【金版学案】2016高考数学理科二轮复习习题:专题3一讲 等差数列与等比数列


专题三





第一讲

等差数列与等比数列

1.等差数列的定义. 数列{an}满足 an+1-an=d(其中 n∈N*,d 为与 n 值无关的常数) ?{an}是等差数列. 2.等差数列的通项公式. 若等差数列的首项为 a1,公差为 d,则 an=a1+(n-1)d=am+(n -m)d(n,m∈N*). 3.等差中项. 若 x,A,y 成等差数列,则 A= 项. 4.等差数列的前 n 项和公式. 若等差数列首项为 a1, 公差为 d, 则其前 n 项和 Sn= =na1+ n(n-1)d . 2 n(a1+an) 2 x+y ,其中 A 为 x,y 的等差中 2

1

1.等比数列的定义. 数列{an}满足 an+1 =q(其中 an≠0,q 是与 n 值无关且不为零的常 an

数,n∈N*)?{an}为等比数列. 2.等比数列的通项公式. 若等比数列的首项为 a1, 公比为 q, 则 an=a1· qn-1=am· qn-m(n, m∈N*). 3.等比中项. 若 x,G,y 成等比数列,则 G2=xy,其中 G 为 x,y 的等比中项, G 值有两个. 4.等比数列的前 n 项和公式. 设等比数列的首项为 a1,公比为 q,则 na ,q=1, ? ? 1 Sn=?a1(1-qn) a1-anq ? 1-q = 1-q ,q≠1. ?

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数, 则这个数列是等差数列.(×) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*,都有 2an+1 =an+an+2.(√)
2

(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函 数.(×) (4)满足 an+1=qan(n∈N*,q 为常数)的数列{an}为等比数列.(×) (5)G 为 a,b 的等比中项?G2=ab.(×) 1-b5 (6)1+b+b +b +b +b = .(×) 1-b
2 3 4 5

1.在等差数列{an}中,a2=1,a4=5,则数列{an}的前 5 项和 S5 =(B) A.7 C.20 B.15 D.25

解析:2d=a4-a2=5-1=4?d=2,a1=a2-d=1-2=-1,a5 =a2+3d=1+6=7,故 S5= (a1+a5)×5 6×5 = =15. 2 2

2. (2015· 北京卷)设{an}是等差数列,下列结论中正确的是(C) A.若 a1+a2>0,则 a2+a3>0 B.若 a1+a3<0,则 a1+a2<0 C.若 0<a1<a2,则 a2> a1a3 D.若 a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0 解析:设等差数列{an}的公差为 d,若 a1+a2>0,a2+a3=a1+d +a2+d=(a1+a2)+2d, 由于 d 正负不确定, 因而 a2+a3 符号不确定,

3

故选项 A 错;若 a1+a3<0,a1+a2= a1+a3-d=(a1+a3)-d, 由于 d 正负不确定, 因而 a1+a2 符号不 确定,故选项 B 错;若 0<a1<a2,可知 a1>0,d>0,a2>0,a3>0,
2 ∴ a2 -a1a3=(a1+d)2-a1(a1+2d)=d2>0,∴ a2> a1a3,故选项 C

正确; 若 a1<0, 则(a2-a1)(a2-a3)=d· (-d)=-d2≤0, 故选项 D 错. 3.(2015· 新课标Ⅱ卷)已知等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3+a5 =21,则 a3+a5+a7=(B) A.21 C.63 B.42 D.84

解析:∵ a1=3,a1+a3+a5=21,∴ 3+3q2+3q4=21. ∴ 1+q2+q4=7.解得 q2=2 或 q2=-3(舍去). ∴ a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42.故选 B. 4.等差数列{an}的公差不为零,首项 a1=1,a2 是 a1 和 a5 的等 比中项,则数列的前 10 项之和是(B) A.90 C.145 B.100 D.190

解析:设公差为 d,则(1+d)2=1· (1+4d). ∵d≠0,解得 d=2,∴S10=100.

4

一、选择题 1.已知等差数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 a3+a9=6,则 S11 =(B) A.12 B.33 C.66 D.99 解析:∵{an}为等差数列且 a3+a9=6, ∴a6+a6=a3+a9=6. ∴a6=3. ∴S11= a1+a11 a6+a6 ×11= ×11=11a6=11×3=33. 2 2

2.在等比数列{an}中,若 a1+a2=20,a3+a4=40,则数列{an} 的前 6 项和 S6=(B) A.120 B.140 C.160 D.180 解析:∵{an}为等比数列, ∴a1+a2,a3+a4,a5+a6 为等比数列. ∴(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6). (a3+a4)2 402 即 a5+a6= = =80. 20 a1+a2 ∴S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=20+40+80=140. 3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-2n-1,则 a3+a17=(C) A.15 B.17 C.34 D.398
5

解析:∵Sn=n2-2n-1, ∴a1=S1=12-2-1=-2. 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1 =n2-2n-1-[(n-1)2-2(n-1)-1] =n2-(n-1)2+2(n-1)-2n-1+1 =n2-n2+2n-1+2n-2-2n =2n-3.
? ?-2,n=1, ∴an=? ?2n-3,n≥2. ?

