), 1 2 ∴cos〈n1,n2〉= = .] 3 1 1+ +1· 1 4 6.C [∵AD⊥CB,∴BD⊥AD,CD⊥AD, ∠BDC 为二面角 B-AD-C 的平面角, a 又∵BD=CD=BC= ,∴△BDC 为等边三角形, 2 ∴∠BDC=60° .] 7.60° -1 n· v 1 解析 cos〈n,ν〉= = =- . |n||v| 2 2· 2 ∴〈n,ν〉=120° . 8.30° π 9. 3 解析 作 VO⊥底面 ABCD,OM⊥BC,连结 VM,则 VM⊥BC,

所以∠VMO 为侧面和底面的夹角.由题意知 O 为底面中心,设底面边长为 a, 1 则 2a2=(2 6)2,解得 a=2 3,所以 OM= 3.又 VV—ABCD= · (2 3)2· h=12,得 h=3. 3 3 π 所以 tan∠VMO= = 3,所以∠VMO= . 3 3 本题还可利用向量法求二面角. 10.解 如图所示,

过 C 作 CD⊥平面 α,在 α 内作 DB⊥AB,垂足为 B,连结 BC.由三垂线定理知 BC⊥AB, 则∠CBD 为二面角 α—l—β 的平面角. 设 CD=a,又∠CAD 为 AC 与面 α 所成的角, 即∠CAD=30° ,∴AC=2a. 又∠CAB=45° ,∴BC= 2a. CD 2 在 Rt△CDB 中,sin∠CBD= = , BC 2 ∴∠CBD=45° ,即二面角 α—l—β 为 45° . 11.解 建立如图的空间直角坐标系 Axyz,

1 ? 则 A(0,0,0),D? ?2,0,0?, C(1,1,0),S(0,0,1), → 1 ? 则AD=? ?2,0,0?是平面 SAB 的法向量. 设面 SCD 的法向量 n=(1,λ,μ), 1 1 1 1 1,- , ?. 易得 λ=- ,μ= .∴n=? 2 2? ? 2 2 若以 θ 表示欲求二面角的值, → 则 cos θ=〈AD,n〉= . 1 1 1 → ? ?1,- , ?=1, ∵AD· n=? 2 2? 2 ?2,0,0?· ? 1?2 ?1?2 3 → 1 |AD|= ,|n|= 1+? , ?-2? +?2? = 2 2 1 2 2 1 ∴cos θ= = ,sin θ= , 3 3 1 3 · 2 2 1 2 ∴tan θ= = . 2 2 12.解 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,

设正方体的棱长为 1,则 D(0,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1). → DA1=(1,0,1)是平面 ABD1 的一个法向量, → DC1=(0,1,1)是平面 BCD1 的一个法向量.

→ → 所以 cos〈DA1,DC1〉=

1 = . 2

→ → 所以〈DA1,DC1〉=60° . 由图形可知二面角 A—BD1—C 为 120° . 13.(1)证明 以 B 为坐标原点,射线 BA、BB1 为 x 轴正半轴、

y 轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系 B-xyz. 设 AB=2,则 A(2,0,0),B1(0,2,0), 1 3 D(0,1,0),E( , ,0). 2 2 → 1 1 又设 C(1,0,c),则DE=( , ,0), 2 2 → → B1A=(2,-2,0),DC=(1,-1,c). → → →→ 于是DE· B1A=0,DE· DC=0,故 DE⊥B1A,DE⊥DC,又 DE∩AB1=E,CD∩DE=D. 所以 DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线. → → (2)解 因为〈B1A,DC〉等于异面直线 AB1 与 CD 的夹角, → → → → 故B1A· DC=|B1A||DC|cos 45° , 2 即 2 2× c2+2× =4. 2 → 解得 c= 2,故AC=(-1,0, 2). → → 又AA1=BB1=(0,2,0), → → → 所以AC1=AC+AA1=(-1,2, 2). 设平面 AA1C1 的法向量 m=(x,y,z), → → 则 m· AC1=0,m· AA1=0, 即-x+2y+ 2z=0,2y=0. 令 x= 2,则 z=1,y=0.故 m=( 2,0,1). 设平面 AB1C1 的法向量为 n=(p,q,r), → → 则 n· AC1=0,n· B1A=0, 即-p+2q+ 2r=0,2p-2q=0, 令 p= 2,则 q= 2,r=-1.故 n=( 2, 2,-1). m· n 1 所以 cos〈m,n〉= = . |m||n| 15 由于〈m,n〉等于二面角 A1-AC1-B1 的平面角, 1 210 所以二面角 A1-AC1-B1 的正弦值为 1- = . 15 15


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