2017届高三数学周练试题


南康二中 2017 届高三数学周练试题 2016/12/30
命题: 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 2. 答题前,考生务必将自己的考生号、姓名填写在答题卡的相应位置上。 3. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.集合 P={x∈Z|0≤x<3},M={x∈Z|x2≤9},则 P∩M=( A.{1,2} B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{0,1,2,3} ) ) 审题:

2.已知 i 是虚数单位,若(m+i)2=3-4i,则实数 m 的值为( A.-2 B.± 2 C.± 2 D.2 )

3.设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a· b= ( A.1 B.2 C.3 D.5 ) 18 D. 25

π ? 3 4.已知 sin ? ?4-x?=5,那么 sin 2x 的值为( 3 A. 25 7 B. 25 9 C. 25

π 5.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 c2=(a-b)2+6,C= ,则△ABC 的面积是( 3 A.3 9 3 B. 2 3 3 C. 2 D.3 3

)

23π? 6.设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+sin x.当 0≤x<π 时,f(x)=0,则 f? ? 6 ?=( 1 A. 2 B. 3 2 C.0 1 D.- 2 )

)

S8 S12 7.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 =( S4 S8 A.2 7 B. 3 8 C. 3 D.3

→ → x2 y2 8.已知点 F,A 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点、右顶点,点 B(0,b)满足FB· AB=0,则双曲线 a b 的离心率为( A. 2 ) B. 3 1+ 3 C. 2 1+ 5 D. 2

9.如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边长均为 1,则该几何 体的表面积为( A.1+ 2 ) B.2+2 2 1 C. 3 D.2+ 2 )

10.当 m=7,n=3 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为(

A.7

B.42

C.210

D.840

11.两名学生一起去一家单位应聘,面试前单位负责人对他们说:“我们要从面试的人中招聘 3 人,你们俩 1 同时被招聘进来的概率是 ”,根据这位负责人的话,可以推断出参加面试的人数为( 70 A.21 B.35 C.42 D.70 ) )

12.若不等式 2xln x≥-x2+ax-3 对 x∈(0,+∞)恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,0) B.(-∞,4] C.(0,+∞) D.[4,+∞)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知向量 a,b 满足|a|=1,b=(2,1),且 λa+b=0(λ∈R),则|λ|=________. 14.若?2 x- 1 ?n 的展开式中所有二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为________. x?

?

π π? 15.若函数 f(x)=cos 2x+asin x 在区间? ?6,2?是减函数,则 a 的取值范围是________. 16.若不等式 ax2+bx+c>0 的解集是(-4,1),则不等式 b(x2-1)+a(x+3)+c>0 的解集为________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(12 分)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,A=2B. . 求①a 的值②sin(A+π /4)的值

18.如图,在四棱锥 A-BCDE 中,平面 ABC⊥平面 BCDE,∠CDE=∠BED=90° ,AB=CD=2,DE=BE =1,AC= 2. (1)证明:DE⊥平面 ACD; (2)求二面角 B-AD-E 的大小.

19.端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有 10 个粽子,其中豆沙粽 2 个,肉粽 3 个,白粽 5 个,这 三种粽子的外观完全相同.从中任意选取 3 个. (1)求三种粽子各取到 1 个的概率; (2)设 X 表示取到的豆沙粽个数,求 X 的分布列与均值.

p p, ?到抛物线 C1 的准线的距离为 2. 20.已知抛物线 C1:x2=2py(p>0),点 A? ? 2? (1)求抛物线 C1 的方程; (2)过点 A 作圆 C2:x2+(y-a)2=1 的两条切线,分别交抛物线于 M,N 两点,若直线 MN 的斜率为-1,求 实数 a 的值.

1 21.已知函数 f(x)= x2+aln x,a∈R. 2 (1)若 a=-1,求函数 f(x)的单调递增区间; (2)当 x>1 时,f(x)>ln x 恒成立,求 a 的取值范围.

22.(10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点 A 的极坐标为

? 2,π?,直线 l 的极坐标方程为 ρcos?θ-π?=a,且点 A 在直线 l 上. 4? ? ? 4?
(1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程;
? ?x=1+cos α, (2)圆 C 的参数方程为? (α 为参数),试判断直线 l 与圆 C 的位置关系. ?y=sin α ?

23.(10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f(x)=|x-4|+|x-a|(a<4). (1)若 f(x)的最小值为 3,求 a 的值; (2)求不等式 f(x)≥3-x 的解集.

南康二中 2017 届高三数学周练试题参考答案 2016/12/30
一.BAAB CABD DCAB 二 、13. 5 14. -160 15. (-∞,2] 4 ? 16. ? ?-3,1?

