一类圆锥曲线焦点弦问题的解法探究


4  6

中 学数 学研 究 

21 0 2年 第 8 期 



类 圆 锥 曲线 焦 点 弦 问题 的解 法 探 究 
江苏省如皋第一职业高级 中学  (2 5 1  任 吉峰  26 1 )

圆锥 曲线 是 高 中阶段解 析 几何 中 的重 点 内容 ,  

上 时 ,1 =一   定值 ) 由此 自然 而然联 想 到韦 达  X   P( ,

正是 由于圆锥 曲线 “ 点 ”的存 在 , 题方 法 的多  焦 解
样性在 直线 与 圆锥 曲线 的焦 点弦 问题一 得 到 了充分  h 的体现  者 就 存 “ 遇 ”了 下 面 一 道 焦 点 弦 问题  笔 遭 时 , 其解题 方 法和 方法 的运 用 七作 r一 番 深入 的  对
思考 和探究 。  

定理了; 目中的条件 I F l =2l Fl 可以给  题     A  B   ,   我 们 以 向量 相等 关系 的 启 发 , 题 用 向量 的相 等 关  本
系来解 决还 是很方 便 的 。  

解 法 2 ( 直 线 方 程 、 立 方 程 组 、 用 韦 达  设 建 利

定 理 的过程 同解 法 1 )得 

:1 ‘ _ j: .① . 4 。J   

题目   过抛 物线 Y  =4 x的焦点 F的直线  与 

2IFI .  ̄( 一 ) Y = 、( 一 )+ ;  B  ,? /   .   1  +   2 / /   1:  ,  
又 ‘Y .  =4l  =42. /  一1 ‘ x, Y x , / 1 ) 4 I=2 ’ ( .、  + x  

抛物线相交于点  、 B两点 , I F 1 =21 F l  且     A  日  ,
求 直线 ,的方程 。 J  

分 析 : 题看 似 是一 道 简 单 的抛 物线 的焦点 弦  本 问题 , 其实不 然 。 笔者就 是在做 了审题 、 画图 、 审题  再
儿个 连 环动作 ”之后 , 一番想 ”大有 作 为 ”的想 法 

√( 一1 4 ② 由 ① 、 建立方程组 ,   )  .  + ② 亦可求 
得 。 过 程略 ) (  

评 析 : 目中的 条 件 I F I =2I F I Ⅱ ¨  题     A   B   ,三 『  
以转化 为距离 的相 等 关 系 , 是用 距 离 的相 等 关 系  但
来 解决 问题 的话 , 很  然 过程 较 为繁琐  、   解 法 3 如 图 1 由抛 物 线 的焦 半 径 公 式 可 得    ,

顿 时就 烟消 云散 。 冷静下 来之后 , 者在题 意 条件 的  笔
利 用 _ 做 了以 _探 讨 。 J   F  


、 一

题 多解 , 紧扣 题 意 脉 搏 

解 法 1 由题 意 ,   设直 线 f 的方程 为 Y=  一 )  ( 1.  

    l F I= l l+ = + ,  F l= l !l+ A       ll   B    
厶 

如图 1 设 直 线 与抛 物线 的 交点 为 A  ,Y )B( , , ( ,  ,   ,  

l ,  程 ? = 4x  ㈠,理   一2  v 建 方 组【Y (   )    一 整 得厅2 (z k Y  
+4   + )   =0 . ,. + ?  .   =2+ 4   


= + .’I F l=21 F I . +1=2   2 1 ?     . A   日   ,. ?   (
厶 

+1 ,. 一2 2= 1 ). ?  l x .① 同解 法 1 义有  +2 !: , x  
,  ’

1 .① 

3 .② 由 ① 、 可得,  ~。 义 ?y ② {   . !=4, ?    
【 2= 1   /2
.  ? . .

\  
. 

4 2 2/)B ,,   ) A 2 ( , , , (、 一 2 1 一 或 (




2 ) ,  1   B(
, 

二  

√ )由直 线 的斜率 公式 , 2 可得 ,  =±2 __ k   _ .直线  的方程 为 Y =±2√ ( 一1 . 2  )  

。 

/  
? .

