浙江省2015届高三第二次五校联考数学(理)试题 Word版含答案


2014 学年浙江省五校联考第二次考试

数学(理科)试题卷
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)

一、选择题: (每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要 求的) 1.命题“存在 x0 ? R, 2
x x0

? 0”的否定是.

( ▲ ) B.存在 x0 ? R, 2
x0

A.不存在 x0 ? R, 2 0 >0 C.对任意的 x ?R, 2 ? 0
x

?0
x

D.对任意的 x ? R, 2 >0

2.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是 A. ①和② ( ▲ ) C. ③和④ D. ②和④ ( ▲ ) D.向右平移

B. ②和③

3.为得到函数 f ( x) ? cos x ? 3 sin x ,只需将函数 y ? 2 cos x ? 2 sin x A. 向左平移

7? 12

5? 12

B.向右平移

5? 12

C.向左平移

7? 12

4.已知 A 、 B 、 C 为直线 l 上不同的三点,点 O? 直线 l ,实数 x 满足关系式

x2 OA ? 2xOB ? OC ? 0 ,有下列结论中正确的个数有
① OB ? OC ? OA ? 0 ; 有两个; ⑤ 点 B 是线段 AC 的中点. A.1 个 B.2 个 C.3 个
2 2

( ▲ ) ④ x 的值

② OB ? OC ? OA ? 0 ;③ x 的值有且只有一个;

D.4 个

5.已知映射 f : P(m, n) ? P?( m, n )? m ? 0, n ? 0? .设点 A?1,3? , B ? 2,2? ,点 M 是线 段 AB 上一动点, f : M ? M ? .当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到点 B 结束时,点

-1-

M 的对应点 M ? 所经过的路线长度为 ? ? A. B. 6 12
6.如图,已知椭圆 C1:

( ▲ ) C.

? 4

D.

? 3

x2 2 x2 y2 +y =1,双曲线 C2: 2 — 2 =1(a>0,b>0) ,若以 b 11 a

C1 的长轴为直径的圆与 C2 的一条渐近线交于 A、 B 两点, 且 C1 与该渐近线的两交 点将线段 AB 三等分,则 C2 的离心率为 ( ▲ ) A. 5 B.5 C. 17 D.

2 14 7
) .

7.半径为 R 的球内部装有 4 个半径相同的小球,则小球半径 r 的可能最大值为( ▲ A.

3 2? 3

R

B.

1 R 1? 3

C.

6 3? 6

R

D.

5 2? 5

R

8.某学生对一些对数进行运算,如下图表格所示:

x
lg x

0.021

0.27

1.5

2.8

2a ? b ? c ? 3 (1) 3 2a ? b (5) 8
3 ? 3a ? 3c (9)

6a ? 3b ? 2 (2) 5

3a ? b ? c (3)

1 ? 2a ? 2b ? c (4)

x
lg x

6
1 ? a ? b ? c (7)
14

7

a ? c ( 6)
9
4a ? 2b (10)

2(a ? c) (8)

x
lg x

1 ? a ? 2b (11)

现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错,那么出错的数据是 A. (3), (8) B. ? 4? ,(11) C. ?1? ,(3)

( ▲ ) D. (1), (4)

非选择题部分(共 110 分)
二、填空题本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分.
2 9.设全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 3x ? 4 ? 0} , B ? {x | log2 ( x ?1) ? 2} ,

则A

B=



,A

B=

▲ , CR A =

▲ .

10.若某多面体的三视图如右图所示,则此多面体的体积为__▲ , 外接球的表面积为__▲ . 11 .若 max?a ,b? 表示 a , b 两数中的最大值,若 f ( x) ? max e , e
x

?

x ?2

? ,则

-2-

f ( x) 的最小值为



,若 f ( x) ? max e , e
x

?

x ?t

? 关于 x ? 2015 对称,则 t ?





12 .