17.解:(1)因为 A=2B,所以 sin A=sin 2B=2sin Bcos B. a2+c2-b2 由正弦定理、余弦定理得 a=2b· . 2ac 因为 b=3,c=1,所以 a2=12,a=2 3. 由于 0<A<π, 所以 sin A= 1-cos2A= 1 2 2 1- = . 9 3

b2+c2-a2 9+1-12 1 (2)由余弦定理得 cos A= = =- . 2bc 6 3

π? π π 2 2 2 ? 1? 2 4- 2 故 sin ? ?A+4?=sin Acos 4+cos Asin 4= 3 × 2 +?-3?× 2 = 6 . 18 解:(1)在直角梯形 BCDE 中,由 DE=BE=1,CD=2,得 BD=BC= 2.由 AC= 2,AB=2, 得 AB2=AC2+BC2,即 AC⊥BC.又平面 ABC⊥平面 BCDE,从而 AC⊥平面 BCDE.所以 AC⊥DE, 又 DE⊥DC,从而 DE⊥平面 ACD. (2)以 D 为原点,分别以射线 DE,DC 为 x,y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 D-xyz, 由题意知各点坐标如下:D(0,0,0),E(1,0,0),C(0,2,0),A(0,2, 2),B(1,1,0). 设平面 ADE 的法向量为 m=(x1,y1,z1),平面 ABD 的法向量为 n=(x2,y2,z2), → → → 可算得AD=(0,-2,- 2),AE=(1,-2,- 2),DB=(1,1,0), → ? ?m· AD=0, 由? → ? ? m· AE=0,

?-2y1- 2z1=0, 得? 可取 m=(0,1, - ?x1-2y1- 2z1=0,

→ ? ?n· AD=0, 2). 由? → ? ? n· BD=0,

?-2y2- 2z2=0, 即? ?x2+y2=0,

可取 n=(1,-1, 2).于是|cos ? m,n ?|=

|m· n| 3 3 π = = .故二面角 B-AD-E 的大小是 . |m|· |n| 6 3· 2 2

1 1 C1 1 2C3C5 19 解:.(1)令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个”,则由古典概型的概率计算公式有 P(A)= 3 = . C10 4

(2)X 的所有可能值为 0,1,2,且 P(X=0)= 综上可知,X 的分布列为 X P 7 7 1 3 故 E(X)=0× +1× +2× = (个). 15 15 15 5

2 1 C3 7 C1 7 C2 1 8 2C8 2C8 . 3 = ,P(X=1)= 3 = , P(X=2)= 3 = C10 15 C10 15 C10 15

0 7 15

1 7 15

2 1 15

p p 20.[解] (1)由抛物线定义可得: + =2,∴p=2.∴抛物线 C1 的方程为:x2=4y. 2 2 (2)设直线 AM,AN 的斜率分别为 k1,k2,将 lAM∶y-1=k1(x-2)代入 x2=4y 可得: x2-4k1x+8k1-4=0,Δ=16(k1-1)2>0,∴k1∈R 且 k1≠1. 由韦达定理可得:xM=4k1-2,同理 xN=4k2-2 ∴kMN= yM-yN 1 = (x +x )=k1+k2-1. xM-xN 4 M N

|a+2k1-1| 2 又因为直线 lAM:y-1=k1(x-2)与圆相切,所以 =1,整理得 3k2 1+4k1(a-1)+a -2a=0, 1+k2 1
2 同理 3k2 +4k2(a-1)+a2-2a=0.所以 k1、k2 是方程 3k2+4k(a-1)+a2-2a=0 的两个根,

4?a-1? ∴k1+k2=- ,代入 kMN=k1+k2-1=-1 可得:a=1. 3 x2-1 1 21.解:(1)若 a=-1,f′(x)=x- (x>0),由 f′(x)>0 得 >0,又 x>0, x x 解得 x>1,所以函数 f(x)的单调递增区间为(1,+∞). (2)依题意得 f(x)-ln 1 x>0,即 x2+aln 2 x-ln x>0,∴(a-1)ln 1 x>- x2, 2 1 x+ x 2 , 2 x?

∵x>1,∴ln

1 1 - x2 - x2 -xln ? -1x2 ? 2 2 x>0,∴a-1> ,∴a-1>? 2 ?max,设 g(x)= ,g′(x)= ln x ln x ?ln ?ln x? 1 2 1 2 1 ? ? 时,g′(x)>0,g(x)在? 2 ?上单调递增; ?1,e ?

令 g′(x)=0,解得 x=e 1 2

,当 1<x<e

当 x>e e. 22.[解]

? 1 ? ? 1 ? 时,g′(x)<0,g(x)在? 2 ?上单调递减;∴g(x)max=g? 2 ?=-e,∴a-1>-e,即 a>1- ?e ? ?e ,+∞?

(1)由点 A? ?

π π 2, ?在直线 ρcos ?θ- ?=a 上,可得 a= 2. 4? ? 4?

所以直线 l 的方程可化为 ρcos θ+ρsin θ=2,从而直线 l 的直角坐标方程为 x+y-2=0. (2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,所以圆 C 的圆心为(1,0),半径 r=1, 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d= 23. [解] 1 2 = <1,所以直线 l 与圆 C 相交. 2 2

(1)因为|x-4|+|x-a|≥|(x-4)-(x-a)|=|a-4|,

又 a<4,所以当且仅当 a≤x≤4 时等号成立,故|a-4|=3,所以 a=1 为所求. (2)不等式 f(x)≥3-x 即不等式|x-4|+|x-a|≥3-x(a<4),①当 x<a 时,原不等式可化为 4-x+a-x≥3-x, 即 x≤a+1 所以,当 x<a 时,原不等式成立.②当 a≤x≤4 时,原不等式可化为 4-x+x-a≥3-x. a+7 即 x≥a-1.所以, 当 a≤x≤4 时, 原不等式成立. ③当 x>4 时, 原不等式可化为 x-4+x-a≥3-x, 即 x≥ , 3 a+7 由于 a<4 时 4> .所以,当 x>4 时,原不等式成立.综合①②③可知:不等式 f(x)≥3-x 的解集为 R. 3


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