评 析 : 半径公 式在 解决 过焦 点弦 的 问题 时 , 焦 往 

往 会省 时 也 省 力 。 法 2就 是 利 用 了 “ l F l = 解       A

21 F I,   日  ' 的条件 , 一用焦半径公式 , 二用转化思想。  
. 。+     = 2+   :   ,  

二 、 根 溯 源 , 秘 源 头 活 水  追 探
心理 学 上 的 苹 果 理 论 说 “ 一 跳 就 能 摘 到苹  跳 果 ” 上述 3种解 法 确实 体 现 了这样 的理 论 。 是 如  , 但 果 我们原 地 冷静地 思 考一 下 , 我们 不 难 发 现该 题 就  是 在 围绕 条件 “ 过焦 点 的弦 ”展开 的 。 而抛 物线 的 第 
二定义, 正是 过焦 点 弦 问题 得 以解 决 的一 个重 要 也 

解之得 , =±   . .   2 . 直线 1 A-? 的方程为 Y=± ,- 2/( 5 


1. )  

评 析 : 点在 原 点 的抛 物线 的焦点 弦 问题有 一  顶 个很 小 错 的 也 是 其 他 圆 锥 曲线 所 不 具 备 的 性 质 
— —

焦点 在 轴 上时 , z= ( 值 ) 焦点在 轴      定 ;

是 最易 忽视 的抓手 。 巧用数 形结 合 的思想 , 再 就有 r  
下 面 的解 法 :  

21 02年第 8期 

中学 数 学 研 究 
2n  .

4  7

解 法 4 如 图 2 过点 A、 别作 A  B   直  , B分 A 、B 垂

于 准线 1 于点 A 、 过 B点作 B  B , C垂直 于 A   4 I 于点 C。  

在RA C tA B中,1 c f:      


丁二  _ _

设 I F l=a 由题意可得 , A       B , { B l= l F I     A  
+ l F}=3 .   B a 由抛物线 的第二定义可得 , A       IAl


Sa. l= 矗 = t   B x = t LC B = .. .   4 口 aL F n a   n A  
:   ,

l F l =2 ,I B I = l F I =a .   C l     A a     B     B ,.I   ’ A  

    I CI 一 2’同 理 , A         ’  




\ 

y  

l/ 、 

,  



lL  4 A  I一{ B I:a在 RA C B  . tA B中,  CI= I     B
= 一  

、 l B I 一 l C I =2 /    。     /A A    
、口. 1 / ..   2 .  f
tn a 

2 . ? .直线 z 的方 程为 
1. )  

、  

: kB =   A    

1{C   。  ’  
  ’

\ 
/ L    ’ \
/   ,  

= t n CAB = a   
0 
’  

I : ‘ 理 :   }       Al 2 同 C一
= 一

变题 2 过 双 曲线   


2/..直线 z 、 _ 2' 的方程 
评 析 : 法 4 正 是 借  解

} _  

争= 的 焦 F 直 l抛 线 交 A   l右 点 的 线 与 物 相 于 、 B
解 :1 ( )如 图 4, 交 于 同一 支 时 ( 辅 助 线 过  相 作

为 Y=±2 /( 一1 .  ̄   2 l )   助 于抛 物线 的第二定 义 , 用数 形结合 的思 想 , 画  运 勾 出 了 RA C 利用  C B的正 切值 即为直 线 z tA B, A 的斜 

两点, I F I=3l FI 求直线 f 且     A  8  ,   的方程。   程 同变题 1 , ) 设 l FI     B   =a 由题意得 ,  B I: , l     A l F1+ l F l=4 ,     A     B ae  
=   =

J f  

4  ’   \
L  

}  
。  

率, 求得 直线 方程 。  
总结 : 四种 解 法都 能 很好 地 解决 此 类抛 物 线  这 的焦点 弦 问题 。 解法 12和 3以代 数 法 为主 , 法 4 、 解   以几何 法为 主 , 中解法 1 常用 ; 法 3能力要 求  其 最 解

2 F( ,) 由双 曲  , 20 .

a 

线的定义可得 , A I: l     

f   t   日|   ’  
t  
. 

