4数学必修5----2-5等比数列的前n项和PPT


2.5

等比数列的前n项和

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第二章 数列

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an+1 若 =q, a n 1.如何用数学语言表述等比数列的定义?

其中n∈N*, q是非零常数,则称数列{a }为 等比数列 . n q 2.等比数列的通项公式是: an=a1·
n-1(n∈N*)



3.还记得等差数列的前n项和公式吗?
n?a1+an? n?n-1? =na1+ d 2 2 若{an}是等差数列,则Sn= .

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第二章 数列

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等比数列的前n项和公式
已知量 首项、公比与项数
na1?q=1?

首项、末项与公比
na1?q=1? ? ? Sn=?a1-anq ?q≠1? ? 1 - q ?

? ? 求和公式 Sn=?a1?1-qn? ?q≠1? ? ? 1-q

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第二章 数列

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1 1.在等比数列{an}中,若 a1=1,a4=8,则该数列的前 10 项和为( ) 1 1 A.2- 8 B.2- 9 2 2 1 1 C.2-210 D.2-211 1 1 3 3 解析: 因为 a4=a1q =q = ,所以 q= , 8 2 ?1? 1-?2?10 1 ? ? 所以 S10= 1 =2-29.故选 B. 1- 2 答案: B
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2 .在等比数列 {an} 中,公比 q =- 2 , S5 = 44 ,则 a1 的值为 ( )

A.4
C.2
a1?1-q5? 解析: S5= 1-q a1[1-?-2?5] ∴44= 1-?-2? ∴a1=4,故选 A.

B.-4
D.-2

答案: A
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3.在等比数列{an}中,已知a1+a2+?+an=2n-1,则a12

+a22+?+an2等于________.
解析: 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn=2n- 1.易知等比数列{an}的公比 q=2,首项 a1=1, ∴an=2n-1,于是 an2=4n-1, 1 n 2 2 2 n-1 ∴a1 +a2 +?+an =1+4+4 +?+4 = (4 -1)
2

3

1 n 答案: 3(4 -1)

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4.设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=3a3,求 公比q的值.
解析: ①当 q=1 时,S3=3a1=3a3,符合题目条件;

a1?1-q3? ②当 q≠1 时, =3a1q2, 1-q 因为 a1≠0,所以 1-q3=3q2(1-q), 因为 q≠1, 所以 1-q≠0,化简得 1+q+q2=3q2, 1 解得 q=-2或 q=1(舍) 1 综上,q 的值为 1 或-2.
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在等比数列{an}中, (1)若 Sn=189,q=2,an=96,求 a1 和 n; 5 (2)若 a1+a3=10,a4+a6=4,求 a4 和 S5; (3)若 q=2,S4=1,求 S8.

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[解题过程]

a1?1-qn? (1)由 Sn= ,an=a1qn-1 以及已知条件得 1-q

a1?1-2n? ? ?189= , 1-2 ? n-1 ?96=a · 2 , ? 1 192 ∴a1· 2 =192,∴2 = a . 1
n n

∴189=a1(2 又∵2
n -1

n

?192 ? -1)=a1? a -1?,∴a1=3. ? 1 ?

96 = 3 =32,∴n=6.

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(2)设公比为 q,由通项公式及已知条件得 a1+a1q2=10, a1?1+q2?=10, ① ? ? ? ? ? 3 即? 3 5 5 5 2 a q +a1q =4, a q ?1+q ?=4. ② ? ? ? 1 ? 1 1 1 ∵a1≠0,1+q ≠0,∴②÷ ①得,q =8,即 q=2,∴a1=8.
2 3

∴a4=a1q

3

?1? =8×?2?3=1, ? ?

a1?1-q5? S5= = 1-q

? ?1? ? 8×?1-?2?5? ? ? ? ?

