【新步步高】2016高考数学二轮专题突破 专题二 三角函数、解三角形与平面向量 第2讲 三角变换与解三角形 理


第2讲

三角变换与解三角形

1.(2013·浙江)已知 α ∈R,sin α +2cos α = 4 A. 3 3 C.- 4 3 B. 4 4 D.- 3

10 ,则 tan 2α 等于( 2

)

1 1 2.(2015·重庆)若 tan α = ,tan(α +β )= ,则 tan β 等于( 3 2 1 A. 7 5 C. 7 1 B. 6 5 D 6

)

3.(2014·福建)在△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2 3,则△ABC 的面积等于________. 4.(2014·江苏)若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C,则 cos C 的最小值是 ________.

正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查:1.边和角的计算;2. 三角形形状的判断;3.面积的计算;4.有关的范围问题.由于此内容应用性较强,与实际问 题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点,不可轻视.

热点一 三角恒等变换 1.三角求值“三大类型” “给角求值”、“给值求值”、“给值求角”. 2.三角函数恒等变换“四大策略” (1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin θ +cos θ =tan 45°等; (2)项的分拆与角的配凑:如 sin α +2cos α =(sin α +cos α )+cos α ,α =(α -β ) +β 等; (3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次;
1
2 2 2 2 2 2 2

(4)弦、切互化:一般是切化弦. π 4 3 π 2π 例 1 (1)已知 sin(α + )+sin α =- ,- <α <0,则 cos(α + )等于( 3 5 2 3 4 A.- 5 4 C. 5 3 B.- 5 3 D. 5 ) )

π π 1+sin β (2)(2014·课标全国Ⅰ)设 α ∈(0, ),β ∈(0, ),且 tan α = ,则( 2 2 cos β π A.3α -β = 2 π C.3α +β = 2 π B.2α -β = 2 π D.2α +β = 2

思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公式, 三角恒等变换公式的熟记和灵活应用, 要善于观察各个角之间的联系, 发现题目所给条件与 恒等变换公式的联系, 公式的使用过程要注意正确性, 要特别注意公式中的符号和函数名的 变换,防止出现张冠李戴的情况.(2)求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角 的范围尽量缩小,避免产生增解. π 跟踪演练 1 (1)(2015·重庆)若 tan α =2tan ,则 5 A.1 B.2 C.3 D.4 3 1 (2) - 等于( cos 10° sin 170° A.4 C.-2 热点二 正弦定理、余弦定理 (1)正弦定理:在△ABC 中, = = =2R(R 为△ABC 的外接圆半径).变形:a sin A sin B sin C =2Rsin A,sin A= ,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C 等. 2R (2)余弦定理:在△ABC 中, ) B.2 D.-4 3π ? ? cos?α - ? 10 ? ? 等于( π? ? sin?α - ? 5? ?

)

a

b

c

a

a2=b2+c2-2bccos A;
变形:b +c -a =2bccos A,cos A=
2 2 2

b2+c2-a2 . 2bc

2

例 2 (2015·课标全国Ⅱ)如图,在△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC, △ABD 面积是△ADC 面积的 2 倍. sin B (1)求 ; sin C (2)若 AD=1,DC= 2 ,求 BD 和 AC 的长. 2

思维升华 关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正弦、余弦定理及有关三 角形的性质,常见的三角变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统 一函数、统一结构”,这是使问题获得解决的突破口. 跟踪演练 2 (1)(2015·课标全国Ⅰ)在平面四边形 ABCD 中, ∠A=∠B=∠C=75°, BC=2, 则 AB 的取值范围是________. (2)(2014·江西)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 c =(a-b) +6,C π = ,则△ABC 的面积是( 3 A.3 3 3 C. 2 ) 9 3 B. 2 D.3 3
3
2 2

热点三 解三角形与三角函数的综合问题 解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点, 主要考查三角形的基本量, 三角形的面积 或判断三角形的形状. π? 2? 例 3 (2015·山东)设 f(x)=sin xcos x-cos ?x+ ?. 4? ? (1)求 f(x)的单调区间; (2)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 f ? ?=0,a=1,求△ABC 面积 ?2? 的最大值.

