1.3正弦定理和余弦定理的应用


正弦定理、余弦 定理的应用 修远中学 陈永和 2015年3月23日星期一 课前回顾 (1)三角形常用公式: A? B ?C ?? 1 1 1 S?ABC ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2 a b c ? ? = 2R 正弦定理: sin A sin B sin C (2)正弦定理应用范围: ① 已知两角和任意边,求其他两边和一角 ② 已知两边和其中一边的对角,求另一边 的对角。(注意解的情况) (3)、余弦定理:三角形任何一边的平方等于其 他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积 的两倍。 b2 ? c2 ? a2 cos A ? 2bc a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b ? a ? c ? 2ac cos B 2 2 2 c ? a ? b ? 2ab cosC 2 2 2 a 2 ? c 2 ? b2 cos B ? 2ac a2 ? b2 ? c2 cosC ? 2ab (4)、余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题: (1)已知三边求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他 两个角。 例1 如图, 为了测量河对岸两点 A, B之间的距离, 在 河岸这边取点 C , D, 测得 ?ADC ? 85 0 , ?BDC ? 60 0 , ?ACD ? 47 0 , ?BCD ? 72 0 , CD ? 100 m.设A, B, C , D在 同一平面内, 试求A, B之间的距离(精确到1m) . 解 在?ADC中, ?ADC ? 85 0 , ?ACD ? 47 0 , 则?DAC ? 48 0.又DC ? 100,由正弦定理, 得 DC sin ?ADC 100 sin 85 0 AC ? ? ? 134.05?m ?. 0 sin ?DAC sin 48 在?BDC中, ?BDC ? 60 0 , ?BCD ? 720 , 则?DBC ? 48 0.又DC ? 100,由正弦定理, 得 DC sin ?BDC 100 sin 60 0 BC ? ? ? 116.54?m ?.在?ABC中,由余弦定理, 得 0 sin ?DBC sin 48 AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos ?ACB ? 134,05 2 ? 116.54 2 ? 2 ? 134.05 ? 116.54 cos 25 ? 3233.95, 所以 AB ? 57?m ?. 0 答 A, B 两点之间的距离约为 57 m . 例 2 如图, 某渔轮在航行中不幸遇 险, 发出呼救信号. 我海军舰艇在 A处获悉后, 测出该渔轮在方位角为45 0 , 距离为10n mile的C处, 并测得渔轮正沿方位角 为105 0 的方向,以9 n mile / h的速度向小岛靠拢 .我海军舰艇立 即以21 n mile / h的速度前去营救 .求舰艇的航向和靠近 渔轮所需的时间 (角度精确到 0.10 , 时间精确到1 min). 解 设舰艇收到信号后xh在B处靠拢渔轮, 则AB ? 21 x, BC ? 9 x, 又AC ? 10, ?ACB ? 45 0 ? 180 0 ? 105 0 ? 120 0.由余弦定理, 得 AB ? AC ? BC ? 2 AC ? BC cos ?ACB, 即 ?21 x ? ? 10 ? ?9 x ? ? 2 2 2 2 2 2 ? ? 所以 ?BAC ? 21.8 0 , 方位

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