【解析版】贵州省六校联盟2013届高三第一次联考 理科数学试题


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【考试时间: 12 月 26 日 15:00—17:00】

贵州省六校联盟 2013 届高考第一次联考试题

理科数学
命题单位:凯里一中
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分.

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 M ? {x|x2 ? x ? 6<0} , N ? {x|y=log2 ( x ?1)} ,则 M ? N 等于( )

A . (1, 2)
【答案】C

B . (?1, 2)

C . (1,3)

D . (?1,3)

【解析】 M ? {x|x ? x ? 6<0} ? {x ?2 ? x ? 3} ,
2

N ? {x|y=log2 ( x ?1)} ? {x x ?1 ? 0} ? {x x ? 1} ,所以 M ? N ? {x 1 ? x ? 3} ,选 C.
2. i 是虚数单位,则复数 z =

A .第一象限
【答案】D 【解析】 z =

2i 在复平面内对应的点在( ) i ?1 B .第二象限 C .第三象限

D .第四象限

2i 2i (1 ? i ) 2i ? 2 ? ? ? 1 ? i ,所以对应点位 (1, ?1) ,在第四象限,选 i ? 1 (i ? 1)(i ? 1) ?2

D. 3.等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a5 ? 8, S 3 ? 6 ,则 a9 ? ( )

A .8
【答案】C

B . 12

C . 16

D . 24

【解析】在等差数列数列中, a5 ? a1 ? 4d ? 8, S3 ? 3a1 ?

3? 2 d ? 3a1 ? 3d ? 6 ,即 2

a1 ? d ? 2 ,解得 a1 ? 0, d ? 2 .所以 a9 ? a1 ? 8d ? 8 ? 2 ? 16 ,选 C.
4.投掷一枚质地均匀的骰子两次,若第一次面向上的点数小于第二次面向上的点数我们称 其为前效实验, 若第二次面向上的点数小于第一次面向上的点数我们称其为后效实验, 若两 次面向上的点数相等我们称其为等效试验.那么一个人投掷该骰子两次后出现等效实验的概

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率是( )

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A.

1 2

B.

1 6

C.

1 12

D.

1 36

【答案】B 【解析】投掷该骰子两次共有 6 ? 6=36 中结果,两次向上的点数相同,有 6 种结果,所以 投掷该骰子两次后出现等效实验的概率是

6 ?1 1 = ,选 B. 6? 6 6


5. 阅读图 1 所示的程序框图, 运行相应的程序, 若输入 x 的值为 ? 5 , 则输出的 y 值是 (

A .?1
【答案】A

B .1

C .2

D.

1 4

【解析】第一次输入 x ? ?5 ,满足 x ? 3 , x ? ?5 ? 3 ? 8 ,第二次满足 x ? 3 , ,第四次不满足 x ? 3 ,此时 x ? 8 ? 3 ? 5 ,第三次满足 x ? 3 , x ? 5 ? 3 ? 2 ,

y ? log 1 x ? log 1 2 ? ?1 ,输出 y ? ?1 ,选 A.
2 2

6.设曲线 x ? y ? 0 与抛物线 y ? ?4x 的准线围成的三角形区域(包含边界)为 D ,
2 2 2

P( x, y) 为 D 内的一个动点,则目标函数 z ? x ? 2 y ? 5 的最大值为(
A .4
【答案】C



B .5

C .8

D . 12

【解析】由 x ? y ? 0 得曲线为 y ? ? x .抛物线的准线为 x ? 1 ,所以它们围成的三角形区
2 2

域为三角形 BOC .由 z ? x ? 2 y ? 5 得 y ?

1 1 1 x ? (5 ? z ) ,作直线 y ? x ,平移直线 2 2 2

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y?

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1 1 1 1 1 x ,当直线 y ? x ? (5 ? z ) 经过点 C 时,直线 y ? x ? (5 ? z ) 的截距最小,此 2 2 2 2 2

时 z 最大.由 ?

?x ? 1 得 x ? 1, y ? ?1 ,即 C (1, ?1) ,代入 z ? x ? 2 y ? 5 得 z ? 8 ,选 C. ? y ? ?x

7. 若点 P(1,1) 为圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 0 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线方程为(



A . 2x ? y ? 3 ? 0
【答案】D

B . x ? 2 y ?1 ? 0

C . x ? 2y ? 3 ? 0

D . x ? y ?1 ? 0 2

【解析】圆的标准方程为 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 9 ,圆心为 A(3, 0) ,因为点 P(1,1) 弦 MN 的中点, 所以 AP ? MN ,AP 的斜率为 k ?

1? 0 1 ? ? ,所以直线 MN 的斜率为 2,所以弦 MN 所在 1? 3 2

直线方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 ,选 D. 8.某几何体的三视图如图 2 所示,图中的四边形都是边长为 2 的正方形,两条虚线互相垂

正视图

侧视图

俯视图
直,则该几何体的体积是( ) 图2

A.

20 3

B.

16 3

C . 8?

? 6

D .8 ?

? 3

【答案】A
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【解析】由三视图知,原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥其中正方体的棱为 2,正四 棱锥的底面边长为正方体的上底面,高为 1. ∴原几何体的体积为 V ? 2 ? ? 2 ? 2 ?1 ? 8 ?
3

1 3

4 20 ? ,选 A. 3 3


9.设 a ? 30.5 , b ? log3 2 , c ? cos 2 ,则(

A .c ? b ? a
【答案】A 【解析】 a ? 3
0.5

B .c ? a ? b

C .a ? b ? c

D .b ? c ? a

? 1, 0 ? log3 2 ? 1 , c ? cos 2 ? cos

?
2

? 0 ,所以 c ? b ? a ,选 A.