1 1- 2

31 = . 2

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(3)方法一:设首项为 a1, a1?1-24? 1 ∵q=2,S4=1,∴ =1,即 a1= , 15 1-2 1 8 ? 1 - 2 ? 8 a1?1-q ? 15 ∴S8= = =17. 1-q 1-2 a1?1-q4? 方法二:∵S4= =1,且 q=2, 1-q a1?1-q8? a1?1-q4? ∴S8= = (1+q4)=S4· (1+q4) 1-q 1-q =1×(1+24)=17.
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[题后感悟]

在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,

a1与q是最基本的元素,在条件与结论间的联系不明显时,均可 以用a1与q列方程组求解. ,

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1.在等比数列{an}中,a1+an=66,a2an-1=128,前n项和Sn

=126,求n和q.
解析: ∵a1an=a2an-1=128,又 a1+an=66,
? ?a1=64 或? ? ?an=2

? ?a1=2 ∴? ? ?an=64

.

a1-anq ∵ Sn = =126,an=a1qn-1, 1-q
? ?q=2 ∴? ? ?n=6

1 ? ?q= 或? 2 . ? ?n=6
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2.在等比数列{an}中, 7 63 (1)已知 S3=2,S6= 2 ,求 an; (2)a3=-12,前 3 项和 S3=-9,求公比 q.
解析: (1)已知 S6≠2S3,则 q≠1, 7 63 又∵S3=2,S6= 2 ,
3 a ? 1 - q ? 7 ? ? 1 =2 ? 1-q 即? 6 a ? 1 - q ? 63 ? 1 =2 ? ? 1-q

① ②

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②÷ ①得 1+q3=9,∴q=2. 1 将 q=2 代入①,可求得 a1=2, 因此 an=a1qn-1=2n-2.
(2)方法一:由已知可得方程组
? q2=-12 ?a3=a1· ? 2 ? S = a ? 1 + q + q ?=-9 ? 3 1

① ②

1+q+q2 3 ②÷ ①得 q2 =4,即 q2+4q+4=0. 所以 q=-2.

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1 方法二:a3,a2,a1 成等比数列且公比为 . q
? ?1? ? a3?1-?q?3? ? ? ? ?

所以 S3=a3+a2+a1= -12?q3-1? = 2 =-9. q ?q-1?

1 1- q

所以 q2+4q+4=0,即(q+2)2=0. 所以 q=-2.

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已知等比数列{an}中,前10项和S10=10,前20项和S20= 30,求S30.

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[解题过程] 方法一:设公比为 q,则
10 a ? 1 - q ? ? ? 1 =10 ? 1-q ? 20 a ? 1 - q ? ? 1 =30 ? 1 - q ?

① ②

② 得 1+q10=3,∴q10=2, ①

a1?1-q30? a1?1-q10? ∴S30= = (1+q10+q20) 1-q 1-q =10×(1+2+4)=70.

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方法二:∵S10,S20-S10,S30-S20 仍成等比数列, 又 S10=10,S20=30, ?30-10?2 ∴S30-S20=S30-30= , 10 即 S30=70.

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[题后感悟] 等比数列前n项和的常用性质: (1)“ 片断和 ” 性质:等比数列 {an} 中,公比为 q ,前 m 项和 为Sm(Sm≠0),则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?,Skm-S(k-1)m,?构 成公比为qm的等比数列,即等比数列的前m项的和与以后依次m

项的和构成等比数列.
Sn+m-Sn (2)“相关和”性质:Sn+m=Sn+q Sm?q = (q 为 Sm
n n

公比?.

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3.各项均为正数的等比数列 {an}的前 n 项和为 Sn ,若 Sn= 2 ,

S3n=14,则S4n等于(
A.80 C.26

)
B.30 D.16

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解析: ∵Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列 ∴(S2n-Sn)2=Sn·(S3n-S2n) ∴(S2n-2)2=2·(14-S2n),解得S2n=6 又∵(S3n-S2n)2=(S2n-Sn)·(S4n-S3n)

∴(14-6)2=(6-2)·(S4n-14)
∴S4n=30.故选B.

答案: B

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已知等比数列的首项为1,项数为偶数,其奇数项
的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比与项数.

由题目可获取以下主要信息: ①等比数列的奇数项与偶数项分别依次构成等比数列; ②当项数为2n时,S偶∶S奇=q. 解答本题的关键是设出项数与公比,然后建立方程组求

解.

