3年高考2年模拟:4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式(5)


2010 年
3 年高考 2 年模拟:4.1 三角函数的概念、同角三 年模拟: 三角函数的概念、 角函数的关系和诱导公式( 角函数的关系和诱导公式(5)

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一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1、若 sinα<0 且 tanα>0,则 α 是( ) A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角 2、在△ABC 中,AB= A、 C、 B、 D、 ,AC=1,B= ,则△ABC 的面积是( )



或 )

3、已知 tanα=2,则 cos(2α+π)等于( A、 C、 B、 D、

4、使奇函数 f(x)=sin(2x+θ)+ A、﹣ C、 5、若 tanα+ A、﹣ C、 D、 B、﹣ D、 =

cos(2x+θ)在[﹣

,0]上为减函数的 θ 值为(



,α∈( B、



) ,则 sin(2α+

)的值为(



6、角 a 终边过点 P(﹣1,2) ,则 sinα=( A、 C、 7、 (2005?江苏)已知 A、 C、 B、 D、 B、 D、



,则 cos(π+2α)的值为(



8、电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ωt+φ) (A>0,ω>0,0<φ< 当 t=

)的图象如右图所示,则

秒时,电流强度是(



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A、﹣5 安 B、5 安 C、 安 D、10 安 9、sin45°?cos15°+cos225°?sin15°的值为( A、 C、 D、 B、



10、已知点 P(sin π,cos π)落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π) ,则 θ 的值为( A、 C、 B、 D、



二、填空题(共 3 小题,每小题 4 分,满分 12 分) 11、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若其面积 S= (b +c ﹣a ) ∠A= _________ ,则 12、已知 sin( ﹣x)= ,则 sin2x 的值为
2 2 2



_________ . 13、在△ABC 中,AB=2,AC= ,BC=1+ ,AD 为边 BC 上的高,则 AD 的长是 _________ . 三、解答题(共 5 小题,满分 0 分) 14、在△ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边长,已知 sinA= 2 2 2 (1)若 a ﹣c =b ﹣mbc,求实数 m 的值; (2)若 a= ,求△ABC 面积的最大值. 15、 (2007?天津)在△ABC 中,已知 AC=2,BC=3, (Ⅰ)求 sinB 的值; (Ⅱ)求 16、已知函数 的值. .



. ,

(Ⅰ)将 f(x)写成 Asin(ωx+φ)的形式,并求其图象对称中心的横坐标; 2 (Ⅱ)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b =ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范围及此时函数 f(x)的值域. 17、知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (其中 ω>0,|φ|< ,且直线 x= ) ,g(x)=2sin x.若函数 y=f(x)的图象与 x 轴的任意两个
2

相邻交点间的距离为

是函数 y=f(x)图象的一条对称轴.

(1)求 y=f(x)的表达式; (2)求函数 h(x)=f(x)+g(x)的单调递增区间. 18、如图△ABC,D 是∠BAC 的平分线 (Ⅰ)用正弦定理证明: = ;

(Ⅱ)若∠BAC=120°,AB=2,AC=1,求 AD 的长.

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答案与评分标准 一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1、若 sinα<0 且 tanα>0,则 α 是( ) A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角 考点:三角函数值的符号。 分析:由正弦和正切的符号确定角的象限,当正弦值小于零时,角在第三四象限,当正切值大于零,角在第一三象 限,要同时满足这两个条件,角的位置是第三象限,实际上我们解的是不等式组. 解答:解:sinα<0,α 在三、四象限;tanα>0,α 在一、三象限, 故选 C. 点评:记住角在各象限的三角函数符号是解题的关键,可用口诀帮助记忆:一全部,二正弦,三切值,四余弦,它 们在上面所述的象限为正 2、在△ABC 中,AB= A、 C、 B、 D、 ,AC=1,B= ,则△ABC 的面积是( )





考点:正弦定理。 专题:计算题。 分析:先由正弦定理求得 sinC 的值,进而求得 C,根据三角形内角和求得 A,最后利用三角形面积公式求得答案. 解答:解:由正弦定理知 ∴sinC= ∴C= 或 C= = = ,



,A=

,S= AB?ACsinA= ,S= AB?ACsinA=

,A=



故选 D 点评:本题主要考查了正弦定理和三角形面积公式的应用.考查了学生对解三角形基础知识的灵活运用. 3、已知 tanα=2,则 cos(2α+π)等于( ) A、 C、 B、 D、

考点:运用诱导公式化简求值。 分析:利用万能公式求出 cos(2α+π)=﹣cos2α=﹣ 解答:解:∴tanα=2 ∴cos(2α+π)=﹣cos2α=﹣ = =

故答案选 A 点评:本题考查诱导公式的应用.通过万能公式完成了弦切转换.