?A?

思维升华 解三角形与三角函数的综合题, 要优先考虑角的范围和角之间的关系; 对最值或 范围问题,可以转化为三角函数的值域来求. 跟踪演练 3 已知函数 f(x)=2cos ( 3cos -sin ),在△ABC 中,有 f(A)= 3+1. 2 2 2 (1)若 a -c =b -mbc,求实数 m 的值; (2)若 a=1,求△ABC 面积的最大值.
2 2 2

x

x

x

4

1.在△ABC 中,BC=1,B= A. 13 13

π ,△ABC 的面积 S= 3,则 sin C 等于( 3 3 B. 5 2 39 D. 13

)

4 C. 5

2π 2 2.已知函数 f(x)= 3sin ω x·cos ω x-cos ω x(ω >0)的最小正周期为 . 3 (1)求 ω 的值;

(2)在△ABC 中,sin B,sin A,sin C 成等比数列,求此时 f (A)的值域.

提醒:完成作业 专题二 第 2 讲

5

二轮专题强化练 专题二

第2 讲 三角变换与解三角形

A组

专题通关 )

π π 3 1.已知 α ∈( ,π ),sin(α + )= ,则 cos α 等于( 2 4 5 A.- C.- 2 10 2 7 2 或 10 10 B. 7 2 10

7 2 D.- 10

x π 16 5π 20 2.已知函数 f(x)=4sin( + ),f(3α +π )= ,f(3β + )=- ,其中 α , β ∈[0, 3 6 5 2 13
π ],则 cos(α -β )的值为( 2 13 15 A. B. 65 65 48 63 C. D. 65 65 )

3.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为( ) B.直角三角形 D.不确定

A.锐角三角形 C.钝角三角形

4.(2015·广东)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a=2,c=2 3,cos A = 3 且 b<c,则 b 等于( 2 )

A.3 B.2 2

C.2 D. 3 2- 3

5.已知△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 tan B= 则 tan B 等于( A. ) D.2- 3

a2-b2+c2

→ → 1 ,BC·BA= , 2

3 B. 3-1 C.2 2

1+cos 2α +4sin α 6.(2015·兰州第一中学期中)已知 tan α =4,则 的值为________. sin 2α 7.(2015·天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知△ABC 的面积为

2

6

1 3 15,b-c=2,cos A=- ,则 a 的值为________. 4 8.如图,在一个塔底的水平面上的点 A 处测得该塔顶 P 的仰角为 θ ,由点

A 向塔底 D 沿直线行走了 30 m 到达点 B,测得塔顶 P 的仰角为 2θ ,再向塔
底 D 前进 10 3 m 到达点 C,又测得塔顶的仰角为 4θ ,则塔 PD 的高度为 ________m.

?π ? 9.(2015·浙江)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 tan? +A?=2. ?4 ?
sin 2A (1)求 的值; 2 sin 2A+cos A π (2)若 B= ,a=3,求△ABC 的面积. 4

π π 10. 已知 f(x)=2sin(x- )- 3, 现将 f(x)的图象向左平移 个单位长度, 再向上平移 3 12 4 个单位长度,得到函数 g(x)的图象. π π (1)求 f( )+g( )的值; 4 6 (2)若 a,b,c 分别是△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a+c=4,且当 x=B 时,g(x)取得 最大值,求 b 的取值范围.

7

B组

能力提高

π sin 2α 11.(2015·温州模拟)若 α ∈(0, ),则 2 的最大值为________. 2 2 sin α +4cos α 12.(2015·湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧 一山顶 D 在西偏北 30°的方向上,行驶 600 m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75°的方 向上,仰角为 30°,则此山的高度 CD=________m.

→ → → → 13.在△ABC 中,向量AB,BC的夹角为 120°,BC=2BD,且 AD=2,∠ADC=120°,则△ABC 的面积等于________. 14.(2015·四川)如图,A,B,C,D 为平面四边形 ABCD 的四个内角.

