福建省龙岩市2013届高三临考适应性检测理科数学卷3


福建省龙岩市 2013 届高三临考适应性检测理科数学卷 3
一、选择题: (共10小题,每小题5分,计50分) 1.已知复数 z 满足 (1 ? 3i ) z ? 1 ? i ,则 z =( A. ) C. 2 D. 2

2 2

B. ? 2

2.已知直线过定点(-1,1) ,则“直线的斜率为 0”是“直线与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

n 3. 设等差数列{an } 的前 n 项和 sn , 1 ? ?11 ,a4 ? a6 ? ?6 ,则当 sn 取最小值时, 等于 ) ( a A.6 B.7 C.8 D.9
1 n ) 的展开式中第3项的二项式系数是15,则展开式中所有项系数之和为( 2x 1 1 1 1 A. ? B. C. D. 64 32 64 128 5.设偶函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图象 1 如图所示,△KLM 为等腰直角三角形,∠KML=90° ,KL=1,则 f ( ) 的值 6
4.若 ( x ? 为 (A) ? )

3 4

(B) ?

1 4

(C) ?

1 2

(D)

3 4

6.某几何体的三视图如右图,其正视图中的曲线部分为半个圆弧,则该几何体的表面积为 ( ) A. 19 ? ? cm
2

B. 22 ? 4? cm

2

2 C. 10 ? 6 2 ? 4? cm

2 D. 13 ? 6 2 ? 4? cm

? x2 ? y 2 ? 1 ? 7.设O为坐标原点, A(1,1) ,若点 B ( x, y ) 满足 ?0 ? x ? 1 , ?0 ? y ? 1 ?

OB 则 OA? 取得最小值时,点B的个数是(
A.1 B.2

??? ??? ? ?

) C.3 D.无数个

8.若函数 y ? f ( x) 的导函数在区间 [a, b] 上的图象关于直线 x ?

a?b 对称,则函数 2

y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象可能是(



1

A.①

B.②

C.③

D.③④

9. 已知函数 f ( x) 满足:①定义域为R;② ?x ? R ,有 f ( x ? 2) ? 2 f ( x) ;③当 x ? [0, 2] 时,

f ( x) ? 2 ? 2 x ? 2 .记 ? ( x) ? f ( x) ?

x ( x ? [?8,8]) .
) D.8

根据以上信息,可以得到函数 ? ( x) 的零点个数为( A.15 B.10 C.9

(10) 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方:将 1,2,?, 9 填入 3×3 的方格内,使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于 15,如图 1 所示,一般地,将连续的正整数 1,2,3,?, n 2 填入 n ×

n 个方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方 形就叫做 n 阶幻方,记 n 阶幻方的对角线上数的和为 N ,如图 1 的幻
方记为 N 3 ? 15 ,那么 N12 的值为 ( )

A. 869 B. 870 D. 875 C. 871 二、填空题: (共 5 小题,每小题 4 分,计 20 分) 11.抛物线 y 2 ? 2 x 与直线 y ? x ? 4 所围成的图形面积是_____ 12.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 s 的值是_____

x2 y 2 13.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点是 F1,F2,设 P 是双曲 a b
线右支上一点, F1 F2 在 F1 P 上的投影的大小恰好为 | F1 P | 且它们的夹角 为

????? ????

????

?
6

,则双曲线的离心率 e 为__

.

14.已知数列 {an }中, a1 ? 1, 且P(an , an ?1 )(n ? N * ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,若 函 数 f ( n) ? 值 。

1 1 1 1 ? ?? ? (n ? N * , 且n ? 2) , 函 数 f (n) 的 最 小 ? n ? a3 n ? an n ? a1 n ? a2

15. 若自然数 n 使得作加法 n ? (n ? 1) ? (n ? 2) 运算均不产生进位现象, 则称 n 为 “给力数” ,

2

例如:32 是 “给力数” 因 32 ? 33 ? 34 不产生进位现象;23 不是 , “给力数” 因 23 ? 24 ? 25 , 产生进位现象.设小于 1000 的所有 “给力数” 的各个数位上的数字组成集合 A , 则用集合 A 中的数字可组成无重复数字的三位偶数的个数为_______________ 三、解答题: (共 6 小题,计 80 分) 16. (13 分) 如图, 单位圆(半径为 1 的圆)的圆心 O 为坐标原 点,单位圆与 y 轴的正半轴交与点 A ,与钝角 ? 的终边 OB 交于 点 B ( xB , y B ) ,设 ?BAO ? ? . (1) 用 ? 表示 ? ;

4 ,求点 B ( xB , y B ) 的坐标; 5 (3) 求 xB ? y B 的最小值.
(2) 如果 sin ? ?

