山东省桓台第二中学2016届高三上学期10月阶段检测数学(理)试题


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高三学分认定考试数学(理)试题
2015 年 10 月
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 2 页。满分 150 分,考试 班级 时间 120 分钟。考试结束后,将本试卷以及答题卡和答题纸一并交回。答卷前,考生务必将 自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在试卷、答题卡和答题纸规定的地方。

第Ⅰ卷(选择题

共50分)

准考证号

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 1. 已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则 P 的子集共有( ) A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 2. 已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2≥3”的否命题是( A.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3 B.若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2<3 C.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2≥3 2 2 2 D.若 a +b +c ≥3,则 a+b+c=3 3. 函数 f(x)=

)

1 ? lg(1 ? x) 的定义域是( 1? x

)

A.(-∞,-1) C.(-1,1)∪(1,+∞)

B.(1,+∞) D.(-∞,+∞) )

x ?2 ,x>0, 4. 已知函数 f(x)=? 若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于( ?x+1,x≤0,

A.-3 姓名 5. 设

B.-1
2

C.1
5 4

D.3 )

a ? log5 4,b ? (log5 3) ,c ? log ,则(
B. b ? c ? a D. b ? a ? c

A. a ? c ? b C. a ? b ? c

6. 若函数

f ( x) ? sin

x ?? (? ? [0, 2? ]) 是偶函数,则 ? ? ( 3
B.



A.

? 2

2? 3

C.

3? 2

D.

5? 3


县/区

2 7. 求曲线 y ? x 与 y ? x 所围成图形的面积,其中正确的是(

A. C.

S ? ? ( x 2 ? x)dx
0 1 0

1

B. D.

S ? ? ( x ? x 2 )dx
0

1

S ? ? ( y 2 ? y)dy

S ? ? ( y ? y )dy
0

1

8. 将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 析式是( )

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,则所得图象的函数解 4

A. y ? 2cos2 x C. y ? 1 ? sin( 2 x ?

B. y ? 2sin 2 x

?
4

)

D. y ? cos 2 x

9. 设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)= 2 x(1 ? x) ,则 f ( ? ) =(

5 2

)

1 1 1 1 A.- B.- C. D. 2 4 4 2 3 2 10.函数 f(x)=x -px -qx 的图象与 x 轴切于(1,0)点,则 f(x)的极大值、极小值分别为( A. 0,

)

4 27

B.

4 ,0 27

C.-

4 ,0 27

D.0,-

4 27

第Ⅱ卷(非选择题
11 . 函数 y ? 2cos2 x ? sin 2x 的最小值是_____ 12. “x=3”是“x2=9”的______条件

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题, 每小题 5 分,共 25 分

13. 当函数 y ? sin x ? 3 cos x(0 ? x ? 2? ) 取得最大值时, x ? ______ 14. 在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=3f(x),当 x∈[0,2]时,f(x)=x2-2x,则当 x∈[-4,-2] 时,f(x)的最小值是_______ 15. 已知:命题 p:函数 y=log0.5(x2+2x+a)的值域为 R.; 命题 q:函数 y=-(5-2a)x 是 R 上的减函数. 若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,则实数 a 的取值范围是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分 16. (本小题满分 12 分) 设 a ? 0, f ( x) ?

ex a ? 是 R 上的偶函数. a ex

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)证明 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 17. (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=a2ln x-x2+ax,a>0. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)求所有的实数 a,使 e-1≤f(x)≤e2 对 x∈[1,e]恒成立. 注:e 为自然对数的底数. 18. (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? a sin ?x ? b cos?x(? ? 0) 的周期 T ? ? ,最大值 ? ,
f( 12 )?4

(Ⅰ)求 ? 、 a 、 b 的值;

? ? ? ) 的值 (Ⅱ)若 ?、? 为方程 f ( x) =0 的两根, ?、? 终边不共线,求 tan(
19. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? 3 cos2 ?x ? sin ?x cos?x ? a (其中 ? ? 0, a ? R ) ,且 f ( x) 的图象在 y 轴右

侧的第一个最高点的横坐标为 ? .
6

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)如果 f ( x) 在区间 ? ? ? , 5? ? 上的最小值为 3 ,求 a 的值.
? ? 3 6 ? ?

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f(x)=(x-k)ex. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? (c ? 3a ? 2b) x ? d (a ? 0) 的图像如右。 (Ⅰ)求 c,d 的值; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程为 3x ? y ? 11 ? 0 ,求函数

f ( x) 的解析式;

(Ⅲ)若 x0 =5,方程 f ( x) ? 8a 有三个不同的根,求实数 a 的取值范围。

数学(理)试题参考答案
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1 B 2 A 3 C 4 A 5 D 6 C 7 B 8 A 9 A 10 B

二、填空题:本大题共 5 小题, 每小题 5 分,共 25 分 11. 1 ? 2 1 14. - 9 三.解答题 16. 解 : (1) 依 题 意 , 对 一 切 x ? R 有 f ( x) ? f (? x) , 即 15. (1,2) 12. 充 分 而 不 必 要 13.

5? 6

ex a 1 ? x ? x ? aex , a e ae
所以 (a ?

1 x 1 )(e ? x ) ? 0 对一切 x ? R 成立. a e
1 ? 0, 即 a2=1. a

由此得到 a ?

