第1讲集合与常用逻辑用语


第1讲

集合与常用逻辑用语

【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定,常与函数、不 等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2.试题以选择题、填空 题方式呈现,考查的基础知识和基本技能,题目难度中等偏下. 1. 集合的概念、关系与运算 (1)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性,求解含参数的集合问题时要根据互 异性进行检验. (2)集合与集合之间的关系:A?B,B?C?A?C,空集是任何集合的子集,含有 n 个元 素的集合的子集数为 2n,真子集数为 2n-1,非空真子集数为 2n-2. (3)集合的运算:?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB),?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB),?U(?UA)=A. 2. 四种命题及其关系 四种命题中原命题与逆否命题同真同假, 逆命题与否命题同真同假, 遇到复杂问题正面 解决困难的,采用转化为反面情况处理. 3. 充分条件与必要条件 若 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;若 p?q,则 p,q 互为充要条件. 4. 简单的逻辑联结词 (1)命题 p∨q,只要 p,q 有一真,即为真;命题 p∧q,只有 p,q 均为真,才为真;綈 p 和 p 为真假对立的命题. (2)命题 p∨q 的否定是(綈 p)∧(綈 q);命题 p∧q 的否定是(綈 p)∨(綈 q). 考点一 集合间的关系及运算 例1 (1)(2012· 课标全国)已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则 ( C.8 D.10 )

B 中所含元素的个数为 A.3 B.6

(2)设函数 f(x)=lg(1-x2),集合 A={x|y=f(x)},B={y|y=f(x)},则图 中阴影部分表示的集合为 A.[-1,0] C.(-∞,-1)∪[0,1) B.(-1,0) D.(-∞,-1]∪(0,1) ( )

(1)(2013· 山东)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素 的个数是 A.1 B.3 C.5 D.9 ( )

(2)设全集 U=R,集合 P={x|y=ln(1+x)},集合 Q={y|y= x},则

右图中的阴影部分表示的集合为 A.{x|-1<x≤0,x∈R}B.{x|-1<x<0,x∈R} C.{x|x<0,x∈R}D.{x|x>-1,x∈R} 考点二 四种命题与充要条件 例2

(

)

(1)已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2≥3”的否命题是( A.若 a+b+c≠3,则 a +b +c <3
2 2 2

)

B.若 a+b+c=3,则 a +b +c <3

2

2

2

C.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2≥3 D.若 a2+b2+c2≥3,则 a+b+c=3 (2)设 x,y∈R,则“x2+y2≥9”是“x>3 且 y≥3”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

1 (1)(2012· 天津)设 x∈R,则“x> ”是“2x2+x-1>0”的 2 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 (2)给出以下三个命题: ①若 ab≤0,则 a≤0 或 b≤0;②在△ABC 中,若 sin A=sin B,则 A=B; ③在一元二次方程 ax2+bx+c=0 中,若 b2-4ac<0,则方程有实数根. 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是 A.① . 考点三 逻辑联结词 例3 B.② C.③ D.②③ B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(

)

(

)

1 已知命题 p:抛物线 y=2x2 的准线方程为 y=- ;命题 q:若函数 f(x+1)为偶函数, 2 则 f(x)关于 x=1 对称.则下列命题是真命题的是 A.p∧q C.( ? p)∧( ? q) B.p∨ ? (q) D.p∨q ( )

(1)(2013· 课标全国Ⅰ)已知命题 p:任意 x∈R,2x<3x;命题 q:存在 x∈R,x3 =1-x2,则下列命题中为真命题的是 A.p∧q B. ? p∧q C.p∧ ? q D . ? p∧ ? q ( )

(2)已知命题 p:“任意 x∈[1,2],x2-a≥0”,命题 q:“存在 x0∈R,x2 0+2ax0+2-a =0”.若命题“(綈 p)∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围是 A.a≤-2 或 a=1 B.a≤2 或 1≤a≤2C.a>1 D.-2≤a≤1 ( )

1. 解答有关集合问题,首先正确理解集合的意义,准确地化简集合是关键;其次关注元素 的互异性,空集是任何集合的子集等问题,关于不等式的解集、抽象集合问题,要借助 数轴和韦恩图加以解决. 2. 判断充要条件的方法,一是结合充要条件的定义;二是根据充要条件与集合之间的对应 关系,把命题对应的元素用集合表示出来,根据集合之间的包含关系进行判断,在以否 定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法. 3. 含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的, 这类试题首先把其中的基本 命题的真假判断准确,再根据逻辑联结词的含义进行判断. 4. 一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系, 但一个命题与这个命题的否定是 互相对立的、一真一假的.