∴a3+a17=(2×3-3)+(2×17-3)=3+31=34. 4. (2014· 陕西卷)原命题为“若 an+an+1 <an,n∈N*,则{an}为 2

递减数列”, 关于逆命题, 否命题, 逆否命题真假性的判断依次如下, 正确的是(A) A.真,真,真 C.真,真,假 解析:由 为真命题; 逆命题:若{an}为递减数列,则 递减数列,则 an+1<an,即 an+an+1 <an,n∈N+;若{an}为 2 B.假,假,真 D.假,假,假

an+an+1 <an?an+1<an?{an}为递减数列,所以原命题 2

an+an+1 <an,所以逆命题为真; 2

6

否命题: 若

an+an+1 an+an+1 ≥an, n∈N+, 则{an}不为递减数列; 由 2 2

≥an?an≤an+1?{an}不为递减数列,所以否命题为真; 因为逆否命题的真假为原命题的真假相同, 所以逆否命题也为真 命题. 故选 A. 5.某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示,从目 前记录的结果看,前 m 年的年平均产量最高,m 的值为(C)

A.5 B.7 C.9 D.11 解析:由图可知 6,7,8,9 这几年增长最快,超过平均值,所 以应该加入 m=9,因此选 C. 二、填空题 1 6.(2015· 安徽卷)已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+ (n≥2), 2 则数列{an}的前 9 项和等于 27. 1 解析:由 a1=1,an=an-1+ (n≥2),可知数列{an}是首项为 1, 2

7

1 公差为 的等差数列, 2 故 S9=9a1+ 9×(9-1) 1 × =9+18=27. 2 2

7.设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3a2 3 +2,S4=3a4+2,则 q= . 2 解析:将 S2=3a2+2,S4=3a4+2 两个式子全部转化成用 a1,q 表示的式子,
? ?a1+a1q=3a1q+2, 即? 两式作差得: a1q2 + a1q3 = 2 3 3 ?a1+a1q+a1q +a1q =3a1q +2, ?

3 3a1q(q2-1),即:2q2-q-3=0,解得 q= 或 q=-1(舍去). 2 8.(2014· 广东卷)等比数列{an}的各项均为正数,且 a1a5=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5.
2 解析:由题意知 a1a5=a3 =4,且数列{an}的各项均为正数,所以

a3=2,
2 2 5 ∴a1a2a3a4a5=(a1a5)· (a2a4)· a3=(a3 ) ·a3=a5 3=2 ,

∴ log2a1 + log2a2 + log2a3 + log2a4 + log2a5 = log2(a1a2a3a4a5) = log225=5. 三、解答题 9.已知数列{an}满足,a1=1,a2=2,an+2 = (1)令 bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式.
8

an+an+1 ,n∈N*. 2

解析:(1)b1=a2-a1=1, 当 n≥2 时,bn=an+1-an= an-1+an 1 1 -an=- (an-an-1)=- bn 2 2 2

-1

1 ,所以{bn}是以 1 为首项,- 为公比的等比数列. 2
? 1?n-1 (2)由(1)知 bn=an+1-an=?-2? , ? ?

当 n≥2 时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1)
? 1? ? 1?n-2 =1+1+?-2?+?+?-2? ? ? ? ? ? 1?n-1 1-?-2? ? ? ? 1? 1-?-2? ? ?

=1+

2? ? 1?n-1? ? =1+ ?1-?- ? 3? ? 2 ? ?

5 2? 1?n-1 = - ?-2? , 3 3? ? 当 n=1 时, 5 2? 1?1-1 - ?- ? =1=a1. 3 3? 2? 5 2? 1?n-1 所以 an= - ?-2? (n∈N*). 3 3? ? 10. (2015· 安徽卷)已知数列{an}是递增的等比数列, 且 a1+a4=9, a2a3=8. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,bn= 项和 Tn. 解析:(1)由题设知 a1·a4=a2·a3=8,
9

a n +1 ,求数列{bn}的前 n SnSn+1

? ?a1=1, ? ?a1=8, 又 a1+a4=9,可解得? 或? (舍去). ? ? ?a4=8 ?a4=1

由 a4=a1q3 得公比 q=2,故 an=a1qn-1=2n-1. a1(1-qn) (2)Sn= =2n-1. 1-q 又 bn= an+1 Sn+1-Sn 1 1 = = - , Sn Sn+1 SnSn+1 SnSn+1
?
2?

?1 1 ? ?1 1? ?1 1? 所以 Tn= b1+ b2+?+ bn=?S -S ? +?S -S ? + ?+ ?S -S ?
1

?

2

3?

?

n

n+1?

1 1 1 = - =1- n+1 . S1 Sn+1 2 -1

10


相关文档

更多相关文档

山东2016高考数学理科二轮复习练习:专题三第1讲 等差数列、等比数列的基本问题
2016高考数学理科二轮复习课件:专题3第一讲 等差数列与等比数列
2016届高考数学(文)二轮复习考点例题课件:专题三+第1讲+等差数列、等比数列(人教版)
2016高考数学(文)二轮专题复习课件:专题三_第一讲 等差数列与等比数列
2016高考数学二轮复习 专题3 数列 第一讲 等差数列与等比数列 文
2016高考数学理科二轮复习习题:专题3一讲 等差数列与等比数列
2016高考数学二轮复习 专题3 数列 第一讲 等差数列与等比数列配套作业 文
2016高考数学二轮复习 专题3 数列 第一讲 等差数列与等比数列 理
山东2016高考数学理科二轮复习课件:专题三第1讲 等差数列、等比数列的基本问题
【走向高考】2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题9 等差数列与等比数列(含解析)
2016高考数学理科二轮复习课件:专题3第二讲 数列求和及综合应用
2016版《步步高》高考数学大二轮总复习:专题四 数列 推理与证明 第1讲
二轮专题复习专题1-4-1等差数列与等比数列
【名师名校典型题】2014高考数学二轮复习名师知识点总结:等差数列、等比数列
2016高考数学理科二轮复习课件:专题4第二讲 线性规划、基本不等式与不等式的证明
电脑版