空间向量与立体几何单元测试题


空间向量与立体几何单元测试题
一、选择题 1、若 a , b , c 是空间任意三个向量, A. a ? b ? b ? a C.

6、若直线 l 的方向向量为 a ,平面 ? 的法向量为 n ,则能使 l // ? 的是(

)

? ? R ,下列关系式中,不成立的是(
B.

A ) C

a ? ?1,0,0 ? , n ? ? ?2,0,0 ?
a ? ? 0,2,1? , n ? ? ?1,0, ?1?

B. D.

a ? ?1,3,5? , n ? ?1,0,1?

? a ? b ? ? a ? ?b

?

?

a ? ?1, ?1,3? , n ? ? 0,3,1?

?

a?b ?c ? a? b?c

?

?

? ?

7.空间四边形 OABC 中, OB 是( A. ; 8、正方体 则 A、B、M、N 共面; ( ) ) B.

? OC , ?AOB ? ?AOC ?

?
3

,则 cos < OA, BC >的值

D. b ? ? a

2、给出下列命题 ①已知 a

? b,



a? b ? c ? c? b ? a ? b?c

?

?

?

1 2

2 2

C.-

1 2

D. 0

②A、B、M、N 为空间四点,若 ③已知 a

BA, BM , BN 不构成空间的一个基底,

ABCD - A1 B1C1 D1 的棱长为

1,E 是

A1 B1 中点,则

E 到平面

ABC1 D1 的距离是

? b ,则 a, b 与任何向量不构成空间的一个基底;
A.

④已知 A.1

?a, b, c? 是空间的一个基底,则基向量 a, b 可以与向量 m ? a ? c 构成空间另一个基底.
) C.3 D.4 B .2

3 2

B.

2 2

1 C. 2

D.

3 3


正确命题个数是(

9.若向量 a 与 b 的夹角为 60 ° , b ? 4 , (a ? 2b)(a ? 3b) ? ?72 ,则 a ? ( A. 2 等于( D.4 A. ) B.4 C.6 ) D.12

3、已知 A.

a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60?,那么
B.

a ? 3b

10. 如图, A1B1C1—ABC 是直三棱柱, ∠BCA=90°, 点 D1、 F1 分别是 A1B1、 A1C1 的中点, 若 BC=CA=CC1, 则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是(

7

10

C.

13

a ? 1, b ? 2, c ? a ? b,
4、 A.30? B.60?

30 10

B.

1 2

C.

30 15
1 2

D.

15 10

且c

? a ,则向量 a与b 的夹角为(
C.120? D.150?



11.在三棱锥 P-ABC 中,AB⊥BC,AB=BC=

PA,点 O、D 分别是 AC、PC 的中点, )

OP⊥底面 ABC,则直线 OD 与平面 ABC 所成角的正弦值(

5、已知 A.3

a ? ? ?3,2,5? , b ? ?1, x, ?1? , a ? b ? 2 且 ,则 x 的值是
B.4 C.5 D.6





A.

2 4

B.

3 3

C.

14 4

D.

10 30

12.正三棱柱 且 BD

ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 3,侧棱 AA1 ?


3 3 ,D 是 CB 延长线上一点, 2
19 、 三 棱 锥 被 平 行 于 底 面

? BC ,则二面角 B1 ? AD ? B 的大小(

? A. 3
二、填空题

? B. 6

C

5? . 6

2? D. 3

ABC

的平面所截得的几何体如图所示,截面为

A1B1C1 ,

?BAC ? 90
BD 1 ? . DC 2



A1 A ? 平面 ABC , A1 A ? 3 , AB ? 2 , AC ? 2 , AC 1 1 ?1,
A1 C1

, 2, ? 1) 关于面 xOy 的对称点为 B ,而 B 关于 x 轴的对称点为 C ,则 BC ? 13、已知 A(1
14、 △ABC 和△DBC 所在的平面互相垂直,且 AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=60?,则 AD 与平面 BCD 所成 角为 . . 15、若直线 l 的方向向量为(4,2,m),平面?的法向量为(2,1,-1),且 l⊥?,则 m =

(Ⅰ)证明:平面 (Ⅱ)求二面角

A1 AD ? 平面 BCC1B1 ;
B

B1 A D

, PD ? AD? 2 ,二面角 16 、已知 ABCD 为正方形, P 为平面 ABCD 外一点, PD ? AD
P ? AD ? C 为 60 ° ,则 P 到 AB 的距离为
三、解答题 17、 已知四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,PA⊥底面 ABCD,E 为 PC 上的点且 CE: CP=1: 4,求在线段 AB 上是否存在点 F 使 EF//平面 PAD?