又因为 a>0,所以 a=1. (2)证明一:设 0<x1<x2,

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? e x1 ? e x2 ?

1 1 1 ? x ? (e x2 ? e x1 )( x ? x ? 1) x1 2 1 e e e 2

? e x1 (e x2 ? x1 ? 1) ?

1 ? e x2 ? x1 , e x2 ? x1
e x2 ? x1 ? 1 ? 0,1 ? e x2 ? x1 ? 0.

由 x1 ? 0, x2 ? 0, x2 ? x1 ? 0, 得x1 ? x2 ? 0,

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即 f(x)在(0,+∞)上是增函数.
证明二:由 f ( x) ? e x ? e ? x 得 f ?( x) ? e x ? e ? x ? e ? x (e 2 x ? 1). 当 x ? (0,??) 时,有 e
?x

? 0, e 2 x ? 1 ? 0, 此时 f ?( x) ? 0.

所以 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 17.解: (1)因为 f(x)=a2ln x-x2+ax,其中 x>0, ?x-a??2x+a? a2 所以 f′(x)= -2x+a=— . x x 由于 a>0,所以 f(x)的增区间为(0,a),减区间为(a,+∞). (2)由题意得 f(1)=a-1≥e-1,即 a≥e. 由(1)知 f(x)在[1,e]内单调递增, 要使 e-1≤f(x)≤e2 对 x∈(1,e)恒成立. ? ?f?1?=a-1≥e-1, 只要? 2 2 2 ?f?e?=a -e +ae≤e , ? 解得 a=e. 18.解: (1) f (x) ? a 2 ? b 2 sin(?x ? ?) , ? T ? ? , ? ? ? 2 , 又 ? f ( x ) 的最大值
?f ( ? ) ? 4, 12

?4 ? a 2 ? b2
b=3.

① , 且 4 ? a sin 2? ? b cos 2?
12 12

②,

由 ①、②解出 a=2 ,

(2) f ( x ) ? 2 sin 2x ? 2 3 cos 2x ? 4 sin( 2x ? ? ) ,
3

? f (?) ? f (?) ? 0 ,

? ? ? 4 sin( 2? ? ) ? 4 sin( 2? ? ) , 3 3
? 2? ? ? ? ? 2k? ? 2? ? , 3 3



2? ?

? ? ? 2k? ? ? ? (2? ? ) , 3 3



? ? k? ? ? ( ?、? 共线,故舍去) ,



? ? ? ? k? ?

?, 6

? 3 ? tan(? ? ?) ? tan(k? ? ) ? 6 3

(k ? Z) .

19.解(Ⅰ) f ( x) ? 3 cos 2? x ? 1 sin 2? x ? 3 ? a ? sin(2? x ? ? ) ? 3 ? a ,
2 2 2 3 2

依题意得

2? ?

?
6

?

?

? ? , 解得 3 2
3

??

1. 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? sin( x ? ? ) ? 3 ? a ,
2

又当 x ? ? ? ? , 5? ? 时, x ? ? ? ?0, 7? ? ,故 ? 1 ? sin( x ? 1 ) ? 1 , ? 2 3 3 ? ? 3 6 ? ? ? 6 ? ? 从而 f ( x ) 在 [? ? , 5? ] 上取得最小值 ? 1 ? 3 ? a . 3 6 2 2 因此,由题设知 ? 1 ? 3 ? a ? 3 .故 a ? 3 ? 1 .
2 2 2

20.解 (1)f′(x)=(x-k+1)ex. 令 f′(x)=0,得 x=k-1. f(x)与 f′(x)的变化情况如下: x (-∞,k-1) k-1 (k-1,+∞) 0 f′(x) - + - f(x) ↘? -ek 1 ↗? 所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞). (2)当 k-1≤0,即 k≤1 时,函数 f(x)在[0,1]上单调递增, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(0)=-k; 当 0<k-1<1,即 1<k<2 时, 由(1)知 f(x)在[0,k-1]上单调递减,在(k-1,1]上单调递增,所以 f(x)在区间[0,1]上的最小 - 值为 f(k-1)=-ek 1; 当 k-1≥1,即 k≥2 时,函数 f(x)在[0,1]上单调递减, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(1)=(1-k)e. 21 解函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ? 3a ? 2b (1)由题图可知,函数 f ( x) 的图像过点(0,3),且 f ?(1) ? 0 ,

得?

?d ? 3 ?d ? 3 . ?? ?3a ? 2b ? c ? 3a ? 2b ? 0 ?c ? 0

(2)依题意可得 f ?(2) ? ?3且f (2) ? 5 ,得

?12a ? 4b ? 3a ? 2b ? ?3 ,解得a ? 1, b ? ?6, ? ?8a ? 4b ? 6a ? 4b ? 3 ? 5
所以 f(x) ? x ? 6 x ? 9 x ? 3 .
3 2

(3)依题意

f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? (3a ? 2b) x ? 3(a ? 0),f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? 3a ? 2b,


f ?(5) ? 0,得b ? ?9a



若方程 f ( x) ? 8a 有三个不同的根,当且仅当满足 f (5) ? 8a ? f (1) 由①②得 所以,当
?25a ? 3 ? 8a ? 7 a ? 3 ,解得 1 ?a?3 , 11



1 ? a ? 3 时,方程 f ( x) ? 8a 有三个不同的根. 11


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