A 1-cos A (1)证明:tan = ; 2 sin A
(2)若 A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求 tan +tan +tan 2 2

A

B

C

+tan 的值. 2 2

D

8

学生用书答案精析 第2讲 三角变换与解三角形

高考真题体验 1.C [∵sin α +2cos α = 10 , 2

5 2 2 ∴sin α +4sin α ·cos α +4cos α = . 2 用降幂公式化简得:4sin 2α =-3cos 2α , sin 2α 3 ∴tan 2α = =- .故选 C.] cos 2α 4 2.A [tan β =tan[(α +β )-α ]= 1 1 - 2 3 tan?α +β ?-tan α 1 = = .] 1+tan?α +β ?tan α 1 1 7 1+ × 2 3 3.2 3 2 3 4 解析 如图所示,在△ABC 中,由正弦定理得 = , sin 60° sin B 解得 sin B=1, 所以 B=90°, 1 1 2 2 所以 S△ABC= ×AB×2 3= × 4 -?2 3? ×2 3=2 3. 2 2 4. 6- 2 4

解析 由 sin A+ 2sin B=2sin C, 结合正弦定理得 a+ 2b=2c.

a2+b2-c2 由余弦定理得 cos C= 2ab
?a+ 2b? a +b - 4 = = 2ab
2 2 2

3 2 1 2 2ab a+ b- 4 2 2 2ab 2 ≥

?3a2??1b2?- 2ab ?4 ??2 ? 2 ? ?? ?
2ab



6- 2 , 4

9



6- 2 ≤cos C<1, 4
2 2

且 3a =2b 时取“=”. 故 cos C 的最小值为 热点分类突破 例 1 (1)C (2)B π 4 3 π 解析 (1)∵sin(α + )+sin α =- ,- <α <0, 3 5 2 3 3 4 3 ∴ sin α + cos α =- , 2 2 5 ∴ 3 1 4 sin α + cos α =- , 2 2 5 6- 2 . 4

2π 2π 2π ∴cos(α + )=cos α cos -sin α sin 3 3 3 1 3 4 =- cos α - sin α = . 2 2 5 1+sin β (2)由 tan α = cos β sin α 1+sin β 得 = , cos α cos β 即 sin α cos β =cos α +cos α sin β , π ∴sin(α -β )=cos α =sin( -α ). 2 π π ∵α ∈(0, ),β ∈(0, ), 2 2 π π π π ∴α -β ∈(- , ), -α ∈(0, ), 2 2 2 2 π ∴由 sin(α -β )=sin( -α ), 2 π 得 α -β = -α , 2 π ∴2α -β = . 2 跟踪演练 1 (1)C (2)D 3π ? ? cos?α - ? 10 ? ? 解析 (1) = π? ? sin?α - ? 5? ?

10

3π ? π? ?π ? sin? +α - ? sin?α + ? 10 ? 5? ?2 ? = π? π? ? ? sin?α - ? sin?α - ? 5 5? ? ? ? tan α +1 π π π tan sin α cos +cos α sin 5 5 5 = = π π tan α sin α cos -cos α sin -1 5 5 π tan 5 2+1 = =3. 2-1 3 1 3 1 (2) - = - cos 10° sin 170° cos 10° sin 10° = 3sin 10°-cos 10° 2sin?10°-30°? = sin 10°cos 10° 1 sin 20° 2

-2sin 20° = =-4,故选 D. 1 sin 20° 2 1 例 2 解 (1)S△ABD= AB·ADsin∠BAD, 2

S△ADC= AC·ADsin∠CAD.
因为 S△ABD=2S△ADC, ∠BAD=∠CAD, 所以 AB=2AC. 由正弦定理可得 sin B AC 1 = = . sin C AB 2 (2)因为 S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以 BD= 2. 在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理知

1 2

AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB, AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.
故 AB +2AC =3AD +BD +2DC =6, 由(1)知 AB=2AC,所以 AC=1. 跟踪演练 2 (1)( 6- 2, 6+ 2) (2)C 解析 (1)如图所示, 延长 BA 与 CD 相交于点 E, 过点 C 作 CF∥AD 交 AB 于点 F, 则 BF<AB<BE.
2 2 2 2 2