1. 已知集合 A={z∈C|z=1-2ai,a∈R},B={z∈C||z|=2},则 A∩B 等于 A.{1+ 3i,1- 3i} 2. 下列命题中正确的是 A.若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“p∧q”为真命题 1 π B.“sin α= ”是“α= ”的充分不必要条件 2 6 C.l 为直线,α,β 为两个不同的平面,若 l⊥β,α⊥β,则 l∥α D.若 ac2<bc2,则 a>b 3. 若集合 A={x|x2-x-2<0},B={x|-2<x<a},则“A∩B≠?”的充要条件是 A.a>-2 B.a≤-2 C.a>-1 D.a≥-1 B.{ 3-i} C.{1+2 3i,1-2 3i} D.{1- 3i}

(

)

(

)

(

)

(推荐时间:40 分钟) 一、选择题

1. (2013· 课标全国Ⅰ)已知集合 A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则 A∩B 等于 ( A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2} (

)

1 2. “x>1”是“ <1”的 x A.充分不必要条件

)

B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

3. (2013· 福建)已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
? ?

? 1x ? 2 4. (2013· 湖北)已知全集为 R,集合 A=?x|?2? ≤1?,B={x|x -6x+8≤0},则 A∩?RB 等



A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0≤x<2 或 x>4} D.{x|0<x≤2 或 x≥4} ( )

5. 已知集合 P={0,m},Q={x|2x2-5x<0,x∈Z},若 P∩Q≠?,则 m 等于 A.1 B.2 5 C.1 或 2 D.1 或 2 ( )

6. (2013· 陕西)设 a,b 为向量,则“|a· b|=|a||b|”是“a∥b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

7. 已知集合 A={1,2,3,4}, B={2,4,6,8}, 定义集合 A×B={(x, y)|x∈A, y∈B}, 则集合 A×B 中属于集合{(x,y)|logxy∈N}的元素个数是 A.3 B.4 C.8 D.9 ) ( )

8. (2012· 上海)对于常数 m、n,“mn>0”是“方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? ? 1 y- ? ≥0?,B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1},则 A∩B 9. 设平面点集 A=??x,y?? ?y-x?? x ? ? ? ? ?

所表示的平面图形的面积为 3 A. π 4 3 B. π 5 4 C. π 7 π D. 2

(

)

10.给出下列命题: ①任意 x∈R,不等式 x2+2x>4x-3 均成立;②若 log2x+logx2≥2,则 x>1; c c ③“若 a>b>0 且 c<0, 则 > ”的逆否命题; ④若 p 且 q 为假命题, 则 p, q 均为假命题. a b 其中真命题是 A.①②③ 二、填空题 11.(2012· 天津)已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且 A∩B= (-1,n),则 m=________,n=________. B.①②④ C.①③④ D.②③④ ( )

2 12.已知 R 是实数集,M={x| <1},N={y|y= x-1+1},则 N∩(?RM)=________. x x 13. 设 p: <0, q: 0<x<m, 若 p 是 q 成立的充分不必要条件, 则 m 的取值范围是__________. x-2 14.设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k-1D∈/A,且 k+1D∈/A,那么称 k 是 A 的一个“孤立元”,给定 S={1,2,3,4,5,6,7,8},由 S 的 3 个元素构成的所有集合 中,不含“孤立元”的集合共有________个. 15.给出下列四个命题: ①命题“若 α=β,则 cos α=cos β”的逆否命题;②“存在 x0∈R,使得 x2 0-x0>0”的 否定是:“任意 x∈R,均有 x2-x<0”;③命题“x2=4”是“x=-2”的充分不必要条件; ④p:a∈{a,b,c},q:{a}?{a,b,c},p 且 q 为真命题. 其中真命题的序号是________.(填写所有真命题的序号) 16.对于集合 M、N,定义:M-N={x|x∈M 且 x
2

N},M? N=(M-N)∪(N-M).设 A={y|y B=________.

=x -3x,x∈R},B={x|y=log2(-x)},则 A


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