安徽省宣城市6校2013届高三12月联合测评考理科数学(扫描版)


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高三联合测评考试卷
数学(理科)试题参考答案
1.B 解析:

z x ? yi (2 x ? y ) ? ( x ? 2 y )i ? ? ?R ? x ? 2y ? 0. 2?i 2?i 5

2.C 解析:利用韦恩图可知选 C.

a1 ?1 ? 24 ?
3.C 解析:

S4 ? a2

1? 2 a1 ? 2
x

?

15 2

4.C 解析:奇函数定义是一个全称命题, 当该命题为假时,其否命题必为真. 5.B 解析:画出 y ? 2 与 y ? log 1 x 的图像可知当 x0 >a 时, 2 x > log 1 x ,故 f ( x0 ) ? 0 .
2

??? ??? ??? ? ? ? ???? ??? ? ? ? ? ? ? 6.D 解析: AC ? AF ? FC ? ?DC ? CF ? ?a ? 2(b ? a) ? a ? 2b, x ? y ? 3 .
7.B 解析: 双曲线

2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为(3,0),∴抛物线的准线为 x ? ?3 ,代入双曲线 4 5

方程得 y ? ? 8.A 9.A

5 ,故所截线段长度为 5. 2
x x

解析:∵ e ? x ? 1>x ,∴ e ? x ? 0 ,结合选项可知选 A. 解析:根据点到直线的距离公式有 d ?

r2 x0 2 ? y0 2

,若点 P 在 ? O 上,则

x02 ? y02 ? r 2 , d ? r ,相切; 若点 P 在 ? O 外,则 x02 ? y02 ? r 2 , d ? r ,相交; 若点 P 在
? O 内,则 x02 ? y02 ? r 2 , d ? r ,相离,故只有①正确.
10.A

1 解析: Q a ? 0, ?由a ? b ? c ? 2a, 得 ?

b c ? ? 2, a a

?1 ? x ? y ? 2 b c b b c ? 由b ? a ? c ? 2b得 ? 1 ? ? 2 . 设 x ? , y ? ,则有 ? x ? 1 ? y ,其可行域如图: a a a a a ? 1? y ? 2x ?

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其中 A(

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2 1 3 1 b 2 3 , ),B( , ),∴ x ? ? [ , ]. a 3 2 3 3 2 2 ? ? ? ? ? 1 2 2 ( ) 11. ? 解析:由题意可得 a ? b ? a =0 ? a ? b =-1,则cos? =- , 所以夹角为 ? . 2 3 3 4! ? 6 种. 12.6 解析:中间 4 个字母 a, a, b, b 的排列方法数是 2!? 2! 13.120 解析:①处填 S ? S ? i ? 2 ,②处填 i ? i ? 1 .若顺序颠倒,则所求的算式应为

22 ? ?? ? 102 ? 112 ,输出的结果比原来大 120 .
14. 2 ? V= 解 析 : 该 几 何 体 是 一 个 高 为 6, 底 面 半 径 为 2 的 圆 锥 的 1 ,故其体积 4

1 1 ? ? ? ? 22 ? 6=2? . 4 3
解析:由题意得 2k? ?

15.①②④ 以

?
2

? ? ? 2 k ? ? ? ? k? ?

?
4

?

?
2

? k? ?

?
2

(k ? Z), 所

? 是第一或第三象限角,①正确;当 k 为偶数时, sin(k? ? ? ) ? sin ? ; 当 k 为奇数时, 2

sin(k? ? ? ) ? ? sin ? ; ② 正 确 ; 在 ③ 中 , 应 为 k ? Z , ③ 错 误 ; ④ 正 确 ; 设
x x x F ( x) ? f ( ), F ( x ? 2a) ? f ( ? a ) ? f ( ) ? F ( x), 即周期为 2 a , ⑤错误. 2 2 2
16.解析: (Ⅰ)a=0 时符合题意;……………………2 分 当 a ? 0 时, 要使函数 f ( x) ? ax 2 ? 2ax ? 1 的定义域为 R,需

a?0 ? 解得 0 ? a ? 1 .……………………4 分 ? 2 ? ? ? 4a ? 4 a ? 0
综上可得 0 ? a ? 1. ……………………6 分 (Ⅱ)原不等式可化为 ( x ? a)( x ? (1 ? a)) ? 0 . 当0 ? a ? 当a ?