11

在等腰三角形 CBF 中,∠FCB=30°,CF=BC=2, ∴BF= 2 +2 -2×2×2cos 30°= 6- 2. 在等腰三角形 ECB 中,∠CEB=30°,∠ECB=75°,
2 2

BE=CE,BC=2,

BE

sin 75°



2 , sin 30°

2 6+ 2 ∴BE= × = 6+ 2. 1 4 2 ∴ 6- 2<AB< 6+ 2. (2)∵c =(a-b) +6,∴c =a +b -2ab+6.① π π 2 2 2 2 2 ∵C= ,∴c =a +b -2abcos =a +b -ab.② 3 3 由①②得 ab=6. 1 1 3 3 3 ∴S△ABC= absin C= ×6× = . 2 2 2 2 π? ? 1+cos?2x+ ? 2? sin 2x ? 例 3 解 (1)由题意知 f(x)= - 2 2 sin 2x 1-sin 2x 1 = - =sin 2x- . 2 2 2 π π 由- +2kπ ≤2x≤ +2kπ ,k∈Z, 2 2 π π 可得- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z; 4 4 π 3π 由 +2kπ ≤2x≤ +2kπ ,k∈Z, 2 2 π 3π 可得 +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z. 4 4 π ? π ? 所以 f(x)的单调递增区间是?- +kπ , +kπ ?(k∈Z); 4 ? 4 ? 单调递减区间是?
2 2 2 2 2

?π +kπ ,3π +kπ ?(k∈Z). ? 4 ?4 ?

1 1 ?A? (2)由 f? ?=sin A- =0,得 sin A= , 2 2 2 ? ? 由题意知 A 为锐角,所以 cos A=
2 2 2

3 . 2

由余弦定理 a =b +c -2bccos A, 可得 1+ 3bc=b +c ≥2bc, 即 bc≤2+ 3,且当 b=c 时等号成立.
2 2

12

1 2+ 3 因此 bcsin A≤ . 2 4 所以△ABC 面积的最大值为 跟踪演练 3 解 cos x-sin x π = 3+2sin( -x), 3 由 f(A)= 3+1, π 可得 3+2sin( -A)= 3+1, 3 π 1 所以 sin( -A)= . 3 2 π 2π π 又 A∈(0,π ),所以 -A∈(- , ), 3 3 3 π π π 所以 -A= ,即 A= . 3 6 6 由 a -c =b -mbc 及余弦定理,
2 2 2

2+ 3 . 4

(1)f(x)=2cos ( 3·cos -sin )=2 3cos -2sin ·cos = 3+ 3 2 2 2 2 2 2

x

x

x

2

x

x

x

m b2+c2-a2 3 可得 = =cos A= , 2 2bc 2
所以 m= 3. (2)由(1)知 cos A= 又 3 1 ,则 sin A= , 2 2

b2+c2-a2 3 =cos A= , 2bc 2
2 2 2 2

所以 b +c -a = 3bc≥2bc-a , 即 bc≤(2+ 3)a =2+ 3, 当且仅当 b=c 时等号成立, 1 2+ 3 所以 S△ABC= bcsin A≤ , 2 4 2+ 3 即△ABC 面积的最大值为 . 4 高考押题精练 π 1 1.D [因为在△ABC 中,BC=1,B= ,△ABC 的面积 S= 3,所以 S△ABC= BC·BA·sin B 3 2 1 3 2 2 2 = 3, 即 ×1×BA× = 3, 解得 BA=4.又由余弦定理, 得 AC =BC +BA -2BC·BA·cos 2 2
2

B,

13

BA AC 2 39 即得 AC= 13,由正弦定理,得 = ,解得 sin C= .] sin C sin B 13
2.解 (1)f(x)= 3 1 π 1 sin 2ω x- (cos 2ω x+1)=sin(2ω x- )- , 2 2 6 2 2π 2π = , 2ω 3

