乌鲁木齐地区2015高三年级第二次诊断性测验理科数学试卷及答案


乌鲁木齐地区 2015 年高三年级第二次诊断性测验

理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 选项 1 C 2 D 3 C 4 B 5 D 6 A 7 A 8 C 9 C 10 C 11 A 12 B

1.选 C.【解析】∵ A ? x ?3 ? x ? 1 , B ? {x | ?2 ? x ? 2} ,∴ A 故选 C. 2.选 D.【解析】∵

?

?

B ? ? ?2,1? ,

2i ?1 ? i ? 2i 2i ? 2 ? ? ? ?1 ? i ,其共轭复数是 ?1 ? i 故选 D. 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ? 2
3 7 ,则 cos(p - 2a ) = - cos2a = - (2cos2 a - 1)= 5 25

3.选 C.【解析】依题意, cos a = -

故选 C. 4.选 B. 【解析】①错,②对,③对,④错. 故选 B. 5.选 D.【解析】 y ?= e x + xe x ,曲线在 (1, e ) 处切线的斜率 k = 2e ,∵此切线与直线

ax + by + c = 0 垂直,∴直线 ax + by + c = 0 的斜率 6.选 A.【解析】由题意得 f ? (x) = 1- 2cos x

2 k? ?

?
3

? x ? 2k? ?
]? 犏 2k p 轾 犏 臌

?
3

a 1 a 1 . 故选 D. =,即 = b 2e b 2e 1 0 ,即 cos x ? 解得: 2

, ? k ? Z ? ,∵ f ( x) ? x ? 2sin x 是区间 [t , t ?
2kp -

?

2

] 上的减函数,

∴ [t , t ?

?
2

p p p , 2k p + ,∴ 2kp - #t 3 3 3

p ,故选 A. 6

7.选 A.【解析】如图该几何体为一三棱锥,设外接球半径为 r 由题意得 r 2 =

(

3- r

)

2

+ 12 ,解得 r =

2 3 16p ∴ S 球 =4p r 2 = ,故选 A. 3 3

8.选 C.【解析】执行第一次运算 r = 91, m = 119, n = 91 , 执行第二次运算 r = 28, m = 91, n = 28 ,执行第三次运算 r = 7, m = 28, n = 7 ,执行第四 次运算 r = 0 输出 n = 7 .故选 C.
4 9.选 C.【解析】将四个不同小球放入四个不同盒子,每个盒子放一个小球,共有 A4 种不同

放法,放对的个数 ? 可取的值有 0,1,2,4. 其中 P ?? ? 0 ? ?

9 3 ? , 4 A4 8

P ?? ? 1? ?

1 2 1 1 C4 ?2 1 C4 1 , ? P ? ? 2 ? ? ? 4 ? , P ?? ? 4 ? ? 4 ? , 4 A4 24 A4 3 A4 4

3 1 1 1 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 4 ? ? 1 .故选 C. 8 3 4 24
骣 1÷ 骣 1 ÷ x+ ÷ , 0÷对称,则函 10.选 C.【解析】∵ f ? 为奇函数,则函数 y = f (x ) 的图像关于点 ? ? ? ÷ ? ? 桫 2 桫 2 ÷

骣 1 ÷ ,1÷对称,故函数 g (x ) 满足 g (x ) + g (1- x ) = 2 . 数 y = g (x ) 的图象关于点 ? ? ? 桫 2 ÷
骣 1鼢 骣 2 + g + 设 S =g 珑 鼢 珑 珑 桫 16 鼢 桫 16 + g 骣 骣 15 15 鼢 骣 14 + g + ,倒序后得 S =g 珑 鼢 珑 珑 桫 桫 16 16 鼢 桫 16 + g 骣 1 ,两式相加 桫 16

轾骣 轾骣 1鼢 骣 15 2鼢 骣 14 后得 2S = 犏 g珑 +g +犏 g珑 +g + 鼢 鼢 珑 珑 鼢 鼢 珑 珑 犏 犏 桫 桫 16 16 16 16 臌桫 臌桫
∴ S =15 .故选 C. 11.选 A.【解析】 F2 (c ,0),渐近线方程为 y =