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4、使奇函数 f(x)=sin(2x+θ)+ A、﹣ C、 B、﹣ D、

cos(2x+θ)在[﹣

,0]上为减函数的 θ 值为(



考点:正弦函数的奇偶性;正弦函数的单调性。 专题:计算题。 分析:首先根据已知将函数 f(x)化简为 f(x)=2sin(2x+θ+ 分别代入验证再根据单调性即可排除选项. 解答:解:由已知得:f(x)=2sin(2x+θ+ 由于函数为奇函数, 故有 θ+ =kπ (k∈k) ,可淘汰 B、C 选项 ) , ) ,然后根据函数的奇偶性确定 θ 的取值,将选项

即:θ=kπ﹣

然后分别将 A 和 D 选项代入检验, 易知当 θ= 时, ,0]上递减,故选 D、

f(x)=﹣2sin2x 其在区间[﹣

故答案为:D 点评:本题考查正弦函数的奇偶性和单调性,通过对已知函数的化简,判断奇偶性以及单调性,通过对选项的分析 得出结果.考查了对三角函数图象问题的熟练掌握和运用,属于基础题. 5、若 tanα+ A、﹣ C、 D、 = ,α∈( B、 , ) ,则 sin(2α+ )的值为( )

考点:两角和与差的余弦函数;同角三角函数基本关系的运用。 专题:综合题。 分析:把已知条件的等式两边都乘以 tanα,得到关于 tanα 的方程,求出方程的解,根据 α 的范围即可得到满足题 意 tanα 的值,然后把所求的式子利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后,再利用同角三角函数 间的基本关系把分母中“1”化为正弦与余弦函数的平方和的形式,分子利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简,然 后给分子分母都除以 cos α,变为关于 tanα 的关系式,把求出的 tanα 的值代入即可求出值. 解答:解:由 tanα+ 解得:tanα=3 或 tanα= , 由 α∈( 则 sin(2α+ )得 tanα>1,故 tanα= 舍去, × = ,去分母得: (tanα﹣3) (3tanα﹣1)=0,
2



)=

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=

×

=

×

=﹣



故选 A 点评:此题考查学生灵活运用两角和的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值,灵活运用二倍角的正 弦、余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值,是一道综合题. 6、角 a 终边过点 P(﹣1,2) ,则 sinα=( ) A、 C、 B、 D、

考点:任意角的三角函数的定义。 专题:计算题。 分析:由点坐标求出 OP 长,由任意角的三角函数定义求出 sinα 解答:解: ,由三角函数的定义得 ,

∴选 B. 点评:本题考查任意角的三角函数的计算,属容易题 7、 (2005?江苏)已知 A、 C、 B、 D、 ,则 cos(π+2α)的值为( )

考点:二倍角的余弦;运用诱导公式化简求值。 专题:计算题。 分析:利用诱导公式求出 ,同时化简 cos(π+2α)为 cosα 的形式,然后代入求解即可.

解答:解:由







故选 B. 点评:本题考查二倍角的余弦.诱导公式的化简与求值,考查计算能力,是基础题. 8、电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ωt+φ) (A>0,ω>0,0<φ< 当 t= )的图象如右图所示,则

秒时,电流强度是(



A、﹣5 安 B、5 安 C、 安 D、10 安 考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式。 专题:计算题。 分析:通过函数的图象求出 A,T,然后利用周期公式求出 ω, ( )为五点中的第二个点,

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代入表达式,即可求出 φ 的值,得到函数解析式,代入 t= 解答:解:由图象可知 A=10, ∴ω= ∴函数 I=10sin(100πt+φ) .

秒,即可求出电流强度.

( ∴100π× ∴0<φ< 当 t=

)为五点中的第二个点, +φ= ∴φ=

,I=10sin(100πt+

) .

秒时,I=﹣5 安

故选 A 点评:本题是基础题,考查学生视图能力,考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,此是近几年高考中对 三角函数的图象与性质考查的一种较热的题型,注意把握其解题规律.注意隐含条件 0<φ< 9、sin45°?cos15°+cos225°?sin15°的值为( A、 C、 D、 B、 ) 的应用.