17. (13 分) 某科考试中,从甲、乙两个班级各抽取 10 名同学的成绩进行统计分析,两班成绩的茎 叶图如图 5 所示,成绩不小于 90 分为及格. (Ⅰ)甲班 10 名同学成绩的标准差 乙班 10 名同学成绩的标准差(填“>”,“<”) ; (Ⅱ)从两班 10 名同学中各抽取一人,已知有人及格,求乙班同学不及格的概率; (Ⅲ)从甲班 10 人中取一人,乙班 10 人中取两人,三人中及格人数记为 X, 求 X 的分布列和期望. 甲 乙 2,5,7 7 8,9 3,6,8 8 6,7,8 5,8 9 1,2,3,5 6,8 10 1

18. (13 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC= a , ?PAD 为等边三角形, 又平面 PAD⊥平面 ABCD. (Ⅰ)若在边 BC 上存在一点 Q,使 PQ⊥QD,求 a 的取值范围; (Ⅱ)当边 BC 上存在唯一点 Q,使 PQ⊥QD 时,求二面角 A-PD-Q 的余弦值.

3

x2 19.在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 +y2=1 有两个不 2 同的交点 P 和 Q. (1) 求 k 的取值范围; (2) 设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B,是否存在常数 k,使得向量

OP ? OQ 与 AB 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.
20.(14 分) 已知函数 f (x) 满足如下条件:当 x ? (?1, 1] 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ,且对任意 x ? R , 都有 f ( x ? 2) ? 2 f ( x) ? 1 . (1)求函数 f (x) 的图象在点 (0 , f (0)) 处的切线方程; (2)求当 x ? (2k ? 1 , 2k ? 1] , k ? N * 时,函数 f (x) 的解析式; (3)是否存在 xk ? (2k ? 1 , 2k ? 1] , k ? 0 ,, , , 1 2 ? 2011 ,使得等式
2011 k ?0

? [2 x
k

k

? f ( xk )] ? 4019 ? 2 2012 ? 2017

成立?若存在就求出 xk ( k ? 0 ,, , , ,若不存在,说明理由. 1 2 ? 2011 ) 21. (14 分)本题有三小题,请任选两小题作答。 (1)选修 4-2:矩阵与变换 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,0),B(-2,0),C(-2,1)。设 k 为非零实数,矩阵 M= ?

? k 0? ?0 1 ? ? ,N= ?1 0? ,点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A1、B1、C1, ? 0 1? ? ?

△A1B1C1 的面积是△ABC 面积的 2 倍,求 k 的值。 (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

36 ; 4 cos ? ? 9sin 2 ? (Ⅰ)若以极点为原点,极轴所在的直线为 x 轴,求曲线 C 的直角坐标方程;
已知曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ?
2

(Ⅱ)若 P ( x, y ) 是曲线 C 上的一个动点,求 3 x ? 4 y 的最大值 (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a,b,c 为实数,且 a ? b ? c ? 2 ? 2m ? 0, a 2 ?

1 2 1 2 b ? c ? m ? 1 ? 0. 4 9

1 2 1 2 (a ? b ? c) 2 ; (I)求证: a ? b ? c ? 4 9 14
2

(II)求实数 m 的取值范围。
4

参考答案
一、选择题:AAACD、ACBDB 二、11、18 12、 ?

16.解:(1)如图 ?AOB ? ? ? ? ? ? ? 2? ,?? ? 3? ? 2 ? . ????????4 2 2 (2)由 sin ? ?

1 7 13、 3 ? 1 14、 2 12

15、10

3? yB ,又 r ? 1 ,得 yB ? sin ? ? sin( ? 2? ) r 2

4 7 . ??????????7 ? ? cos 2 ? ? 2 sin 2 ? ? 1 ? 2 ? ( ) 2 ? 1 ? 5 25

由钝角 ? ,知 xB ? cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 24 ,
25

? B(?

24 7 , ) 25 25 ……………………………… ……………………………….9

(3) 【法一】 xB ? yB ? cos ? ? sin ? ? 2 cos(? ?

? ), 4

又 ? ? ( ? , ? ),? ? ? ? ( 3? , 5? ) , cos(? ? ? ) ? ?? 1,? 2 ? , ? ? 2 4 4 4 4 2 ? ? ?

