高中数学中二次函数学习


浅谈高中数学中的二次函数的学习 【中图分类号】g623.5【文献标识码】b【文章编号】1001-4128 (2011)04-0087-01 数学课程标准是对各个特定阶段(如初中、高中)学生数学学习 目标的规定,它体现着数学教育的目标。这些规定,必须考虑学生 达到该学段时已有的数学知识经验、数学认知发展水平、数学思维 的发展水平与特点,以及学生在教师的指导下以上方面可达到的水 平。在中学教材中,对二次函数作了较详细的研究,由于学生基础 薄弱,又受其接受能力的限制,这部份内容的学习多是机械的,很 难从本质上加以理解。进入高中以后,尤其是高三复习阶段,要对 他们的基本概念和基本性质(图象以及单调性、奇偶性、有界性) 灵活应用,对二次函数还需再深入学习。 1 进一步深入理解函数概念 中学阶段已经讲述了函数的定义,进入高中后在学习集合的基础 上又学习了映射,接着重新学习函数概念,主要是用映射观点来阐 明函数,这时就可以用学生已经有一定了解的函数,特别是二次函 数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合 a(定 义域)到集合 b(值域)上的映射?:a→b,使得集合 b 中的元素 y=ax2+bx+c (a≠0) 与集合 a 的元素 x 对应, 记为? (x) = ax2+ bx+c (a≠0)这里 ax2+bx+c 表示对应法则,又表示定义域中的元素 x 在值域中的象,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识,在 学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题: 类型 i:已知?(x)= 2x2+x+2,求?(x+1) 这里不能把?(x+1)理解为 x=x+1 时的函数值,只能理解为自变 量为 x+1 的函数值。 类型ⅱ:设?(x+1)=x2-4x+1,求?(x) 这个问题理解为,已知对应法则?下,定义域中的元素 x+1 的象 是 x2-4x+1,求定义域中元素 x 的象,其本质是求对应法则。 一般有两种方法: (1)把所给表达式表示成 x+1 的多项式。 ?(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6,再用 x 代 x+1 得? (x)=x2-6x+6 (2) 变量代换:它的适应性强,对一般函数都可适用。 令 t=x+1,则 x=t-1 ∴(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6 从 而?(x)= x2-6x+6 2 二次函数的单调性,最值与图象 在高中阶阶段学习单调性时,必须让学生对二次函数 y=ax2+bx+c 在区间(-∞,-b2a ]及[-b2a ,+∞) 上的单调性的结论用定 义进行严格的论证,使它建立在严密理论的基础上,与此同时,进 一步充分利用函数图象的直观性,给学生配以适当的练习,使学生 逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。 类型ⅲ:画出下列函数的图象,并通过图象研究其单调性。 (1)y=x2+2|x-1|-1 (2)y=|x2-1| (3)= x2+2|x|-1 这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含 有绝对值记号的函数用分段函数去表示,然后画出其图象。 类型ⅳ设?(x)=x2-2x-1 在区间[t,t+1]上的最小值是 g(t) 。 求:g(t)并画出 y=g(t)的图象 解:?(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,在 x=1 时取最小值-2 当 1∈[t,t+1]即 0≤t≤1,g(t)=-2 当 t>1 时,g(t)=?(t)=t2-2t-1 当 t<0 时,g(t)=?(t+1)=t2-2 t2-2, (t1) 首先要使学生弄清楚题意,一般地

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