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[解题过程] 设此等比数列共 2n 项,公比为 q. 由于 S 奇≠S 偶,∴q≠1. 由于奇数项依次组成以 a1 为首项,以 q2 为公比的等比 数列, a1?1-q2n? 故所有奇数项之和为 S 奇= =85① 1-q2 a2?1-q2n? 同理可得所有偶数项之和为 S 偶= 2 =170② 1-q
②÷①,得q=2,代入①得22n=256, 解得2n=8,所以这个数列共8项,公比为2.
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第二章 数列

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[题后感悟] 等比数列前 n 项和的常用性质 项的个数的“奇偶”性质:等比数列{an}中,公比为 q. (1)若共有 2n 项,则 S 偶∶S 奇=q; (2)若共有 2n+1 项, a1+a2n+2 则 S 奇-S 偶= (q≠1 且 q≠-1). , 1+q

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第二章 数列

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4.等比数列{an}共2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶
数项的和大80,求该数列的公比q.
解析: 由题意知 S 奇=S 偶+80, 则 S2n=S 偶+S 奇=2S 偶+80=-240, S偶 -160 ∴S 偶=-160,则 S 奇=-80,∴q= = =2. S奇 -80

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求数列1,3a,5a2,7a3,?,(2n-1)an-1的前n项和(a≠0).

由题目可获取以下主要信息: ①数列的通项公式an=(2n-1)·an-1.

②每一项可分成两个因式,由前一个因式可构成等差数列, 后一因式可构成等比数列. 解答本题可选用错位相减法求数列的和.

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[规范作答] 当 a=1 时数列变为 1,3,5,7,?,2n-1, n[1+?2n-1?] 2 则 Sn= =n .4 分 2 当 a≠1 时,有 Sn=1+3a+5a2+7a3+?+(2n-1)an-1① aSn=a+3a2+5a3+7a4+?+(2n-1)an② 6分 ①-②得

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Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+?+2an 1-(2n-1)an, 8分


2a?1-an 1? 即(1-a)Sn=1+ -(2n-1)an,10 分 1-a


1-?2n-1?an 2a?1-an 1? ∴Sn= + 2 .12 分 1-a ?1-a?


[题后感悟] 错位相减法 一般来说,如果数列 {an} 是等差数列,公差为 d ;数列 {bn} 是等比数列,公比为q,则求数列{anbn}的前n项和就可以运用错 位相减法.

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第二章 数列

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在运用错位相减法求数列的和时,要注意以下四个问题: (1) 注意对 q 的讨论,在前面的讨论中,我们已知 q 是等比数 就应分x=0、x=1和x≠0且x≠1三种情况讨论. (2)注意相消的规律.

列 {bn}的公比,所以q≠0 ,但求和 Sn = 1 +2x + 3x2 + ?+ nxn -1 时,

(3)注意相消后式子(1-q)Sn的构成,以及其中成等比数列的
一部分的和的项数. (4) 应用等比数列求 和公式必 须注意公 比 q≠1 这一前提 条 件.如果不能确定公比 q 是否为 1 ,应分两种情况讨论,这在以 前高考中经常考查.
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n+1 3 4 n 5.求和:1+ 2+ 3+?+ n-1+ n . 2 2 2 2 n+1 2 3 4 解析: 设 Sn=2+22+23+?+ 2n ,①

n+1 1 2 3 4 则2Sn=22+23+24+?+ n+1 .② 2 由①-②,
?n+1 1 2 ?3 2? ?4 3? n? ? ? n+1 ? ? ? ? 得2Sn=2+ 22-22 + 23-23 +?+? n - n?- n+1 2? 2 ? ? ? ? ? 2

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2 1 1 1 n+1 =2+22+23+?+2n- n+1 2 1? 1? ?1- n? 2 ? n+1 2 1 ? =2+ 1 - 2n+1 1-2 1 1 n+1 3 n+3 =2+1-2n- n+1 =2- n+1 , 2 2 n+3 ∴Sn=3- n . 2

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1 . 在运用等比数列前 n 项和公式进行运算时应注意以下几 点: (1)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1,an,n, q,Sn五个量,知道其中任意三个量,都可求出其余两个量.