A ? CC1 ? B 的平面角的余弦值.

C

20.如图所示的多面体是由底面为

ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的,其中

18、如图,已知点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 对角线 BD1 上,∠PDA=60°. (1)求 DP 与 CC1 所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小.

AB ? 4, BC ? 2, CC1 ? 3, BE ? 1 .
z
(Ⅰ)求 BF 的长;

D? A?
D A x

H P

C?
B?
C B y

(Ⅱ)求点 C 到平面

AEC1F 的距离.

1 1 ? a a b? CE ? ? CP ? ? ? ?a, ?a, b ? ? ? ? , ? , ? 4 4 ? 4 4 4? ∴ ? 3a 3a b ? CE ? AE ? AC ? AE ? CE ? AC ? ? , , ? ? 4 4 4?, ∴由
设点 F 的坐标为(x,0,0,) (0≤x≤a),

3a 3a b ? ? EF ? ? x ? , ? , ? ? 4 4 4 ?, ? 则
又平面 PAD 的一个法向量为

AB ? ? a,0,0 ?

,

3a ? 3a ? EF ? AB ? ? x ? ? ? a ? 0 ? x ? 4 ? 4 , ? 依题意,
3 ∴在线段 AB 上存在点 F,满足条件,点 F 在线段 AB 的 4 处.
18 解:如图,以 D 为原点, DA 为单位长建立空间直角坐标系 D ? xyz . 则 DA ? (1 , 0, 0) , CC? ? (0, 01) , .连结 BD , B ?D ? . 在平面 BB ?D ?D 中,延长 DP 交 B ?D ? 于 H . z

参考答案 选择题 DCCCC DDBCA CA 填空题
? 4, ? 2) 13. (0,

DA ?? 60 , 设 DH ? (m,m, 1)(m ? 0) ,由已知 ? DH,
16.
7

D? A?
D A x

H P

C?
B?
C B y

14. 30? 15. -2

, DH ? 由 DA DH ? DA DH cos ? DA
可得 2m ? 2m ?1 .解得 m ?
2

解答题 17、解:建立如图所示的空间直角坐标系,设 PA=b, 则 A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,b), 则

2 , 2
. ( Ⅰ

CP ? ? ?a, ?a, b ?

,





∵E 为 PC 上的点且 CE:CP=1:3,

? 2 2 ? DH ? ? 1? ? 2 ,2 , ? ? ?







2 2 ?0? ? 0 ? 1? 1 2 2 2 cos ? DH, CC ? ?? ? , 2 1? 2
所以 ? DH, CC? ?? 45 .即 DP 与 CC ? 所成的角为 45 . (Ⅱ)平面 AA?D ?D 的一个法向量是 DC ? (0, 1 , 0) .

由三垂线定理知 BE ? CC1 ,? ?AEB 为二面角 A ? CC1 ? B 的平面角. 过 C1 作 C1F ? AC 交 AC 于 F 点 , 则

CF ? AC ? AF ? 1 , C1F ? A1 A ? 3 ,

??C1CF ? 60 .
在 Rt△ AEC 中, AE ? AC sin 60 ? 2 ?

3 ? 3. 2

2 2 ?0? ? 1 ? 1? 0 1 2 DC ?? 2 ? , 所以 ? DH, DC ?? 60 . 因为 cos ? DH, 2 1? 2
可得 DP 与平面 AA?D ?D 所成的角为 30 . 19. 解:解法一: (Ⅰ)

在 Rt△BAE 中, tan AEB ?