? xB ? yB 的最小值为 ? 2 ………………………………………………………..13
【法二】 ? 为钝角,? xB ? 0, y B ? 0, xB ? y B ? 1 ,
2 2

xB ? y B ? ?( ? xB ? y B ) ,

(? xB ? yB ) 2 ? 2( xB ? yB ) ? 2 ,? xB ? yB ? ? 2 ,
2 2

? xB ? yB 的最小值为 ? 2 . ?????????????????13
17.解: (Ⅰ)>.····························· 2 分 (Ⅱ)甲班有 4 人及格,乙班有 5 人及格. 事件“从两班 10 名同学中各抽取一人,已知有人及格”记作 A , 事件“从两班 10 名同学中各抽取一人,乙班同学不及格”记作 B ,

5

20 P( A ? B) 2 ? 100 ? . ················ 6 分 则 P ( B | A) ? 30 7 P( A) 1? 100
(Ⅲ)X 取值为 0,1,2,3
1 1 1 1 1 C 6 C52 C 6 C5 C5 C 4 C52 19 2 ; P( X ? 0) ? 1 ? 2 ? ; P( X ? 1) ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? C10 C10 15 C10 C10 C10 C10 45 1 1 1 1 1 C 6 C52 C 4 C5 C5 16 C4 C 2 4 ; P ( X ? 3) ? 1 ? 5 ? . ·· 10 分 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 2 45 C10 C10 C10 C10 C10 C10 45

P( X ? 2) ?

所以 X 的分布列为

19 16 4 2 15 45 45 45 19 ? 32 ? 12 7 所以 E ( X ) ? ? . ······················ 13 分 45 5
18.解: (Ⅰ)取 AD 中点 O,连接 PO,则 PO⊥AD ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,∴PO⊥平面 ABCD???2 分 建立如图的空间直角坐标系, P (0, 0, 则

X P(X)

0

1

2

3

3 a (t, 0) 2, , a), D( , 0, 0) ,设 Q 2 2

3 a 则 PQ =(t,2,- , . a ) DQ =(t ? ,2,0) 2
2
∵PQ⊥QD,∴ PQ ? DQ ? t (t ? ) ? 4 ? 0 . ∴ a ? 2(t ? ) ? 8 ,等号成立当且仅当 t=2. 故 a 的取值范围为 [8, ??) . ????7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 t ? 2 , a =8 时,边 BC 上存在唯一点 Q,使 PQ⊥QD. 此时 Q(2,2,0) ,D(4,0,0), P (0, 0, 4 3) . 设

??? ???? ?

a 2

4 t

n ? ? x, y , z ?

是平面 PQD 的法向量, PQ =(2,2, ?4 3 ) ,

DQ =(-2,2,0) .

??? ? ?n?DP ? 0 ? ? ???? ?n?DQ ? 0 ,得. {2 x ? 2 y ? 4 3 z ? 0 由? ?2 x ? 2 y ? 0

6

取 x ? y ? 3 ,则 n ? (3,3, 3)

?

是平面 PQD 的一个法向量.

而 AB ? (0, 2, 0) 是平面 PAD 的一个法向量, 设二面角 A-PD-Q 为 ? ,由 cos ? ? cos AB, n ?

??? ?

??? ? ?

21 . 7

∴二面角 A-PD-Q 的余弦值为

21 . ??13 分 7

19.解: (1) 由已知条件知直线 l 的方程为 y=kx+ 2, x2 代入椭圆方程得 +(kx+ 2)2=1. 2 1 2? 2 整理得?2+k ?x +2 2kx+1=0.① ? 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 1 2 Δ=8k2-4?2+k ?=4k2-2>0, ? ? 2 2 解得 k<- 或 k> . 2 2 2 2 即 k 的取值范围为?-∞,- ?∪? ,+∞?. 2? ?2 ? ? (2) 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 则

OP ? OQ ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ),
4 2k . ② 1+2k2 又 y1+y2=k(x1+x2)+2 2,③

由方程①得 x1+x2=-



A( 2 ,0), B(0,1), AB ? (? 2 ,1).

所以 OP ? OQ 与 AB 共线等价于 x1+x2=- 2(y1+y2), 将②③代入上式,解得 k= 由(1)知 k<- 2 . 2

2 2 或 k> ,故没有符合题意的常数 k. 2 2

20.解 (1) x ? (?1, 1] 时, f ( x) ? ln( x ? 1) , f ?( x) ?

1 , ???????2 分 x ?1

所 以 , 函 数 f (x) 的 图 象 在 点 (0 , f (0)) 处 的 切 线 方 程 为 y ? f (0) ? f ?(0)( x ? 0) , 即

y ? x .?3 分
(2)因为 f ( x ? 2) ? 2 f ( x) ? 1 , 所以,当 x ? (2k ? 1 , 2k ? 1] , k ? N * 时, x ? 2k ? (?1 , 1] , ????????4 分

f ( x) ? 2 f ( x ? 2) ? 1 ? 2 2 f ( x ? 4) ? 2 ? 1 ? 23 f ( x ? 6) ? 2 2 ? 2 ? 1

? ? ? 2 k f ( x ? 2k ) ? 2 k ?1 ? 2 k ? 2 ? ? ? 2 ? 1 ? 2 k ln( x ? 2k ? 1) ? 2 k ? 1 6 分