1 时, a ? 1 ? a, 解集为 ?x | x ? a或x ? 1 ? a? ;……………………8 分 2

1 1? ? 时,解集为 ? x | x ? ? ;……………………10 分 2 2? ?

1 ? a ? 1 时, a ? 1 ? a, 解集为 ?x | x ? 1 ? a或x ? a? .……………………12 分 2 tan A 2c sin A cos B 2sin C ? ,∴ 1 ? ? 17.解析:(Ⅰ)∵ 1 ? , tan B b sin B cos A sin B sin( A ? B) 2sin C 1 sin B cos A ? sin A cos B 2sin C ? ? 即 ,∴ ,整理得 cos A ? . sin B cos A sin B 2 sin B cos A sin B ? ∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ? .……………………6 分 3
当 (Ⅱ)在 ?ABC 中, a ? b ? c ? 2bc cos A ,且 a ? 3 ,
2 2 2

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∴ ( 3) ? b ? c ? 2bc ?
2 2 2

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1 ? b 2 ? c 2 ? bc , 2

∵ b ? c ? 2bc ,∴ 3 ? 2bc ? bc ,即 bc ? 3 ,当且仅当 b ? c ? 3 时, bc 取得最大值.
2 2

又 a ? 3 ,所以 bc 取得最大值时, ?ABC 为等边三角形. ……………………12 分 18.解析: (Ⅰ)连接 AC 交 BD 于点 O,连接 EO. ∵底面 ABCD 是正方形,∴O 是 AC 的中点, 又 E 是 PC 的中点,∴PA∥OE, ∵ OE ? 平面 BDE, PA ? 平面 BDE,∴PA∥平面 BDE……………………5 分 (Ⅱ)以 D 为坐标原点,分别以 DA,DC,DP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐 标系 D ? xyz. 设 PD ? CD ? 2, 则 A(2,0,0), B(2, 2,0), C(0, 2,0), P(0,0, 2), E(0,1,1),

??? ? ??? ? DE ? (0,1,1), DB ? (2,2,0).
?? ???? ?? ? n1 ? DE ? 0, ? y ? z ? 0, ? 设 n1 ? ( x, y, z) 为平面 BDE 的一个法向量,则由 ? ?? ??? 得? ? ? n1 ? DB ? 0, ?2 x ? 2 y ? 0, ? ?? 取 y ? -1, 得 n1 ? (1, ?1,1);
又 n2 ? DA ? (2,0,0) 是平面 DEC 的一个法向量;

?? ??? ? ?

?? ?? ? n1 ? n2 3 ? 设二面角 B ? DE ? C 的平面角为 ? , 由图可知 ? 为锐角,则有 cos ? ? ?? ?? ? , | n1 | ? | n2 | 3
∴二面角 B ? DE ? C 的平面角的余弦值为 19.解析: (I) f ( x ) 的定义域为 (0, ??). ∵函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增, ∴ f ?( x) ? ? ∴a ? (

3 . ……………………12 分 3

1 2 ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,即 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 , a ? 2 ? 对任意 x ? 0 恒成立. x x x

1 2 ? ) min . x2 x 1 2 1 1 2 2 ∵ 2 ? ? ( ? 1) ? 1,当 x ? 1 时 ( 2 ? ) min ? ?1 . x x x x x ∴ a ? ?1. ……………………6 分
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(II) f ( x ) ? ?