较高 ; 法 4最直 观易懂 , 解 尤其 是在解 决选 择填空 题  时效 果最佳 。  

三 、 式提 升 。 变 又见 柳 暗花 明 
德 国诗 人 布莱希特 说 过 “ 考 是人 类 最 大 的 乐  思
趣。 ”那 么 , 上面 的 4种解 法是 不是 可 以用 来解 决 同  类型 的椭 圆或 双曲线 的 问题 呢? 即便 可 以 , 法 1和  解 2首先 不考 虑 ( 由详见 解法 l 理 的评 析 ) 解法 3的焦  , 半径 公 式运用 也倾 向 于代 数 的运 算 较 多 。 以解 法  所 4自然 是最佳 的选 择 了 。  
2   2  
●     -

为 Y:±  
厶 

(  —1 . 2  )()

变 题 1 过椭 圆  十     =1 的右焦点 F的直 线 

如 图 5 相 交 于 不 同支 时 , ,   过 点  、 B分别 作 A   B   A 、B
垂 直右 准线 Z 点 4 、 , 于     
_   _  

z 与抛物线相交于 、 两点, 【 F I=   B   , B 且 A   2 I F I   
求 直线 f 的方程 。   解 : 图 3 过点  、 如 , 日分 别作 A  B   A 、 B 垂直右 准 

记A B与 

相 交 于点 C   。

设 l F I =a 由题      B , 意得 , B I= I F l一 I   A       A

/ — \  A —      

线z 于点 A 、 ,    过  点作 B C垂直 于 A  于点 c  A 。

设 l F l=a 由题意可得 ,  B I= I F I     B , I   A     A  

l F l:2 , C =2 F 2 0 .     B 口e:一 , ( ,) 由双曲线的第二 

+ l Fl= ae= :÷,( ,)由椭圆的第      3 ,  一 B F1 . 0
二定义可得, A , I A I: L    L   :4 I B, : 。   l   B


定义可得, A , :上  _ :_ l B l :   lA I 『 ^   ,   3   B


J 一旦  _ I

:2 . 1 C I : I A I_ I B l :       A   , A   ,   B


4  8

中 学数 学研 究 

21 02年 第 8期 

圆 锥 曲线 类 准 线 的 一 个 统 一 性 质 的 推 广 
江苏省 南通高等师范学校  (2 10  曹 260 )   军 
《 数学 通讯》 下半 月 )0 1 第 6 刊登 的《 ( 2 1年 期 圆  锥 曲线 类 准线 的一 个统 一性质 》一文 ( [ ] 文 1 )首先 
规 定 : 线  : ( <l   <0     0   I )为椭 圆 E:    m  j+Y
2  
,.

线 中 t ) 其 它条 件不 变 , 当直线 , ≠0 , 则 J 化时 ,   Q变 比
1  
— — — —

上  

】  

值 
上  

仍 为定 值 , 是 得到 了定 理 的推 J 整 理  于  ,
o 

P  



1 “>6>0 ( )的类 准线 , 直线  = ( m J< )   J        
= 1 。 >b>0 ( )的类 准线 , 直 

为双 曲线 E:    ,+

如下 , 以飨读 者.   结 论 1 如 图 1线 段 J J   , P 是  ( 过 定 点 M( 0 ( z≠ 0, ≠± m, ) n m  
2   2  

’  