考点:两角和与差的正弦函数;运用诱导公式化简求值。 分析:先通过诱导公式 cos225°=﹣cos45°,再利用正弦两角和公式化简即可得出答案. 解答:解:sin45°?cos15°+cos225°?sin15° =sin45°?cos15°﹣cos225°?sin15° =sin(45°﹣15°) =sin30° = 故答案选 C 点评:本题主要考查正弦函数的两角和公式的应用.此类题常与诱导公式、倍角公式等一起考查. 10、已知点 P(sin π,cos π)落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π) ,则 θ 的值为( A、 C、 B、 D、 )

考点:任意角的三角函数的定义。 分析:解出点 P 的具体坐标,即可求解 θ 的值. 解答:解:点 P(sin π,cos π) 即 P 它落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π) , ∴ 故选 B. 点评:本题考查任意角的三角函数的定义,是基础题.
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二、填空题(共 3 小题,每小题 4 分,满分 12 分) 11、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若其面积 S= (b +c ﹣a ) ∠A= ,则 考点:余弦定理。 专题:计算题。 分析:根据三角形的面积公式 S= bcsinA,而已知 S= (b +c ﹣a ) ,两者相等得到一个关系式,利用此关系式表示 出 sinA,根据余弦定理表示出 cosA,发现两关系式相等,得到 sinA 等于 cosA,即 tanA 等于 1,根据 A 的范围利用 特殊角的三角函数值即可得到 A 的度数. 解答:解:由已知得:S= bcsinA= (b +c ﹣a )
2 2 2 2 2 2 2 2 2



变形为:

=sinA,

由余弦定理可得:cosA=



所以 cosA=sinA 即 tanA=1,又 A∈(0,π) , 则 A= .

故答案为: 点评:此题考查学生灵活运用三角形的面积公式及余弦定理化简求值,是一道基础题. 12、已知 sin( ﹣x)= ,则 sin2x 的值为

. 考点:二倍角的正弦;两角和与差的正弦函数。 专题:计算题。 分析:利用诱导公式和两角和公式对 sin2x 化简整理,然后把 sin(
2

﹣x)= 代入即可得到答案.

解答:解:sin2x=cos(

﹣2x)=1﹣2sin (

﹣x)=

故答案为 点评:本题主要考查了三角函数中的二倍角公式.属基础题. 13、在△ABC 中,AB=2,AC= ,BC=1+ ,AD 为边 BC 上的高,则 AD 的长是 . 考点:余弦定理。 专题:综合题。 分析:在三角形 ABC 中,由 AB、AC、BC 已知,利用余弦定理求出 cosB 的值,根据 B 的范围及特殊角的三角函数 值求出 B,又因为 AD 为 BC 边上的高可知三角形 ABD 为直角三角形,根据三角函数的定义利用 B 的正弦函数等于 AD 比 AB,即可求出 AD 的长. = = ,

解答:解:如图由余弦定理得:cosB=

因为 B∈(0,π) ,所以 B=



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故 AD=ABsin 故答案为:

=2×

=



点评:此题考查学生灵活运用余弦定理化简、求值及会利用已知的边、角解直角三角形,是一道基础题. 三、解答题(共 5 小题,满分 0 分) . 14、在△ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边长,已知 sinA= 2 2 2 (1)若 a ﹣c =b ﹣mbc,求实数 m 的值; (2)若 a= ,求△ABC 面积的最大值. 考点:余弦定理的应用。 专题:计算题。 分析: (1)把题设等式平方后利用同角三角函数基本关系整理成关于 cosA,求得 cosA 的值.然后利用余弦定理求 得 m 的值. (2)由(1)中 cosA,求得 sinA,根据余弦定理求得 a,b 和 c 的不等式关系,进而利用三角形面积公式求得三角 形面积的范围. 解答:解: (1)由 sinA= 两边平方得: 2 2sin A=3cosA 即(2cosA﹣1) (cosA+2)=0, 解得:cosA= ,

而 a ﹣c =b ﹣mbc 可以变形为

2

2

2

= ,

即 cosA= = ,所以 m=1. (2)由(1)知 cosA= ,则 sinA=




2 2

= ,
2 2 2

所以 bc=b +c ﹣a ≥2bc﹣a ,即 bc≤a . 故 S△ABC= sinA≤ ? = .

点评: 本题主要考查了余弦定理的应用. 解题的关键是通过余弦定理找到三角形边角问题的联系, 找到解决的途径. 15、 (2007?天津)在△ABC 中,已知 AC=2,BC=3, (Ⅰ)求 sinB 的值; (Ⅱ)求 的值. .

考点:正弦定理;同角三角函数基本关系的运用;两角和与差的正弦函数;二倍角的余弦。 专题:计算题。
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分析: (1)利用 cosA,求得 sinA,进而根据正弦定理求得 sinB. (2)根据 cosA 小于 0 判断 A 为钝角,从而角 B 为锐角,进而根据 sinB 求得 cosB 和 cos2B,进而利用倍角公式求得 sin2B,最后根据两角和公式求得答案. 解答: (Ⅰ)解:在△ABC 中, ,由正弦定理, .