AB 2 6 6 .??AEB ? arctan , ? ? 3 AE 3 3
z B1 A1 C1

A1 A ? 平面 ABC,BC ? 平面 ABC ,

6 即二面角 A ? CC1 ? B 为 arctan . 3
解法二: (Ⅰ)如图,建立空间直角坐标系, 则 A(0, 0,, 0) B( 2, 0,, 0) C(0, 2,, 0) A1(0, 0,3),C1(01 , ,3) ,

? BC ? 6 , ? A1 A ? BC .在 Rt△ ABC 中, AB ? 2,AC ? 2,
BD : DC ? 1: 2 ,? BD ?
6 BD 3 AB ,又 , ? ? 3 AB 3 BC

A B D C

?2 2 2 ? 1 x BD : DC ? 1: 2 ,? BD ? BC .? D 点坐标为 ? , 0? ? 3 , ?. 3 3 (第 19 题,解法二 ? ? ?2 2 2 ? , 0 ? , BC ? (? 2, 2,, 0) AA1 ? (0, 0,3) . ? AD ? ? ? 3 , 3 ? ? ?
E A F D C

?△DBA ∽△ ABC ,??ADB ? ?BAC ? 90 ,即 AD ? BC .
又 A1 A

AD ? A ,? BC ? 平面 A1 AD ,

A1 B1

C1

BC ? 平面 BCC1B1 ,? 平面 A1 AD ? 平面 BCC1B1 .
(Ⅱ)如图,作 AE ? C1C 交 C1C 于 E 点,连接 BE , 由已知得 AB ? 平面 ACC1 A 1.

BC AA1 ? 0 , BC AD ? 0 ,? BC ? AA1 , BC ? AD ,又 A1 A AD ? A ,
? BC ? 平面 A1 AD ,又 BC ? 平面 BCC1B1 ,? 平面 A1 AD ? 平面 BCC1B1 .
BA ? 平面 ACC1 A1 ,取 m ? AB ? ( 2, 0, 0) 为平面 ACC1 A1 的法向量,

B (Ⅱ) (第 19 题, 解法一)

? AE 是 BE 在面 ACC1 A1 内的射影.

设平面 BCC1B1 的法向量为 n ? (l,m,n) ,则 BC n ? 0, CC1 n ? 0 .

? 3 ?? 2l ? 2m ? 0, ?? ? l ? 2m,n ? m , 如 图 , 可 取 m ?1 , 则 3 ? m ? 3 n ? 0 , ? ?
? 3? n?? 2 , 1 , ?, ? 3 ? ? ?

? x ? 1, ? ?4 y ? 1 ? 0, ?n1 ? AE ? 0, ?0 ? x ? 4 ? y ? 1 ? 0 ? 由? 得? 即? ?? 1 ? 2 ? x ? 0 ? y ? 2 ? 0 ?? 2 x ? 2 ? 0, ? y ? ? . ? ?n1 ? AF ? 0, ? 4 ?

又CC1 ? (0,0,3),设CC1与n1
2 ? 2 ? 0 ?1 ? 0 ? 15 ? , 2 5 ? 3? ( 2) 2 ? 12 ? ? ? ? 3 ? 3 3









?





cos ? m,n ??

cos? ?

CC1 ? n1 | CC1 | ? | n1 |

?

3 3? 1? 1 ?1 16

?

4 33 . ∴ C 到平面 AEC1F 的距离 33

( 2) 2 ? 02 ? 02

即二面角 A ? CC1 ? B 为 arccos

15 . 5

为 d ?| CC1 | cos? ? 3 ?

4 33 4 33 ? . 33 11

20. 解: (I)建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0) , B(2, 4,0)

A(2,0,0), C(0, 4,0), E(2, 4,1), C1 (0, 4,3) 设 F (0,0, z) .
∵ AEC1F 为平行四边形,

?由AEC1 F为平行四边形 , ?由AF ? EC1得, (?2,0, z ) ? (?2,0,2), ? z ? 2. ? F (0,0,2). ? EF ? (?2,?4,2). 于是 | BF |? 2 6 , 即BF的长为2 6 .
(II)设 n1 为平面 AEC1F 的法向量,

显然n1不垂直于平面 ADF, 故可设n1 ? ( x, y,1)


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