线  =一m( >0 为抛 物线 E:。=2 x p>0 的  m )   p( ) 类准线 , 然后 给 出 r圆锥 曲线关 于类 准 线 的一 个统  性质 , 笔者将 文 [ ] 究结 果概括 为如 下定理 : 1研   定 理  线段 P  是过 定点 M( 0 m,)的圆锥 曲线 
的一动 弦 ,为 与定点 M( 0 对 应 的类 准线 , 是  / m,) S

n )的椭 圆线 E: + 一 1 Ⅱ>     (  
D  
一  

兰//    

b>0 )的~动 弦 ( 线 尸 直 Q的斜 

率 存在且 不 为零 ) 5是椭 圆长 轴  , 的一 个端点 , 直线 S S P,Q分 别与 直线 1: =££      ( ≠± 0 交 于 A, 两点 , A, P, 的坐 标 记 为 4  , ) B 若 B, Q (  
y ) B   ,B ,   ,P ,  pY ) 贝    , ( Y ) P( Y ) Q( ,  ,0


锥 曲线 E 的一 个 顶点 ( 圆取 左顶 点 或右 顶点 )  椭 , 卣线 S S P,Q与 f 于 , 交 B两点 , 直线 P p的斜牢 不为  零, 若  , P, 的坐 标 记 为 A  ,  , ( ,  , B, Q ( Y ) B   Y ) 
P ,  ) Q( ,u ,0 + (, , ,     ) 9    { =   + .    

1 j-  l      — —

Y  A
l   I  

为定 值 而且 当 S是 长 轴 的 右端 点 时 , 定  该


当直线 P 的斜 率存在 时 , + 1 ≠ 0 此 时定      ,
)P   )0  

, ,  

y  

值为 

l  

1  

, 【t — r J n 上 

; S是 长轴 的左 端 点 时 , 定 值 为  当 该

的结 论 即  .  


. = 1 定 值 ) 该 结 论 能 否 推 广    ( ,
1  


t  

m( t+r ’ z   )

,p  

,1 )  

证 明 : 图 1 。0 如 , , )是 长轴 的右 端 点 , 直 线   ( 设

呢? 笔者 借助 几何 画板 研究 发现 , 如果将 定理 中定 点 

"( 0 m,)中 m 的范 围放宽 ( 圆和 双 曲线 放宽 至 r 椭 t 2   ≠ 0 m ≠±“ 抛物线 放 宽至 m ≠ 0 , , , ) 类准 线 f 的方 
程  般化 为 1: = £椭 圆和双 曲线 中 t     ( ≠±。 抛物  ,

P 的 程  : 十 , 』 +  .去 得 Q 方 为   m由           l 消 v
kx 7 nY + nl   - .  

( +bn )  +2 bY+m b “ 2  y mn    一(6 1 1=0  2 ,

设 I CI= 则 l cl=2  ,      ,     A B a— 由三角形 
的相 似 町 得 , 尽
AA' =   Bc - 4 C


像有 两 支 , 而根 据题 意 中的 条件 并 不 能 确 定直 线 
抛 物线 相交 于 同一 支还 是 不 同 支 , 以 要进 行分 类  所 讨论 。 读者 可 以尝试用 用其 他 的方法求 解. 但笔 者 卡  [ I

 ̄  a- x = 了 p   2 1 解得 ,  


      l Cl= = = 在 RAAB 中, 4 4 = 仉 t   A I  I = 4  
    l Cl: = ( A 川 显然与 RA AB相矛盾 !. 相交于  n tA  ). ?
不同 支的情 况不符 合 题意 , 去 。 1 ( )可 得 , 舍 由( )、2  
卣线 / 的方程 为  :±   ( 一2 .   )  

信解 法 4还是经 得起检 验 的 !   明朝 的 归有 光有 言 “ 下 之 事 , 天 囚循 则 无 一 事 
可为; 奋然 为之 , 未 必难 。 亦 ”数 学 中 的解 题 也 是 一  

样 , 能一 味地 “ 不 钻死 胡 同 ” “ , 另起 炉 灶 ”亦 未 可知 

啊! 相信 当你 找到 源头 活 水 时 , 题 定 能柳 暗花 明 ; 解   同时也 不要 因为解 出来 了就 “ 沾 自喜 ” 能 做 到触  沾 ,
类 旁通 , 又何乐 而不 为 呢 !  

评 析 : 曲线 不 同 于抛 物线 和椭 圆 的是 它 的 图  双


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