轾骣 15 鼢 骣 1 +犏 g珑 +g =15 2 , 鼢 珑 鼢 珑 犏 桫 16 16 臌桫

b b x , y = - x 直线 AB 的方程为: a a

ì y =- x+c ? ? y = - x + c ,设 A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ) 依题意知, A , B 分别满足 ? , í b ? y = x ? ? a ?
ìy =- x +c ? ? ac ac ? ,x 2 = , ∵ F2 A ? AB ,∴ F2 B = 2F2 A , ,得 x 1 = í b ? a+ b a- b y =- x ? ? a ?


ac - c= a- b

骣 ac 2? - c÷ ÷ ? ÷,化简得 b = 3a .故选 A. ? 桫 a+ b

12.选 B.【解析】∵ c = a cos(A + C ),∴ sinC = sin A cos(A + C ),即

sin 轾 (A + C )- A = sin A cos(A + C ) ,整理的 sin (A + C )?cos A 臌

2sin A ?cos(A

C ),则

故 tan (A + C ) = 2tan A ,∵ c = a cos(A + C )> 0 ,∴ cos (A + C ) > 0 ,∴ A + C 为锐角,

tan (A + C )- tan A tan A = A 为锐角,则 tan A > 0 , tanC = tan 轾 (A + C )- A = 臌 1 + tan (A + C )tan A 1 + 2 tan 2 A
= 1 1 ? 1 1 + 2 tan A 2 ×2 tan A tan A tan A
2 .故选 B. 4

2 1 ,当且仅当 = 2tan A 时等号成立, 4 tan A

∴ tan C 的最大值为

二、填空题 13.填 ?1 .【解析】由题意得:T r+1 =C x
r 5 5- r

骣 m÷ ? = C 5r m r x 5- 2 r = 10x ,∴ r = 2, m = ÷ ? ÷ ? 桫 x

r

1.

14.填 18 .【解析】∵ ?C ? 90? ,∴ CA ?CB ? 0 ,∵ BM ? 2 AM , ∴ CM ? CB ? 2 CM ? CA ,∴ CM ? 2CA ? CB , ∴ CM ?CA

?

?

(2CA -

CB)?CA

2CA = 2 CA = 18

2

2

ì ? 1 - 2x 15.填 ? ??,0? .【解析】 f (x ) = ? í x
若a < b

? ? ?2 - 1

(x 0) (x > 0)

0 ,由 f (a) = f (b ) 得 1 - 2a = 1 - 2b ,得 a = b ,与 a ? b 矛盾;

若 0 < a < b ,由 f (a) = f (b ) 得 2a - 1 = 2b - 1 ,得 a = b ,与 a ? b 矛盾; 若 a < 0 < b ,由 f (a) = f (b ) 得 1 - 2a = 2b - 1 ,得 2a + 2b = 2 , 而 2a + 2b > 2 2a ?2b

2 2a+ b ,∴ 2a + b < 1 = 20 ,∴ a + b < 0

16.填 4 .【解析】依题意知,直线 AB 的斜率 k 存在,且 k ? 0 , F (1,0),Q (- 1,0) 设其方程为 y = k (x - 1) 代入 y 2 = 4x 有 k 2 x 2 - (2k 2 + 4)x + k 2 = 0 设 A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ) 则 x 1x 2 = 1 ,又 y 12 = 4x 1 , y 22 = 4x 2 ,∴ y 12 y 22 = 16x 1x 2 = 16 , 而 y 1 , y 2 异号,∴ y 1 y 2 = - 4 ,∵ FA = (x1 - 1, y1 ), QB = (x2 + 1, y2 ) ,又∵ QB ^ AF , 故 (x1 - 1, y1 )?(x2 即 x1 x2 + (x1 - x2 ) + y1 y2 - 1 = 0 ,将 x 1x 2 = 1 ,y 1 y 2 = - 4 代 1, y2 ) = 0 ,

入,有 1 + (x 1 - x 2 )- 4 - 1 = 0 ,∴ x 1 - x 2 = 4 ,又 AF = x 1 + 1, BF = x 2 + 1 , ∴ AF - BF = 4