因为函数 f(x)的周期为 T= 3 所以 ω = . 2

(2)由(1)知 f(x)=sin(3x-

π 1 )- , 6 2

π 1 易得 f(A)=sin(3A- )- . 6 2 因为 sin B,sin A,sin C 成等比数列, 所以 sin A=sin Bsin C, 所以 a =bc, 所以 cos A=
2 2

b2+c2-a2 b2+c2-bc 2bc-bc 1 = ≥ = (当且仅当 b=c 时取等号), 2bc 2bc 2bc 2

π 因为 0<A<π ,所以 0<A≤ , 3 π π 5π 所以- <3A- ≤ , 6 6 6 1 π 所以- <sin(3A- )≤1, 2 6 π 1 1 所以-1<sin(3A- )- ≤ , 6 2 2 1 所以函数 f(A)的值域为(-1, ]. 2

14

二轮专题强化练答案精析 第2讲 三角变换与解三角形

π π 3 5 1.A [∵α ∈( ,π ),∴α + ∈( π , π ), 2 4 4 4 π 3 ∵sin(α + )= , 4 5 π 4 ∴cos(α + )=- , 4 5 π π π π π π ∴cos α =cos(α + - )=cos(α + )·cos +sin(α + )sin 4 4 4 4 4 4 4 2 3 2 2 =- × + × =- .] 5 2 5 2 10 16 2.D [由 f(3α +π )= , 5 1 π 16 得 4sin[ (3α +π )+ ]= , 3 6 5 π 16 即 4sin(α + )= , 2 5 4 所以 cos α = , 5 π 3 又 α ∈[0, ],所以 sin α = . 2 5 5π 20 由 f(3β + )=- , 2 13 1 5π π 20 得 4sin[ (3β + )+ ]=- , 3 2 6 13 5 即 sin(β +π )=- , 13 5 所以 sin β = . 13 π 又 β ∈[0, ], 2 12 所以 cos β = . 13 4 12 3 5 63 所以 cos(α -β )=cos α cos β +sin α sin β = × + × = .] 5 13 5 13 65 3.B [由 bcos C+ccos B=asin A,得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin A,即 sin(B+C) π 2 =sin A,所以 sin A=1,由 0<A<π ,得 A= ,所以△ABC 为直角三角形.] 2
2

15

4.C [由余弦定理 a =b +c -2bccos A,得 4=b +12-2×b×2 3× =0,∴b=4 或 b=2,又 b<c,∴b=2.] → → 5.D [由题意得,BC·BA → → =|BC|·|BA|cos B 1 1 =accos B= ,即 cos B= , 2 2ac 由余弦定理, 得 cos B=

2

2

2

2

3 2 ,即 b -6b+8 2

a2+c2-b2 1 = ? 2ac 2ac

a2+c2-b2=1,
所以 tan B= 33 6. 4 1+cos 2α +4sin α 2cos α +4sin α 1+2tan α 1+2×16 33 解析 = = = = . sin 2α 2sin α cos α tan α 4 4 7.8 1 解析 ∵cos A=- ,0<A<π , 4 ∴sin A= 1 2 15 , 4 1 2 15 4
2 2 2 2

2- 3 =2- 3,故选 D.] a -b2+c2
2

S△ABC= bcsin A= bc×
=3 15,∴bc=24,

又 b-c=2,∴b -2bc+c =4,b +c =52, 由余弦定理得,a =b +c -2bccos A
2 2 2

2

2

2

2

? 1? =52-2×24×?- ?=64, ? 4?
∴a=8. 8.15 解析 依题意有 PD⊥AD,BA=30 m,BC=10 3 m, ∠PAD=θ ,∠PBD=2θ ,∠PCD=4θ , 所以∠APB=∠PBD-∠PAD=θ =∠PAD. 所以 PB=BA=30 m.

16

同理可得 PC=BC=10 3 m. 在△BPC 中,由余弦定理,得 ?10 3? +30 -?10 3? 3 cos 2θ = = , 2 2×10 3×30 所以 2θ =30°,4θ =60°. 在△PCD 中,PD=PC×sin 4θ =10 3× 3 =15(m). 2
2 2 2

?π ? 9.解 (1)由 tan? +A?=2, ?4 ?
1 得 tan A= . 3 sin 2A 2sin Acos A 所以 2 = 2 sin 2A+cos A 2sin Acos A+cos A = 2tan A 2 = . 2tan A+1 5