, 若 An 表 示 集 合 An 中 元 素 的 个 数 , 则

A5 ? __▲ ,则 A1 ? A2 ? A3 ? ... ? A10 ? __▲ .
13.直角 ?ABC 的三个顶点都在给定的抛物线 y 2 ? 2 x 上,且斜边 AB 和 y 轴平行, 则 RT ?ABC 斜边上的高的长度为 ▲ .

D
14.圆 O 的半径为 1 , P 为圆周上一点,现将如图放置的边长为 1 的正方形 (实线所示 ,正方形的顶点 A 和点 P 重合)沿着圆周顺时针滚动,经过若 干次滚动,点 A 第一次回到点 P 的位置,则点 A 走过的路径的长度为 ▲

D C C B

A
. A(P)

?2 x ? y ? 2 ? ? 2 2 15 . 已 知 动 点 P ( x, y ) 满 足 ? x ? 0 ,则 x ? y ? 2y 的最小值为 ? 2 2 ? ?( x ? x ? 1)( y ? y ? 1) ? 1
▲ .

三、解答题: (本大题共 5 小题, 共 74 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 15 分)已知 ?ABC 的面积为 S ,且 AB ? AC ? 2S . (1)求 cos A ; (2)求 a ? 6, 求 ?ABC 周长的最大值.

17. (本小题满分 15 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为 直 角 梯 形 , AD // BC , AB ? BC 侧 面 PAB ? 底 面

P

ABCD , PA ? AD ? AB ? 2 , BC ? 4 .
(1)若 PB 中点为 E .求证: AE//平面PCD ; (2)若 ?PAB ? 60 ,求直线 BD 与平面 PCD 所成角的正
0

A

D

弦值.

B

C

-3-

18. (本小题满分 15 分)函数 f ( x) ? mx x ? a ? x ?1 , (1)若 m ? 1, a ? 0 ,试讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2)若 a ? 1 ,试讨论 f ( x ) 的零点的个数;

19 . ( 本 小 题 满 分 15 分 ) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 离 心 率 为

2 的椭圆 2
y P

C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A ,过原点 O 的直线(与坐标 a 2 b2

轴不重合)与椭圆 C 交于 P, Q 两点,直线 PA, QA 分别与 y 轴交于
A

M

M , N 两点.若直线 PQ 斜率为
(1)求椭圆 C 的标准方程;

2 时, PQ ? 2 3 . 2
Q N

O

x

( 2 )试问以 MN 为直径的圆是否经过定点(与直线 PQ 的斜率无 关)?请证明你的结论.

20 . ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 数 列 {an } ( n ? N* , 1 ≤ n ≤ 46 ) 满 足 a1 ? a ,
? ? d , 1 ≤ n ≤ 15, ? an ?1 ? an ? ? 1 , 16 ≤ n ≤ 30, 其中 d ? 0 , n ? N* . ?1 ? , 31 ≤ n ≤ 45, ?d

(1)当 a ? 1 时,求 a46 关于 d 的表达式,并求 a46 的取值范围; (2)设集合 M ? {b | b ? ai ? a j ? ak , i, j, k ? N? ,1≤ i ? j ? k ≤16} .

1 1 ① 若 a ? , d ? ,求证: 2?M ; 3 4 53 1 ② 是否存在实数 a , d ,使 , 1 , 都属于 M ?若存在,请求出实数 a , d ;若不存 40 8
在,请说明理由.

-4-

2014 学年浙江省五校联考第二次考试

数学(理科)答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题5分,共 40 分) 题号 答案 1 D 2 D 3 C 4 C 5 B 6 A 7 C 8 A

二、填空题(本大题共 7 小题,9-12 题每题 6 分,每格 3 分,13-14 题每题 4 分,共 36 分) 9. A 10.

B = (1, 4) , A B = ( ?1, 5) , C R A = ( ??, ?1] [4, ??) .