三、解答题 17. (12 分)

S 1 = 2a1 + 1- 3 , (Ⅰ) 当 n =1 时, 得 a1 = 2 , 由 S n = 2an + n - 3 得 S n + 1 = 2an + 1 + n + 1- 3 ,
两式相减,得 an + 1 = 2an + 1 - 2an + 1 ,即 an + 1 = 2an - 1,∴ an + 1 - 1 = 2(an - 1) ,而

a1 - 1 = 1 ,∴数列 {an - 1}是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列;

…6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 an - 1 = 1?2n - 1 ∴ Tn =(1? 20

2n - 1 ,即 an = 2n - 1 + 1 , nan = n (2n - 1 + 1) = n ?2- 1

n

1) + (2? 21 2? 21
2? 21
2? 21 2? 22

2) + (3? 22

3) +

+ (n ?2n- 1

n) + n)

= (1? 20
= (1? 20
令 Vn = 1? 20 则 2Vn = 1? 21

3? 22
3? 22
3? 22 3? 23

+ n ?2n- 1 ) (1 + 2 + 3 +
+ n ?2n- 1 )
+ n 2n- 1 + n 2n
1? (1 2n ) 1- 2

n(n + 1) 2

两式相减得 - V n = 1 + 2 + 2 + ∴V n = n ?2n

1

2

+2

n- 1

- n ?2 =

n

n ?2n

2n - 1 - n 2n
…12 分

∴T n = (n - 1)2n + 2n + 1 = (n - 1)2n + 1 ,

n (n + 1) +1 2

18. (12 分) (Ⅰ)连结 A C ,∵四边形 A BCD 是菱形,∴ AB ? BC 又∵ ? ABC 60 ,∴ D A BC 是等边三角形, ∵ M 是 BC 中点, ∴ AM ^ BC , ∵ PA ^ 平面 A BCD , BC ? 平面 ABCD , ∴ PA ? BC ,在平面 PMA 中 AM PA ? A ∴ BC ^ 平面 PMA ∴平面 PBC ^ 平面 PMA ; …6 分 (Ⅱ)设 AC , BD 交于点 O ,过 O 作 OZ // AP , 以点 O 为坐标原点,分别以 AC , BD ,OZ 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴,如图所示, 建立空间直角坐标系:∵四边形 A BCD 是边长为 2 的菱形, ? ABC

60 得

AC ? 2 , BD ? 2 3 , PA =
于是 A (- 1,0,0), B 0, -

6,

(

3,0 , D 0, 3,0 , P - 1,0, 6

) (

) (

)

骣1 ∵ N 是 PB 的中点, ∴ N ? ? ? ,? 桫2

3 6÷ , ÷ ÷,∵ PA ^ 平面 A BCD , 2 2 ÷

∴平面 ABD 的一个法向量为 n1 = (0,0,1) 设平面 A ND 的法向量 n2 = (x 1 , y 1 , z 1 )

ì ?1 3 6 ì ? n2 A N = 0 ? y1 + z1 = 0 1 3 6 ? x1 ? , ), AD = (1, 3,0) ,由 í ∵ AN = ( , 得? , 2 2 2 í ? ? 2 2 2 n A D = 0 ? ? 2 ? ? ? ? x 1 + 3y 1 = 0

令 y 1 = 1 ,得 x 1 = -

3 , z1 =

2 ,∴ n2 = (-

3,1, 2) ,∴ cos n1 , n2 =

n1 ×n2 n1 n 2

=

3 3

∴二面角 N ? AD ? B 的平面角的余弦值为

3 . 3

…12 分

19. (12 分) (Ⅰ) 上半年的数据为:43, 44, 48,51,52,56,57,59,61,64,65,65,65,68,72,73,75,76,76,

83,84,87,88,91,93 其“中位数”为 65 ,优质品有 6 个,合格品有 10 个,次品有 9
个.下半年的数据为: 43, 49,50,54,54,58,59,60,61,62,63,63,65,66,67,70,71,72,

72,73,77,79,81,88,92 其“中位数”为 65 ,优质品有 9 个,合格品有 11 个,次品有
5 个.则该企业生产一件产品的利润的分布列为:

?5 14 P 50 14 21 15 E ? X ? ? ?5 ? ? 5 ? ? 10 ? 50 50 50
X
(Ⅱ)由题意得: 上半年 优质品 非优质品

5 21 50

10 15 50
…5 分

? 3.7

下半年

6 19 25
2

9 16 25

15 35 50

50 ? ? 6 ?16 ? 9 ?19 ? 6 K ? ? ? 0.857 25 ? 25 ?15 ? 35 7
2

由于 0.857 ? 3.841 ,所以没有 95% 的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”. …12 分 20.(12 分) (Ⅰ)已知椭圆

x2 y2 + = 1 的右焦点为 F (1,0) ,∴ a 2 - b 2 = 1 a 2 b2

又直线 y = x -

ì ? y=x- 7 ? ? ? ∴方程组 í x 2 y 2 有且仅有一个解, 7 与椭圆有且仅有一个交点, ? + 2 =1 ? 2 ? b ? ?a

即方程 (b2 + a 2 ) x 2 - 2 7a 2 x + 7a 2 - a 2b2 = 0 有且仅有一个解 ∴ D = 28a 4 - 4(a 2 + b2 )(7a 2 - a 2b2 ) = 0 ,即 a 2 + b 2 = 7 ,又∵ a 2 - b 2 = 1 , ∴ a 2 = 4,b 2 = 3 ,∴椭圆 M 的标准方程是

x2 y 2 + = 1; 4 3

…5 分

(Ⅱ)依题意知椭圆的右焦点 F 的坐标为 (1,0) ,直线 AB 的方程为 x = ky + t (其中 t 为 直线 AB 在 x 轴上的截距)设 A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 )

ì x = ky + t ? ? 2 ? 解方程组 í x 2 y 2 ,得关于 y 的一元二次方程 3(ky + t ) + 4 y 2 - 12 = 0 ? + =1 ? ? 3 ? ? 4
即 (3k 2 + 4) y 2 + 6tky + 3t 2 - 12 = 0

D = (6tk ) - 4(3k 2 + 4)(3t 2 - 12) = 48(3k 2 - t 2 + 4) > 0 ,即 3k 2 ? t ? 4
2

∵ y 1 , y 2 是方程的两个解,∴ y1 + y2 = ∵ x 1 = ky 1 + t , x 2 = ky 2 + t

- 6tk 3t 2 - 12 y y = , , 1 2 3k 2 + 4 3k 2 + 4

∴ x 1x 2 = (ky 1 + t )(ky 2 + t ) = k 2 y 1 y 2 + kt ( y 1 + y 2 ) + t 2 =

4t 2 - 12k 2 3k 2 + 4

x 1 + x 2 = k ( y 1 + y 2 ) + 2t =

8t ,∵ FA ^ FB ,∴ (x 1 - 1, y 1 )?(x 2 3k 2 + 4

1, y 2 ) = 0

即 x 1x 2 - (x 1 + x 2 ) + 1+ y 1 y 2 = 0 ,∴

4t 2 - 12k 2 8t 3t 2 - 12 + 1 + =0 3k 2 + 4 3k 2 + 4 3k 2 + 4
2

2 即 7t 2 - 8t - 8 = 9k 2 ,又 3k ? t ? 4 ,∴ 7t 2 - 8t - 8 > 3(t 2 - 4) ,即 ? t ? 1? ? 0 ,
2 ∴ t ? 1 ,而 k ? 0 ,∴ 7t 2 - 8t - 8

0 ,解得 t ?