1 (2)由 tan A= ,A∈(0,π ), 3 得 sin A= 10 3 10 ,cos A= . 10 10

π a b 又由 a=3,B= 及正弦定理 = ,得 b=3 5. 4 sin A sin B

? π? 由 sin C=sin(A+B)=sin?A+ ? 4? ?
2 5 得 sin C= , 5 设△ABC 的面积为 S, 1 则 S= absin C=9. 2 π π π 10.解 (1)因为 g(x)=2sin[(x+ )- ]- 3+ 3=2sin(x+ ), 4 12 6 π π π π π 所以 f( )+g( )=2sin( - )- 3+2sin =1. 4 6 4 12 3 π (2)因为 g(x)=2sin(x+ ), 6 π π 所以当 x+ = +2kπ (k∈Z), 6 2 π 即 x∈ +2kπ (k∈Z)时,g(x)取得最大值. 3 因为 x=B 时 g(x)取得最大值, π 又 B∈(0,π ),所以 B= . 3
17

而 b =a +c -2accos =4,

2

2

2

π a+ c 2 2 2 2 =a +c -ac=(a+c) -3ac=16-3ac≥16-3·( ) =16-12 3 2

所以 b≥2.又 b<a+c=4, 所以 b 的取值范围是[2,4). 1 11. 2 π 解析 ∵α ∈(0, ), 2 sin 2α 2sin α cos α ∴ 2 = 2 2 2 sin α +4cos α sin α +4cos α 2tan α = 2 且 tan α >0, tan α +4 2tan α 2 2 1 ∴ 2 = ≤ = , tan α +4 4 2 4 2 tan α + tan α sin 2α 1 故 2 的最大值为 . 2 sin α +4cos α 2 12.100 6 解析 在△ABC 中, AB=600 ,∠ BAC=30°,∠ACB =75°-30°=45°,由正弦定理得

BC AB BC 600 = ,即 = ,所以 BC=300 2.在 Rt△BCD 中,∠CBD= sin∠BAC sin∠ACB sin 30° sin 45°
30°,CD=BCtan∠CBD=300 2·tan 30°=100 6. 13.2 3 解析 在△ABC 中,因为∠ADC=120°,所以∠ADB=60°, → → 因为向量AB,BC的夹角为 120°, 所以∠B=60°,所以△ADB 为等边三角形. 因为 AD=2,所以 AB=BD=2. → → 因为BC=2BD,所以点 D 为 BC 的中点, 1 1 所以 BC=4,所以△ABC 的面积 S△ABC= BA·BC·sin B= ×2×4×sin 60°=2 3. 2 2 sin 2 A tan = = 2 A cos 2

A

14.(1)证明

18

2sin

2

A
2

2sin cos 2 2

A

A



1-cos A . sin A

(2)解 由 A+C=180°,得 C=180°-A,D=180°-B, 由(1),有 tan +tan +tan +tan 2 2 2 2 = = 1-cos A 1-cos B 1-cos?180°-A? + + + sin A sin B sin?180°-A? 2 2 + . sin A sin B 错误!

A

B

C

D

连接 BD, 在△ABD 中,有 BD =AB +AD -2AB·ADcos A, 在△BCD 中,有 BD =BC +CD -2BC·CDcos C, 所以 AB +AD -2AB·ADcos A=BC +CD +2BC·CDcos A,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

AB2+AD2-BC2-CD2 则 cos A = 2?AB·AD+BC·CD?
6 +5 -3 -4 3 = = , 2?6×5+3×4? 7 于是 sin A= 1-cos A =
2 2 2 2 2

?3?2 2 10. 1-? ? = 7 ?7?
2 2 2 2 2 2 2 2

连接 AC,同理可得

AB +BC -AD -CD 6 +3 -5 -4 1 cos B= = = , 2?AB·BC+AD·CD? 2?6×3+5×4? 19
于是 sin B= 1-cos B=
2

? 1 ?2 6 10. 1-? ? = 19 ?19?
D

所以 tan +tan +tan +tan 2 2 2 2 = 2 2 2×7 2×19 + = + sin A sin B 2 10 6 10

A

B

C

4 10 = . 3

19


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