5 2 or ; 3? . 6 3

11. e ; 4030 . 12. 11 ; 682 . 13. 2 .

14.

(2 ? 2) ?. 2
1 . 2

15. ?

三、解答题: (共 5 题,其中第 20 题 14 分,其余每题 15 分)

1 解答: (1)∵△ ABC 的面积为 S ,且 AB ? AC ? 2S ,∴ bc cos A ? 2 ? bc sin A , 2

1 3 ∴ sin A ? 2 cos A ,∴ A 为锐角,且 sin 2 A ? cos2 A ? sin 2 A ? sin 2 A ? sin 2 A ? 1 , 2 2
3 6 ,所以 cos A ? . 3 3 c a b (2) ? ? ?3 sin C sin A sin B

∴ sin A ?

所以周长为 a ? b ? c ? 6 ? 3sin B ? 3sin C ? 6 ? 6sin = 6 ? 6sin

B?C B ?C cos 2 2

??A
2

cos

B ?C A B ?C A = 6 ? 6cos cos ? 6 ? 6cos 2 2 2 2

sin A ?

3 A 3 A 3? 3 6 ,所以 cos A ? , cos A ? 2 cos 2 ? 1 ? ,所以 cos ? 3 2 3 2 6 3

-5-

所以周长最大值为 6 ? 6 3 ? 18 . 另解:由余弦定理可得: 6 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? (b ? c)2 ? 2bc(1 ? cos A) 又因为 bc ? (

b?c 2 (b ? c)2 ) ,所以 6 ? (b ? c)2 ? (1 ? cos A) 2 2

所以: a ? b ? c ? 6 ? 6 3 ? 18 当且仅当 b ? c 时取到等号. 17.证明(1)取 PC 的中点 F ,连结 DF , EF EF //AD ,且 AD ? EF ,所以 ADFE 为平行四边形. ? AE //DF ,且 AE 不在平面 PCD 内, DF 在平面 PCD 内, 所以 AE //平面PCD (2)等体积法 令点 B 到平面 PCD 的距离为 h

VP ? BCD ? VB ? PCD
VP ? BCD ?


4 1 3 , VB ? PCD ? S?PCD h 3 3

S?PCD ? 15
4 5

?h ?

4 h 10 ? 5 ? 直线 BD 与平面 PCD 所成角 ? 的正弦值 sin ? ? . BD 2 2 5
? x 2 ? x ? 1 ( x ? 0) ? 18.解答: (1) f ( x) ? x x ? x ? 1 ? ? 2 ? ?? x ? x ? 1 ( x ? 0)
图像如下:
2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2

3

2.5

2

1.5

1

0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

所以 f ( x ) 在 ( ??, 0] 和 [0.5, ??) 上为增函数,在 [0, 0.5] 上为减函数;
-6-

(2) f ( x) ? mx x ?1 ? x ?1 ? 0 的零点,除了零点 x ? 1 以外的零点 即方程 mx ? 作图 y ?

x ?1 x ?1

的根

x ?1 x ?1

和 y ? mx ,如图可知:

当直线 y ? mx 的斜率 m : 当 m ? 0 时有一根; 当 0 ? m ? 1 时有两根; 当 m ? 1 时,有一根; 当 m ? ?1 时,有一根; 当 ?1 ? m ? ?3 ? 2 2 (当 y ? mx 和 y ? 当 m ? ?3 ? 2 2 (当 y ? mx 和 y ? 当 ?3 ? 2 2 ? m ? 0 时有两根. 综上所述: 当 ?1 ? m ? ?3 ? 2 2 时,函数 f ( x) ? mx x ?1 ? x ? 1有且仅有一个零点 x ? 1 ; 当 m ? ?3 ? 2 2 或 m ? ?1 或 m ? 1 或 m ? 0 时,函数 f ( x) ? mx x ?1 ? x ? 1 有两个 零点; 当 ?3 ? 2 2 ? m ? 0 或 0 ? m ? 1 时, f ( x) ? mx x ?1 ? x ? 1有三个零点.