4- 6 2 4+ 6 2 或t? , 7 7
…12 分

∴t? 21. (12 分)

4- 6 2 4+ 6 2 或t? 7 7

骣 1÷ 1 ? 1? 1+ ÷ (Ⅰ)∵ f ? ,∵ x ? 0, ∴ 1 ? ? 1 ,∴ ln ?1 ? ? ? 0 , ( x) = ln ( x + 1)- ln x = ln ? ? ÷ ? 桫 x x ? x?
∴ f ? ? x ? ? 0 ,∴函数 f ( x) 在区间 ? 0, ??? 上单调递增. (Ⅱ)⑴当 a ? 0 时, - a 由 x ? 0 知1+ …4 分

0,

骣 1÷ 1 1 + ÷> 0 , ln(1 + x ) > 0 , > 1 , 1 + x > 1 ,则 ln ? ? ? 桫 x÷ x

轾骣 1 ∴ g (x) = f (x)- a(x + 1) =x 犏 ln ? 1+ ÷ ÷ ? ÷- a + ln ( x + 1)- a > 0 ? 犏 臌桫 x
∴当 a ? 0 时,函数 g (x ) 在 (0, +?

) 上无零点;

⑵当 0 < a < ln 2 时, g ' (x ) = f 令 g ' (x ) = 0 ,得 x = ∴

'

1+ ÷ (x )- a = ln ? ÷- a , ? ? 桫 x÷

骣 1

1 ,由 0 < a < ln 2 ,知 1 < e a < 2 ,∴ 0 < e a - 1 < 1 , e - 1
a

骣 1÷ 1 1 1+ ÷ - a > 0 ,∴ g' (x ) > 0 , 时, ln ? > 1 ,∴当 0 < x < a ? ÷ ? 桫 x e - 1 e - 1
a

当x >

骣 1÷ 1 1+ ÷ - a < 0 ,∴ g' (x ) < 0 时, ln ? ? ÷ ? 桫 x e - 1
a

纟 1 骣1 ú上为增函数,在区间 ? , a , +? ÷ ∴函数 g (x ) 在区间 ? ÷ ?0, ? a ÷上为减函数. ? ? è e - 1ú 桫 e 1 ?

骣1 ∴ max g (x ) = g 珑 珑 珑 x>0 桫 ea 由 x ? 0 , ln ?1 ? x ? ?

骣 1 1 鼢 = ln 1 + a - a = ln a >0 鼢 鼢 桫 e - 1 1 e - 1

x ;0? x

3 , ln (x + 1) <

3x 成立, x+3

骣 1÷ 1 1+ ÷ < x? ∴ x ln ? ? ÷ ? 桫 x x

x , ln (1 + x ) <

3x , x ? (0,3) , x+3

骣 a 2 3a 1 ÷ 取 d= min ? , , ÷ ? ÷ ? 9 9 - a 3÷ 桫
当 0 < a < ln 2 时, 0 < d < 1 ,∴当 0 < x < d 时

骣 1鼢 骣 1 x ln 珑 1+ 鼢 + ln (x + 1) + ax ? x ln 1 + ln (x + 1) + ax 珑 珑 桫 x鼢 桫 x
< x? 1 x 3x + ax < x+ 3 x+ 3x a a a + ax < + + = a x+ 3 3 3 3

骣 1÷ + ln (x + 1) - a (x + 1) < 0 ,即 g (x ) < 0 ∴ x ln ? ?1 + ÷ ? 桫 x÷
又 g(1) = 2ln 2 - 2a = 2(ln 2 - a)> 0

纟 1 ú为增函数,且 (0,1) ? 0, 由函数零点定理和函数 g (x ) 在区间 ? ? ? ea - 1ú è ?
∴ $ x1

纟 1 ? ú 0, ? ? ea - 1ú è ?

(0,1) 使得 g (x 1 ) = 0 ,取 M = max 镲 睚 - 1, 镲 a 镲
镲 铪

禳 镲 2

4 - 2a 2 + 4 1 - a 2 , 2a 2

由 0 < a < ln 2 ,知 M ? 1 ,∴当 x > M 时,都有 x >

4 - 2a 2 + 4 1 - a 2 2 - 1,x > 2a 2 a



1 a x a < , < ,∵ x > 0,ln (1+ x ) x+ 1 2 x +1 2

x,



骣 1÷ x 1 1 1 ln ? 1+ ÷ + ln ( x + 1) < ? ? ÷ ? x+ 1 桫 x x+ 1 x+ 1 x
f ( x) x+ 1 < a ,∴ g (x ) < 0 ,∴ $ x 2 ? (1,