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(2) 在应用公式求和时,应注意到公式的使用条件为 q≠1,而当 q=1 时应按常数列求和,即 Sn=na1,由于非常 a1?1-qn? a1 n a1 数列的等比数列的前 n 项和 Sn= =- q+ , 1-q 1-q 1-q 可以看出,式子的组成是由一个指数式与一个常数的和构成 的,而指数式的系数与常数项互为相反数,由此可以根据前 n 项和公式判断等比数列, 即非常数列为等比数列是 Sn=aqn -a(a≠0,q≠0,n∈N*)的充分必要条件.

(3)在公比为字母参数的等比数列求和时,应分q=1与q≠1 两种情况进行讨论.

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2.等比数列前 n 项和的性质 (1)数列{an}为公比不为-1 的等比数列,Sn 为其前 n 项 和,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,?,仍构成等比数列. a1 (2)在等比数列的前 n 项和公式中,如果令 A= ,那 q-1 么 Sn=Aqn-A.
(3)项的个数的“奇偶”性质:等比数列{an}中,公比为 q. ①若共有 2n 项,则 S 偶∶S 奇=q; a1+a2n+2 ②若共有 2n+1 项,则 S 奇-S 偶= (q≠1 且 q≠- 1+q 1).
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◎已知等差数列{an}的首项 a1=1, 公差 d>0, 且第二项、 第五项、第十四项分别为等比数列{bn}的第二项、第三项、 第四项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; c1 c2 cn (2)设数列{cn}对任意正整数 n 都有 + +?+ =an+1 b1 b2 bn 成立,求 c1+c2+?+c2 009 的值.

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【错解】 b1q3.

(1)设 a1+d=b1q,a1+4d=b1q2,a1+13d=

由题意,得(1+d)(1+13d)=(1+4d)2, 整理,得 d2-2d=0, 解得 d=2,d=0(舍去), ∴an=2n-1.于是 b2=a2=3,b3=a5=9,b4=a14=27, b3 所以公比 q= =3,b1=1,故 bn=b1qn-1=3n-1. b2

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(2)∵an=2n-1,bn=3n 1,∴an+1=2n+1.


cn-1 c1 c2 cn c1 c2 由b +b +?+b =an+1,得b +b +?+ =an, bn-1 1 2 n 1 2 cn 两式相减得 =an+1-an=2, bn 所以 cn=2bn=2· 3n-1, ∴c1+c2+?+c2 009=2· 30+2· 31+2· 32+?+2· 32 008 =2(30+31+32+?+32 008) 1· ?32 009-1? 2 009 =2· =3 -1. 3-1
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c1 c2 cn c1 【错因】 由递推关系式b +b +?+b =an+1 得到b + 1 2 n 1 cn-1 c2 cn +?+ =a , 两式相减得到 =an+1-an=2 时, 忽视了 b2 bn bn-1 n n≥2 这一条件,事实上,数列{cn}的通项公式应当为分段函 数型,这是易错点.

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【正解】 b1q3.

(1)设 a1+d=b1q,a1+4d=b1q2,a1+13d=

由题意,得(1+d)(1+13d)=(1+4d)2, 整理,得 d2-2d=0,解得 d=2,d=0(舍去), ∴an=2n-1.于是 b2=a2=3,b3=a5=9,b4=a14=27, b3 所以公比 q=b =3,b1=1,故 bn=b1qn-1=3n-1. 2

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(2)∵an=2n-1,bn=3n 1,∴an+1=2n+1.


c1 c2 cn 由b +b +?+b =an+1,得 1 2 n cn-1 c1 c2 b1+b2+?+bn-1=an(n≥2), cn 两式相减,得b =an+1-an=2, n 所以 cn=2bn=2· 3n-1(n≥2).
c1 又当 n=1 时, =a2=3,于是 c1=3b1=3, b1 由上述公式得 c1=2· 31-1=2,
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? ?n=1? ?3 ∴cn=? n-1 ? 3 ?n≥2? ?2·

.

∴c1+c2+?+c2 009 =3+2· 31+2· 32+?+2· 32 008 =3+2(31+32+?+32 008) 3· ?32 008-1? 2 009 =3+2· =3 . 3-1

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练考题、验能力、轻巧夺冠
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