宁夏银川一中2013-2014学年高二下学期期末考试数学(文)试题


银川一中 2013/2014 学年度(下)高二期末考试

数 学 试 卷(文)
命题人:刘正泉
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.集合 A={ x | y ? x 2 },B={y|y=log2x,x>0},则 A∩B 等于( A.
1



D. (0,+∞) )

2.若 f(x)对于任意实数 x 恒有 2f(x)-f(-x)=3x+1,则 f(x)=( A. x-1 C. 2x+1
2

B. x+1 D. 3x+3 )

3.已知函数 y ? x ? bx ? c ,且 f (1 ? x) ? f (? x) ,则下列命题成立的是( A. f ( x ) 在区间 (??,1] 上是减函数 B. f ( x ) 在区间 (??, ] 上是减函数 C. f ( x ) 在区间 (??,1] 上是增函数 D. f ( x ) 在区间 (??, ] 上是增函数 4.下列函数中,既是偶函数,又在区间 (0, ??) 上单调递减的函数是( A. y ? x
?2

1 2

1 2



B. y ? x

?1

C. y ? x

2

D. y ? x

1 3

5.“a<-2”是“函数 f(x)=ax+3 在区间[-1,2]上存在零点”的( A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 6.函数 f(x)= 2x-1 的定义域为( log3x ) B. (1,+∞) D. (0,1)∪ (1,+∞) B. 必要不充分条件

)

D. 既不充分也不必要条件

A. (0,+∞) C. (0,1)

7.一次函数 y ? ax ? b 与二次函数 y ? ax ? bx ? c 在同一坐标系中的图象大致是(
2



y

y

y

y
O

O

x
O

O

x
O

O

x
O

x
O

O A

O B

O C

O D

1

x ? ?2 +1,x<1 8.已知函数 f(x)=? 2 ,若 f(f(0))=4a,则实数 a 等于 ( ?x +ax,x≥1 ?

)

A.

1 2

B.

4 5

C. 2

D. 9
?

9.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? ? 时, f ( x) ? ? x ? x ,则 f (?) ? A. ?? B.

??
2

C. 1

D. 3 ) .

a ? log5 4 , b ? ? log 5 3 ? , c ? log4 5 ,则( 10.设
A. a ? c ? b C. a ? b ? c B. b ? c ? a D. b ? a ? c

(0, +?) 11.下列函数中,既是偶函数又在 单调递增的函数是
A. y ? x
3

B.

y ? x ?1

C. y ? ? x ? 1
2

D.

y?2

?x

12.设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4 (x ? 0) ,则 A. C.

?x f ? x ? 2? ? 0? =

?x x ? ?2或x ? 4?
? x x ? 0或x ? 6?
1

B. D.

? x x ? 0或x ? 4?
? x x ? ?2或x ? 2?

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分)
? 1 13.计算 (lg ? lg 25) ? 100 2 ? _______. 4

?2x, x>0 14.已知函数 f(x)=? ,若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于_____ ? x+1,x≤0

15.已知集合 A={a,b,2},B={2,b2,2a},且 A∩B=A∪ B,则 a=_______.
?2xx , ? 16.若函数 f(x)=? 且 f(f(2))>7,则实数 m 的取值范围为________. ? ?3x-mx ,

三、解答题: (共 7 个小题,总分 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 某商人将彩电先按原价提高 40? ,然后在广告上写上"大酬宾,八折优惠"结果是每台彩电比原价 多赚了 270 元,求每台彩电的原价为多少元? 18. (本小题满分 10 分) 设集合 A={x|-1≤x≤2},B={x|x2-(2m+1)x+2m<0}. (1)当 m<

1 时,化简集合 B; 2

(2)若 A∪ B=A,求实数 m 的取值范围; (3)若 C RA∩B 中只有一个整数,求实数 m 的取值范围.
2

19. (本小题满分 12 分) 若二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a, b ? R) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,且 f (0) ? 1 . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若在区间 [?1, ?1] 上,不等式 f ( x) ? 2 x ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 20. (本小题满分 12 分) 有两个投资项目 A 、 B ,根据市场调查与预测,A 项目的利润与投资成正比,其关系如图甲,B 项目 的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图乙.(注:利润与投资单位:万元)