x a a < + = a x+ 1 2 2

从而

)使得 g (x 2 ) = 0

∴当 0<a<ln2 时,函数 g (x ) 在 (0, +? ) 上有两个零点; ⑶当 a=ln2 时 由⑵知函数 g (x ) 在区间 (0,1]上为增函数,在区间 (1, +? ) 为减函数. ∴ max g (x ) = g (1) = 0 ,∴对 " x > 0 , g (x ) ? 0 且当 0 < x < 1 时, g(x ) < g (1) = 0 ,当 x > 1 时, g(x ) < g (1) = 0 从而当 a=ln2 时,函数 g (x ) 有且仅有一个零点; ⑷当 a>ln2 时, e ? 2 , e ? 1 ? 1
a
a

由⑵知函数 g (x ) 在区间 ? 0,

? ?

1 ? ? 1 ? 为增函数,在区间 ? a , 0 ? 为减函数, ? e ? 1? ? e ?1 ?
a

? 1 ? ? 1 ? max g ? x ? ? g ? a ? ? ln ? a ? ? 0 ,∴对 ? x ? ? 0, ??? , g ? x ? ? 0 。 x ?0 ? e ?1 ? ? e ?1 ?
此时 g (x ) 在 (0, +? ) 上无零点. 综上所述:⑴当 a ? 0 时,函数 g (x ) 在 (0, +?

) 上无零点; ) 上有两个零点;

⑵当 0<a<ln2 时,函数 g (x ) 在 (0, +?

⑶当 a=ln2 时,函数 g (x ) 在 (0, +? ) 上有一个零点; ⑷当 a>ln2 时,函数 g (x ) 在 (0, +? ) 上无零点. 22. (10 分) CBA (Ⅰ) 连结 BC , ∵ CD 是圆的切线, AC 是弦∴ ? DCF DFC ,∴ ? DFC CBA , ∵ DF = DC ,∴ ? DCF ACB =90 ,∴ D ACH ∽ D A BC , 又∵ CH ^ A B , 邪 CBA ,∴ ? ACH DFC , ∴ ? ACH ∴ DE // CH ; …5 分
A D

…12 分

M F E

C

H

B

(Ⅱ)设 AD 与半圆交于点 M ,连结 BM ,∵ CD 是圆的切线,∴ DC 2 = DA DM ,

AMB =90 ,∴ DAED ∽ DAMB ,∴ 又∵ DE ^ AB , 邪
∴ AE ?AB

AE AM , = DA AB DA AM ,∴ DA 2 - DF 2 = DA 2 - DC 2 = DA 2 - DA DM
DM ) = DA ?AM AE AB .
…10 分

= DA ?(DA
23.(10 分)

ì x = cos q ? (Ⅰ)圆 C 的参数方程为 ? ( q 为参数) ; í ? ? ? y = 1 + sin q

ì x= t ? 直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ; í ? ? ?y = 3

…5 分

(Ⅱ)圆 C 的极坐标方程为 r = 2sin q ,直线 l 的极坐标方程为 r sin q = 3 ,设 M 点的极坐 标为 (r 1,q) , N 点的极坐标为 (r 2,q) 依题意有: r 1 = 2sin q , r 2 sin q = 3 ,

ON = r 1 r 2 = 2sin q ? ∴ OM 鬃
24.(10 分)

3 sin q

6 为定值.

…10 分

ì ? ? x- 2 ? ? ? ? ? (Ⅰ) f (x ) = ? í - 3x ? ? ? ? - x+2 ? ? ? ? ?
y

1 2 1 - 1? x ,其图像如图所示. 2 x<- 1 x

-1

o

1 2

x

令 f (x )=0 解得 x 1 = 0, x 2 = 2 ,∴ f (x ) < 0 的解集为 {x 0 < x < 2} (Ⅱ)如图,当 x < - 1 时, f (x ) > 3 ,要使 f (x ) > f (a) ,需且只需 f (a) ? 3 , 而 f ? a ? =3 时,有 ?3a ? 3 ,或 ? a ? 2 ? 3 ,即 a ? ?1 ,或 a ? 5 ,得 - 1 #a 以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分.

…5 分

5.

…10 分


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