7

(3)考虑函数 g ( x) ? 2 k x ? f ( x) , x ? (2k ? 1 , 2k ? 1] , k ? N , 则 g ?( x) ? 2 ?
k

2k 2 k ( x ? 2k ) , ? x ? 2k ? 1 x ? 2k ? 1

当 2k ? 1 ? x ? 2k 时, g ?( x) ? 0 , g (x) 单调递减; 当 x ? 2k 时, g ?( x) ? 0 ; 当 2k ? x ? 2k ? 1 时, g ?( x) ? 0 , g (x) 单调递增; 所以,当 x ? (2k ? 1, 2k ? 1] , k ? N 时, g ( x) ? g (2k ) ? (2k ? 1)2 k ? 1 , 当且仅当 x ? 2k 时, g ( x) ? g (2k ) ? (2k ? 1)2k ? 1 . ????????????10 分
2011

所以,
n

?[2k xk ? f ( xk )] ? ? g ( xk ) ? ?[(2k ? 1)2k ? 1]
k ?0 k ?0 k ?0 k

2011

2011



?[(2k ? 1)2
k ?0

? 1] ? 1 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? (2n ? 1)2n ? n ,

令 S n ? 1 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? (2n ? 1)2n ,则 2 S n ? 1 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (2n ? 1)2n ?1 , 两式相减得, ? S n ? 1 ? 21 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 23 ? ? ? 2 ? 2 n ? (2n ? 1)2 n ?1

? 1 ? 21 ?

2 ? 22 (2n ?1 ? 1) ? (2n ? 1)2n ?1 ? ?(2n ? 3)2n ?1 ? 6 . 2 ?1

所以, S n ? (2n ? 3)2 n ?1 ? 6 ,
2011



? [(2k ? 1)2
k ?0
2011 k ?0

k

? 1] ? S 2011 ? 2011 ? 4019 ? 2 2012 ? 2017 .????????12 分
2011 k ?0 2011 k ?0

所以,

?[2k xk ? f ( xk )] ? ? g ( xk ) ? ?[(2k ? 1)2k ? 1 ? 4019 ? 2n ?1 ? 2017 .
2011 k ?0 2011 k ?0

当且仅当 xk ? 2k , k ? 0, 1, 2, ?, 2011 时,
2011 k ?0

?[2k xk ? f ( xk )] ? ? g ( xk ) ? ?[(2k ? 1)2k ? 1 ? 4019 ? 2n ?1 ? 2017 .
2011

所以,存在唯一一组实数 xk ? 2k , k ? 0 , 1 , 2 , ? , 2011 , 使得等式

?[2 x
k k ?0

k

? f ( xk )] ? 4019 ? 2n ?1 ? 2017 成立. ??????????14 分

21 解: (1)由题设得 MN ? ?

? k 0? ?0 1 ? ?0 k ? ?? ??? ? ? 0 1 ? ?1 0 ? ?1 0 ?

由?

?0 k ? ?0 ?2 ?2 ? ?0 0 k ? 、B 、C 。 ?? ??? ? ,可知 A1(0,0) 1(0,-2) 1( k ,-2) ?1 0 ? ?0 0 1 ? ?0 ?2 ?2 ?

计算得△ABC 面积的面积是 1,△A1B1C1 的面积是 | k | ,则由题设知: | k |? 2 ? 1 ? 2 。

8

所以 k 的值为 2 或-2。 坐标系与参数方程:

x2 y 2 ? ? 1 ;???3 分 9 4 (Ⅱ)设 P (3cos ? , 2sin ? ) ,
(Ⅰ) 则 3 x ? 4 y = 9 cos ? ? 8sin ? ? 145 sin(? ? ? ) ??6

? ? ? R,? 当 sin(? ? ? ) ? 1 时, 3 x ? 4 y 的最大值为 145 ???7 分 1 1 解:①由柯西不等式得 [a 2 ? ( b) 2 ? ( c) 2 ][12 ? 2 2 ? 3 2 ] ? (a ? b ? c) 2 2 3
即 (a ?
2

1 2 1 2 1 1 (a ? b ? c) 2 b ? c ) ? 14 ? (a ? b ? c) 2 ,? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 4 9 4 9 14

1 1 | b |? | c | 取得等号,?????????4 分 4 9 1 1 ②由已知得 a ? b ? c ? 2m ? 2, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 ? m 4 9 5 ?14(1 ? m) ? (2m ? 2) 2 即2m 2 ? 3m ? 5 ? 0 ? ? ? m ? 1 2 1 2 1 2 5 又? a 2 ? b ? c ? 1 ? m ? 0, ? m ? 1,? ? ? m ? 1 ????7 分 4 9 2
当且仅当 | a |?

9


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