(1)分别将 A、B 两个投资项目的利润表示为投资 x(万元)的函数关系式; (2)现将 x(0 ? x ? 10) 万元投资 A 项目, 10-x 万元投资 B 项目.h(x)表示投资 A 项目所得利润与投资 B 项目所得利润之和.求 h(x)的最大值,并指出 x 为何值时,h(x)取得最大值. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? b ? 3 ,其中常数 a , b 满足 a ? b ? 0
x x

(1)若 a ? b ? 0 ,判断函数 f ( x ) 的单调性; (2)若 a ? b ? 0 ,求 f ( x ? 1) ? f ( x) 时的 x 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答 题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1: 几何证明选讲. 如 图 , 在 正 ΔABC中 , 点 D、 E分 别 在 边 BC, AC上 ,且BD ? 求 证 : (I) 四 点 P、 D、 C、 E共 圆 ; (II) AP ⊥ CP。 E 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4: 坐标系与参数方程. B P D ( ? 为参数). C

1 1 BC , CE ? CA , AD, BE相 交 于 点 P. 3 3
A

1 ? x ? 1 ? t, ? ? 2 (t 为参数), 曲线 C : ? x ? cos ? , 已知直线 ? : ? 1 ? ? y ? sin ? , ? y ? 3 t. ? 2 ?
(I)设 ? 与 C1 相交于 A, B 两点,求 | AB | ;
3

(II)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的

3 1 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到曲线 C2 ,设点 P 2 2

是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 ? 的距离的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5: 不等式选讲. 已知函数 f ( x) ? 2 x ? a ? a . (I)若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 x ? 2 ? x ? 3 ,求实数 a 的值; (II)在(I)的条件下,若存在实数 n 使 f (n) ? m ? f (?n) 成立,求实数 m 的取值范围.

?

?

4

高二期末数学(文科)试卷参考答案
一、选择题: DBBAA DCCAD BB 二、填空题 13、-20 14、-3 三、解答题: 17.设彩电的原价为 a ,∴a(1 ? 0.4) ? 80? ? a ? 270 , ∴0.12a ? 270 ,解得 a ? 2250 .∴ 每台彩电的原价为 2250 元. 18.∵ 不等式 x2-(2m+1)x+2m<0? (x-1)(x-2m)<0. (1)当 m< 15、0 或

1 4

16、m<5

1 时,2m<1,∴ 集合 B={x|2m<x<1}. 2

(2)若 A∪ B=A,则 B?A,∵ A={x|-1≤x≤2}, ① 当 m< -

1 时,B={x|2m<x<1},此时-1≤2m<1? 2

1 1 ≤m< ; 2 2 1 时,B=?,有 B?A 成立; 2 1 时,B={x|1<x<2m},此时 1<2m≤2? 2

② 当 m= ③ 当 m>

1 <m≤1; 2
综上所述,所求 m 的取值范围是(3)∵ A={x|-1≤x≤2}, ∴? RA={x|x<-1 或 x>2}, ① 当 m< -

1 ≤m≤1. 2

1 时,B={x|2m<x<1},若 ? RA∩B 中只有一个整数,则-3≤2m<-2? 2

3 ≤m<-1; 2 1 时,不符合题意; 2 1 3 时,B={x|1<x<2m},若 ? RA∩B 中只有一个整数,则 3<2m≤4,∴ <m≤2. 2 2 3 3 ≤m<-1 或 <m≤2. 2 2

② 当 m= ③ 当 m>

综上知,m 的取值范围是-

5

19、 (1)由 f (0) ? 1 得, c ? 1 . ∴ f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 . 又 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x , ∴a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? 1 ? (ax2 ? bx ? 1) ? 2x , 即 2ax ? a ? b ? 2 x , ∴?