所以

. ,所以角 A 为钝角,从而角 B 为锐角,

(Ⅱ)解:∴







. =

=



点评:本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识,考查基本运算能力 16、已知函数 . ,

(Ⅰ)将 f(x)写成 Asin(ωx+φ)的形式,并求其图象对称中心的横坐标; (Ⅱ)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b =ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范围及此时函数 f(x)的值域. 考点:平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用。 分 析 : ( 1 ) 先 将 函 数 f ( x ) 化 简 为 : , =0,可得答案.
2



(2) b =ac, 由 有根据余弦定理可得

2

, 所以可得



f(x)值域为

.得到答案.

解答:解: =0 ,k∈k, π,k∈k;



(Ⅰ)由



即对称中心的横坐标为

(Ⅱ)由已知 b =ac,

2







,∴

,∴



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即 f(x)的值域为



综上所述,

,f(x)值域为



点评:本题主要考查三角函数的化简和余弦定理的应用.属中档题.求三角函数值域时一定多注意自变量 x 的取值 范围. 17、知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (其中 ω>0,|φ|< ,且直线 x= ) ,g(x)=2sin x.若函数 y=f(x)的图象与 x 轴的任意两个
2

相邻交点间的距离为

是函数 y=f(x)图象的一条对称轴.

(1)求 y=f(x)的表达式; (2)求函数 h(x)=f(x)+g(x)的单调递增区间. 考点:三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性。 专题:计算题。 分析: (1)由函数 y=f(x)的图象与 x 轴的任意两个相邻交点间的距离为 x= 是函数 y=f(x)图象的一条对称轴,求得 sin(2? 得函数的周期,求得 ω.进而根据直线 求得 φ,函数的表达式可得.

+φ)=±1,最后根据|φ|<

(2)把 f(x)和 g(x)的表达式代入 h(x)中,化简整理可得函数 h(x)的表达式,进而根据正弦函数的性质求 得函数的单调递增区间. 解答:解: (1)由函数 y=f(x)的图象与 x 轴的任意两个相邻交点间的距离为 ∴w=2∴直线 x= ∴sin(2? φ=2kπ+ φ= 是函数 y=f(x)图象的一条对称轴, 得函数周期为 π,

+φ)=±1, 或 2kπ , ∈k) ∴|φ|< (k ,



.∴f(x)=sin(2x+

) . )+2sin x=sin(2x﹣ ≤2x﹣
2

(2)h(x)=f(x)+g(x)=sin(2x+ ∴函数 y=sin(2x﹣

)+1

)的单调增区间是 2kπ﹣ ≤x≤kπ+

≤2kπ+



∴函数 h(x)的单调递增区间为 kπ﹣

(k∈k) .

点评:本题主要考查了函数的周期性及其三角函数的性质.属基础题. 18、如图△ABC,D 是∠BAC 的平分线 (Ⅰ)用正弦定理证明: = ;

(Ⅱ)若∠BAC=120°,AB=2,AC=1,求 AD 的长.

考点:正弦定理的应用;余弦定理的应用。 专题:计算题。

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分析: (Ⅰ)设 ∠ADB=α , ∠BAD=B 则在 △ABD 中根据正弦定理 由根据∠BAD=∠DAC,∠DCA=180°﹣α,进而得出 (Ⅱ)先由余弦定理在△ABC 求出 BC,再根据 AB=2,AC=1, =

,同时在 △ACD 中根据正弦定理 =

,进而证明

求出 BD 和 DC,在△ABD 中由余弦定理得求出

AD 解答: (Ⅰ)证明:设∠ADB=α,∠BAD=B,则∠ADC=180°﹣α,∠CAD=B 由正弦定理得,在△ABD 中, 在△ACD 中, 又 sinα=sin(180°﹣α)③ 由①②③得: = . ①

,②

(Ⅱ)解:在△ABC 中,由余弦定理得 BC =AB +AC ﹣2AB?ACcos∠BAC =4+1﹣2×2×1×cos120°=7.20090209 故 BC= 设 BD=x,DC=y,则 x+y= ④ 由(Ⅰ)得 ,即 x=2y⑤ 联立④⑤解得 x=
2 2 2

,y=

故 cosB=

=

在△ABD 中,由余弦定理得 AD =AB +BD =2AB?BDcos∠ABD =4+( = 所以 AD= . 点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用. 在解三角形问题的时候往往通过这两个定理进行角和边的互化, 故应灵活运用. )2﹣2×2× ×
2 2 2

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参与本试卷答题和审题的老师有: khwsd;ccxiking;涨停;sllwyn;qiss;wsj1012;lvp80。 (排名不分先后) 菁优网 2012 年 3 月 16 日

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