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1 1 3 x ? b ,即 x 2 ? x ? ln x ? b ? 0 . 2 4 2 1 2 3 1 3 1 ( x ? 2)( x ? 1) . 设 g ( x) ? x ? x ? ln x ? b( x ? 0) ,则 g ?( x) ? x ? ? ? 4 2 2 2 x 2x

g ( x) 与 g ?( x ) 变化如下表:
x (0,1) + 1 0 (1,2) 2 0 (2,4) + 4

g ?( x )
g ( x)

-b-

5 4

ln 2 ? b ? 2

2 ln 2 ? b ? 2

由 表 知 , 要 使 方 程 f ( x) ? ?

1 x ? b 在 [1,4] 上 恰 有 两 个 不 相 等 的 实 根 , 又 因 为 2

g (4) ? g (1) ,故只需 ?

? g (1) ? 0 5 ,解得 ln 2 ? 2 ? b ? ? .……………………13 分 4 ? g (2) ? 0
?a ? 3 ? a 2 ? b2 6 ,解得 ? ? ? b ?1 ? a 3
……………………4 分

?b ? 1 ? 20.解析: (Ⅰ)依题意得 ? c ?e ? ? a ?

? 椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

(Ⅱ)①当 AB ? x轴时, | AB |? 3. ②当 AB 与 x 轴不垂直时,

……5 分

设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 由已知

|m| 1? k 2

?

3 3 , 得 m 2 ? (k 2 ? 1), 4 2

………………………6 分

把y ? kx ? m 代入椭圆方程整理得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 6kmx? 3m 2 ? 3 ? 0,
? 6km 3(m 2 ? 1) ? x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? . 3k ? 1 3k 2 ? 1

? AB |2 ? (1 ? k 2 )(x2 ? x1 ) 2 ? (1 ? k 2 )[ |

36k 2 m 2 12(m 2 ? 1) ? ] (3k 2 ? 1) 2 3k 2 ? 1

?

12(1 ? k 2 )(3k 2 ? 1 ? m 2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? (3k 2 ? 1) 2 (3k 2 ? 1) 2

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12k 2 12 12 ? 4. ? 3? 4 ? 3? (k ? 0) ? 3 ? 2 1 2?3? 6 9k ? 6k ? 1 9k 2 ? 2 ? 6 k
当且仅当 9k ?
2

1 3 时等号成立,此时 | AB |? 2. ………10 分 ,即k ? ? 2 3 k

③当 k ? 0时, | AB |? 3. …..11 分 综上所述 | AB | max ? 2 , 所以 ?AOB 面积的最大值 S ?

1 3 3 | AB | max ? ? . 2 2 2

………13 分

21.解析: (Ⅰ)经计算 a3 ? 3 , a4 ? 4 , a5 ? 9 , a6 ? 6 . 当 n 为奇数时, an?2 ? 3an ,即数列 {an } 的奇数项成等比数列,? a2 n?1 ? 3n?1 ; 当 n 为偶数时, an? 2 ? an ? 2 ,即数列 {an } 的偶数项成等差数列,? a2 n ? 2n ;
? ? n21 ?3 (n ? 2k ? 1, k ? N*), 因此数列 {an } 的通项公式为 an ? ? .……………………6 分 ? n(n ? 2k , k ? N*). ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 2n ? 3n?1 ,

Sn ? 2 ?1 ? 4 ? 3 ? 6 ? 32 ?? (2n ? 2) ? 3n?2 ? 2n ? 3n?1 ① 3Sn ? 2 ? 3 ? 4 ? 32 ? 6 ? 33 ? ?? (2n ? 2) ? 3n?1 ? 2n ? 3n ②
①-②得 ?2Sn ? 2 ?1+2 ? 3+2 ? 32 ? ?? 2 ? 3n?1 ? 2n ? 3n ? 3 ?1 ? 2n ? 3
n n

? Sn ?

(2n ? 1) ? 3n ? 1 .……………………13 分 2

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