? 2a ? 1 ?a ? 1 ,∴? . ?a ? b ? 0 ?b ? ?1

∴ f ( x) ? x2 ? x ? 1 . (2) f ( x) ? 2 x ? m 等价于 x ? x ? 1 ? 2 x ? m ,即 x ? 3x ? 1 ? m ? 0 ,
2 2

要使此不等式在 [?1, ?1] 上恒成立, 只需使函数 g ( x) ? x2 ? 3x ? 1 ? m 在 [?1, ?1] 的最小值大于 0 即可. ∵g ( x) ? x2 ? 3x ? 1 ? m 在 [?1, ?1] 上单调递减, ∴g ( x)min ? g (1) ? ?m ?1,由 ? m ? 1 ? 0 ,得 m ? ?1 .

20、解:(1)投资为 万元,A 项目的利润为 由题设

万元,B 项目的利润为

万元。

由图知

……………………2 分



…………………………4 分

从而

………………6 分

(2)



……………………9 分



……………………11 分

答:当 A 项目投入 3.75 万元,B 项目投入 6.25 万元时,最大利润为

万元.

………………12 分
6

21、解:⑴ 当 a ? 0, b ? 0 时,任意 则

x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a(2x1 ? 2x2 ) ? b(3x1 ? 3x2 )
x x x x x x x x

1 2 1 2 1 2 1 2 ∵ 2 ? 2 , a ? 0 ? a(2 ? 2 ) ? 0 , 3 ? 3 , b ? 0 ? b(3 ? 3 ) ? 0 ,

∴ ⑵

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,函数 f ( x) 在 R 上是增函数。当 a ? 0, b ? 0 时,同理函数 f ( x) 在 R 上是减函数。 f (x ? 1 ) ?f x ( ? )a?
x

? 2 b ?2 x ?3

0

3 a a ( )x ? ? x ? log1.5 (? ) 2b ,则 2b ; 当 a ? 0, b ? 0 时, 2 3 a a ( )x ? ? x ? log1.5 (? ) 2b ,则 2b 。 当 a ? 0, b ? 0 时, 2
22.证明: (I)在 ?ABC 中,由 BD ?

1 1 BC , CE ? CA, 知: 3 3

?ABD ≌?BCE , ………………2分 ??ADB ? ?BEC 即 ?ADC ? ?BEC ? ? .
所 以 四 点P, D, C , E 共 圆 ; ………………5分 (II)如图,连结 DE . 在 ?CDE 中, CD ? 2CE , ?ACD ? 60 , 由 正 弦 定 理 知?CED ? 90 .………………8分 由四点 P, D, C , E 共圆知, ?DPC ? ?DEC , 所 以 AP ? CP. ………………10分 23.解.(I) ? 的普通方程为 y ? 联立方程组 则 | AB |? 1 .

3 ( x ? 1), C1 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1.

? 1 3 ? y ? 3 ( x ? 1), 解得 ? 与 C1 的交点为 A(1,0) , B ( ,? ), ? 2 2 2 2 ? ? x ? y ? 1,
1 cos ? , 1 3 2 sin ? ) ,从而点 P 到直 (? 为参数).故点 P 的坐标是 ( cos ? , 3 2 2 sin ? . 2

? ?x? ? (II) C2 的参数方程为 ? ?y ? ? ?
线 ? 的距离是

3 3 cos? ? sin ? ? 3 | 3 ? 2 2 d? ? [ 2 sin(? ? ) ? 2] , 2 4 4 6 ? 由此当 sin(? ? ) ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为 ( 2 ? 1) . 4 4 |
24.解: (Ⅰ )由 2 x ? a ? a ? 6 得 2 x ? a ? 6 ? a ,∴a ? 6 ? 2 x ? a ? 6 ? a ,即 a ? 3 ? x ? 3 , ∴a ? 3 ? ?2 ,∴a ? 1 。┈ ┈ ┈ ┈ 5分
7

(Ⅱ )由(Ⅰ )知 f ? x ? ? 2x ?1 ? 1 ,令 ? ? n ? ? f ? n ? ? f ? ?n ? ,

1 ? ?2 ? 4n, n ? ? 2 ? 1 1 ? ? ?n? 则, ? ? n ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 ? ?4, 2 2 ? 1 ? n? ?2 ? 4n, 2 ?
∴? ? n ? 的最小值为 4,故实数 m 的取值范围是 ? 4, ?? ? 。┈ ┈ ┈ ┈ ┈ 10 分

8


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