二次函数综合题解题方法研究


二次函数综合题解题 方法研究
116中王庆跃

哈市考察的二次函数综合题共 三问,第一问通常求二次函数 解析式;第二问可能考察动点 构成的线段或面积,也可能是 动点运动的某个特殊位置;第 三问借助第二问的结论考察直 线与二次函数上某点所成几何 图形的引申。

如图,在平面直角坐标系中.点O是坐 标原点,抛物线y=x2+bx+c与X轴交于A、 B两点,与y轴交于点C,过点C的直线 y=-x+2与x轴交于点D,与抛物线交于 点E,且点E到x轴的距离为1. (1)求抛物线的解析式;

(2)点P为第一象限线段CD上一点,点 Q为线段CD延长线上一点,CP=DQ, 点M为x轴下方抛物线上的一点,当 △PQM是以PQ为斜边的等腰直角三角 形时,求点M的坐标;

1 (3)在(2)的条件下,N(m,2 m)为平面直 角坐标系内一点,直线MN交直线CD于 点F,且NF=2FM,求出m的值,并判断 点N是否在(1)中的抛物线上.

如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(1,0),B(4,0),与y轴交于点C。 (1)求抛物线的解析式; (2)连接BC,P是线段BC上一点,PQ∥y 轴,交(1)中抛物线于点Q,若CP=CQ, 求点Q的坐标; (3)在(2)的条件下,F(m,m-1)为 坐标系内一点,直线FQ交直线BC于点E, QE:QF=1:4,求F点的坐标并判断点F是 否在(1)中的抛物线上。

第一问通常求二次函 数解析式;
已知二次函数有两个待定系数 1、给任意两点 2、给顶点 3、给与x轴两交点

(香坊1模)如图, 抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0)、 C(0,4)两点,与x轴交于另一点 B. (1)求抛物线的解析式;

(南岗2模)如图,在平面直角坐标 系中,点O是坐标原点,抛物线 1 2 y= x +bx+c与y轴交于点C,过C点 3 作CB∥x轴交抛物线于B点,过B点作 BA⊥x轴,垂足为A,连接BO,B点坐 标为( 4 3 ,4) (1)求抛物线的 解析式;

(道外2模)

如图:抛物线y=-x2+bx+c交x 轴于A、B,直线y=x+2过点A, 交y轴于C,交抛物线于D,且D的 纵坐标为5. y ⑴求抛物线解析式;
D

C
A
A

O

B

x

(香坊2模)如图,在平面直角坐标 系中,点O是坐标原点,抛物线 y=x2+bx+c与直线y=2x-6交于x轴正 半轴上的B点,抛物线与x轴的负半 轴交于点A,与y轴的负半轴交于点C, OB=3OA. (1)求抛物线的解析式;

第一问考察的通常是二元一次方程组 的解法,可以让学生掌握顶点式、两 点式,以及一次函数的k值,a、b、c 的某些内在关系等进行验证。注意与 坐标轴的交点、顶点等特殊点能否构 成某些特殊图形,如:等腰三角形、 等边三角形、直角三角形等

第二问可能考察动点构成的线 段或面积,也可能是动点运动 的某个特殊位置;

(香坊1模)如图,抛物线y=-x2+bx+c 经过A(-1,0)、C(0,4)两点,与x轴交 于另一点B. (2)点P在第一象限的抛物线上,P点的 横坐标为t,过点P向x轴做垂线交直线 BC于点Q,设线段PQ的长为m,求m 与t之间的函数关系式 并求出m的最大值;

(松北1模)如图,抛物线y=-x 2+bx +c与直线y=0.5x+2交于C、D两点,其 中点C在y轴上,点D的坐标为 (3,3.5). 2)点P是y轴右侧的抛物线上一个动点, 过点P作PE⊥x轴于点E,交直线CD于 点F.若点P的横坐标为m,设线段PF的 长度为y,求y与m之间的函数关系式, 并直接写出自变量m的取值范围;

(道里1模)如图,在平面直角坐标系 内,点O为坐标原点,抛物线 y=ax2+bx+5交y轴于点A,交x轴负半轴 于点B及点C(-1,0),OB=OA.(2)点P 从点A出发沿抛物线向终点B运动,点P 到y轴的距离为m,过点P作y轴的平行 线交AB于点D,设线段PD的的长为 d(d≠0),求d与m之间的函数关系式并 直接写出自变量m的取值范围;

解决思路为:用一个字母如t、m等把 平行于y轴的两点(一点在抛物线上, 一点在直线上)坐标表示出来,长度 为纵坐标上减下

如图,抛物线y=ax2+bx+4与y轴交于点A, 与x轴交于点B,C两点,∠OAB=∠OCA, OB:BC=1:3. (2)点P是y轴右侧抛物线上的一动点, 设点P的横坐标为t,△ACP的面积为S (S≠0),求S与t之间的函数关系式,并 直接写出 自变量的取值范围;

如图,抛物线y=ax2+bx+4与y轴交于点A, 与x轴交于点B,C两点,∠OAB=∠OCA, OB:BC=1:3. (2)点P是y轴右侧抛物线上的一动点, 设点P的横坐标为t,△ACP的面积为S (S≠0),求S与t之间的函数关系式,并 直接写出 自变量的取值范围;
y A E x O B P C