x ?1 x ?1

( x ? 0) 相切时)没有实数根;

x ?1 x ?1

( x ? 0) 相切时)有一根;

19. 解: (1)设 P( x0 ,

2 x0 ) , 2

∵直线 PQ 斜率为

2 2 2 x0 ) 2 ? 3 ,∴ x0 2 ? 2 时, PQ ? 2 3 ,∴ x0 ? ( 2 2



2 1 c a 2 ? b2 2 2 2 ? ? 1 ,∵ ,∴ a ? 4, b ? 2 . e ? ? ? 2 2 a b a a 2

-7-

∴椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 2

(2)以 MN 为直径的圆过定点 F (? 2,0) . 设 P( x0 , y0 ) ,则 Q(? x0 , ? y0 ) ,且
2 x0 y2 2 2 ? 0 ? 1 ,即 x0 ? 2 y0 ? 4, 4 2

∵ A(?2, 0) ,∴直线 PA 方程为: y ?

y0 2 y0 ( x ? 2) ,∴ M (0, ) , x0 ? 2 x0 ? 2

直线 QA 方程为: y ?

y0 2 y0 ( x ? 2) ,∴ N (0, ), x0 ? 2 x0 ? 2 2 y0 2 y0 )( y ? )?0 x0 ? 2 x0 ? 2

以 MN 为直径的圆为 ( x ? 0)( x ? 0) ? ( y ?

即 x2 ? y 2 ?

4 x0 y0 4 y02 y ? ?0, x02 ? 4 x02 ? 4
2 2

2 2 ∵ x0 ,∴ x ? y ? ? 4 ? ?2 y0

2 x0 y?2?0, y0

令 y ? 0 , x 2 ? y 2 ? 2 ? 0 ,解得 x ? ? 2 , ∴过定点: (? 2,0) .

20.解: (1)当 a ? 1 时,

1 a16 ? 1 ? 15d , a31 ? 16 ? 15d , a46 ? 16 ? 15(d ? ) . d
因为 d ? 0 , d ?

1 1 ≥ 2 ,或 d ? ≤ ?2 , d d

所以 a46 ? (??, ?14] [46, ??) .

1 n ?1 i ? j ?k ?3 (2)①由题意 an ? ? , 1 ≤ n ≤ 16 , b ? 1 ? . 3 4 4
令1?

i ? j ?k ?3 ? 2 ,得 i ? j ? k ? 7 . 4

因为 i, j , k ? N? , 1 ≤ i ? j ? k ≤ 16 , 所以令 i ? 1, j ? 2, k ? 4 ,则 2?M .

-8-

53 1 ②不存在实数 a , d ,使 , 1 , 同时属于 M . 40 8 53 1 假设存在实数 a , d ,使 , 1 , 同时属于 M . 40 8
an ? a ? (n ? 1)d ,∴ b ? 3a ? (i ? j ? k ? 3)d ,

从而 M ? {b | b ? 3a ? md ,3 ≤ m ≤ 42, m ? Z } .

53 1 因为 , 1 , 同时属于 M ,所以存在三个不同的整数 x, y, z ( x, y, z ? ?3, 42? ) , 40 8
1 ? ?3a ? xd ? 8 , ? 使得 ?3a ? yd ? 1, ? 53 ?3a ? zd ? , 40 ?

7 ? ( y ? x )d ? , ? ? 8 从而 ? 6 ?( z ? x )d ? , ? 5 ?



y ? x 35 . ? z ? x 48

因为 35 与 48 互质,且 y ? x 与 z ? x 为整数, 所以 | y ? x |≥ 35,| z ? x |≥ 48 ,但 | z ? x |≤ 39 ,矛盾.

53 1 所以不存在实数 a , d ,使 , 1 , 都属于 M . 40 8

-9-

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