如图,抛物线y=ax2+bx+4与y轴交于点A, 与x轴交于点B,C两点,∠OAB=∠OCA, OB:BC=1:3. (2)点P是y轴右侧抛物线上的一动点, 设点P的横坐标为t,△ACP的面积为S (S≠0),求S与t之间的函数关系式,并 直接写出 自变量的取值范围;
y A P x O B C F

如图,点O是坐标原点,抛物线 y=x2+bx+c与直线y=2x-6交于x轴正半 轴上的B点,抛物线与x轴的负半轴交于 点A,与y轴的负半轴交于点C, OB=3OA. (2)点D为抛物线的 顶点,连结BD,CD, 若线段BD上有一点P,使 ∠OCP+∠CDP=180°, 求∠DCP的正切值;

如图,已知抛物线y=ax2+bx+3的顶点 坐标为Q(2,-1),且与y轴交于点C, 与x轴交于A、B两点(A在B点的右 侧),点P是抛物线上一动点,从点C 沿抛物线向点A运动(点P不与点A、C 重合)。 (2)连接CP,将射线CP绕点C顺时 针旋转450交x轴于点E,连接EP,当 ⊿CPE为直角三角形时,求点P的坐标;

类似于市模第二问的形式也可以化为平 行于坐标轴的线段的形式加以解决,教 学中应注意强调在坐标轴上的两点或平 行于坐标轴的两点的距离与坐标的关系。 辅助线应优先考虑此类线段。

第三问借助第二问的结论考察直 线与二次函数上某点所成几何图 形的引申。

1 (3)在(2)的条件下,N(m,2 m)为平面直 角坐标系内一点,直线MN交直线CD于 点F,且NF=2FM,求出m的值,并判断 点N是否在(1)中的抛物线上.

把难以理解的表述方式换成熟悉的

(3)在(2)的条件下,将△BEF绕点B逆 时针旋转得到△BE1F1,使点E的对应点 E1落在线段AB上,点F的对应点是F1, E1F1交x轴于点G,连接PF、QG,当t 为何值时,2BQ-PF= 3 QG?
3

“综合型”例、习题,要寻求知识联 系
为了培养学生综合运用知识、灵活解题的能力,综合 型习题教学犹其显得重要。因为综合型题目是考察学 生对所教过知识的掌握情况、熟练程度、概括能力, 以及是否较全面了解知识的内在联系等。特别在数学 的毕业班数学总复习中综合型例题教学更是了解学生 的综合解题能力。又由于综合题往往知识覆盖面广, 联系较复杂,因此,教学时我们一定要有针对性地选 好题型,利用知识的内在联系,引导学生寻求解决问 题的关键,分析综合题时一般可将大题分解成若干小 题,然后逐步探索各小题的知识联系,引出一个知识 纽带.

如图,在平面直角坐标系中, 直线y=- 3 x- 3 与x轴 交于点A,与y 2 3 轴交于点C,抛物线y=ax 2- 3 x+c (a≠0)经过点A、C,与x轴 交于另一点 B. (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标; (2)若P是抛物线上一点,且△ABP为直角 三角形,求点P的坐标; (3)在直线AC上是否存在点Q, y 使得△QBD的周长最小, 若存在,求出Q点的坐标; x A O B 若不存在,请说明理由.
C D

“两个三角形相似”的问题:一个定三 角形和动三角形相似: 已知有一个角相等的情形: 先借助于相应的函数关系式,把动点 坐标表示出来(一字母示),然后把 两个目标三角形(题中要相似的那两 个三角形)中相等的那个已知角作为 夹角,分别计算或表示出夹角的两边, 让形成相等的夹角的那两边对应成比 例(要注意是否有两种情况),

如图:抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A、 B,直线y=x+2过点A,交y轴于C,交 抛物线于D,且D的纵坐标为5. ⑵点P为抛物线在第一象限的图象上一 点,直线PC交x轴于点E,若PC=3CE, y 求点P的坐标;
P
D C
A

EO H B

E

x

⑶在⑵的条件下,点Q为x轴上一点, 把△PCQ沿CQ翻折,点P刚好落在x 轴上点G处,求Q点的坐标.
K

y

P
D

C
Q
A O

H
图2

B

G

G x

如图,抛物线y= x2+bx+c与y轴的 交点A的坐标为(0,3),直线 1 AB∥x轴,交抛物线y= x2+bx+c 3 于点B(6,3)。
(3)在(2)的条件下, 过点P作PH⊥AB于点H, 将⊿APH沿直线AP折叠, 若点H关于直线AP的对 称点点C恰好落在x轴上, 求此时点P的坐标。

1 3

(2)不知道是否有一个角相等的情形: 这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在 定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长 度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角 寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角 的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形 中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助 于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐 标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是 否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比 例?若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样 的点不存在。简称“找特角,求(动)点标,再验 证”。或称为“一找角,二求标,三验证”。

如图1,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0) 经过A(3,0)、B(4,4)两点. (2)将直线OB向下平移m个单位长度 后,得到的直线与抛物线只有一个公 共点D,求m的值及点D的坐标; (3)如图2,若点N在抛物线上,且 ∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下, 求出所有满足△POD∽△NOB的点P 坐标(点P、O、D分别与点N、O、B 对应).

解第三问依旧应注意平行于坐标轴 的辅助线,更应注意2、3问之间的 联系。通常几何图形的位置比较特 殊,把线段转化成坐标,还有三角 函数在本题中的应用等。

再 见!


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