10. 给出下列四个命题: ①命题“若 ? ? ,则 tan ? ? 1 ”的逆否命题为假命题; 4 ②命题 p : ?x ? R, sin x ? 1 .则 ?p : ?x0 ? R ,使 sin x0 ? 1 ; ③“ ? ?

?

?
2

? k? (k ? Z ) ”是“函数 y ? sin(2 x ? ? ) 为偶函数”的充要条件; 3 ”;命题 q : “若 sin ? ? sin ? ,则 ? ? ? ”,那 2

④命题 p : “ ?x0 ? R ,使 sin x 0 ? cos x 0 ? 么 (?p) ? q 为真命题. 其中正确的个数是( ) A .1 B .2 【答案】B

C .3

D .4

【解析】①中的原命题为真,所以逆否命题也为真,所以①错误.②根据全称命题的否定式 特称命题知,②为真.③当函数为偶函数时,有 ? ? ④因为 sin x ? cos x ?

?
2

? k? ,所以为充要条件,所以③正确.

? 3 2 sin( x ? ) 的最大值为 2 ? , 所以命题 p 为假命题,? p 为真, 4 2

三角函数在定义域上不单调,所以 q 为假命题,所以 (?p) ? q 为假命题,所以④错误.所以 正确的个数为 2 个,选 B.

11.已知函数 y ? xf ?( x) 的图象如图 3 所示(其中 f ?( x ) 是函数 f (x) 的导函数) .下面四个

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y

-1

1

O
图3

x

图象中, y ? f (x) 的图象大致是(



y

y

y

y

-1 O 1

x

-1 O 1

x

-1 O 1

x

-1

O1

x

A.
【答案】C

B.

C.

D.

【解析】由条件可知当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 ,函数递减,当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 ,函数 递增,所以当 x ? 1 时,函数取得极小值.当 x ? ?1 时, xf '( x) ? 0 ,所以 f '( x) ? 0 ,函数 递增,当 ?1 ? x ? 0 , xf '( x) ? 0 ,所以 f '( x) ? 0 ,函数递减,所以当 x ? ?1 时,函数取 得极大值.所以选 C. 12.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知 F1 、

F2 是一对相关曲线的焦点, P 是它们在第一象限的交点,当 ?F1 PF2 ? 60? 时,这一对相
关曲线中双曲线的离心率是( )

A. 3
【答案】A

B. 2

C.

2 3 3

D .2

【解析】 设椭圆的半长轴为 a1 , 椭圆的离心率为 e1 , e1 ? 则 双曲线的离心率为 e , e ?

c c , a1 ? .双曲线的实半轴为 a , a1 e1

c c , a ? . PF ? x, PF2 ? y,( x ? y ? 0) ,则由余弦定理得 1 a e

4c2 ? x2 ? y 2 ? 2xy cos60? ? x2 ? y 2 ? xy ,当点 P 看做是椭圆上的点时,有
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4c2 ? ( x ? y)2 ? 3xy ? 4a12 ? 3xy ,当点 P 看做是双曲线上的点时,有
4c2 ? ( x ? y)2 ? xy ? 4a2 ? xy ,两式联立消去 xy 得 4c2 ? a12 ? 3a2 ,即
1 c c 1 1 1 4c 2 ? ( ) 2 ? 3( ) 2 ,所以 ( )2 ? 3( )2 ? 4 ,又因为 ? e ,所以 e 2 ? 3 2 ? 4 ,整理得 e e1 e e1 e e1

e4 ? 4e2 ? 3 ? 0 ,解得 e2 ? 3 ,所以 e= 3 ,即双曲线的离心率为 3 ,选 A.

第Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答. 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 甲 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 6 8 13. 某同学学业水平考试的 9 科成绩如茎叶图 4 所示, 则根据茎叶图 可知该同学的平均分为 【答案】80 【解析】 (68 ? 72 ? 73 ? 78 ? 2 ? 81 ? 89 ? 2 ? 92) ? 14. (x+1)(1 ? 2 x)5 展开式中, x 的系数为
3



7 8 9

2 1 2

3 9

8 9

8

1 9

720 ? 80 . 9

(用数字作答) .

【答案】 ?40
k 2 【解析】 (1 ? 2 x)5 的展开式的通项为 Tk ?1 ? C5 (?2)k xk ,所以 T3 ? C5 (?2)2 x2 ? 40x2 ,
3 T4 ? C5 (?2)3 x3 ? ?80x3 ,所以 x 3 的系数为, 40 ? 80 ? ?40 .

15. 已知等比数列 {an } 中,a 2 ? 则数列 {

?

3 (2 x ? )dx ,a3 ? 243, 若数列 {bn } 满足 bn ? log3 an , 0 2
6

1 } 的前 n 项和 S n ? bn bn ?1
n 2n ? 1



【答案】

【解析】 a2 ?

?

6

0

3 3 (2 x ? )dx ? ( x 2 ? x) 2 2

6 0

? 27 ,所以 a3 ? a2 q ,解得 q ? 9 ,所以

an ? a2qn?2 ? 27 ? 9n?2 ? 32n?1 ,所以 bn ? log3 an ? log3 32n?1 ? 2n ?1,所以
1 1 1 1 1 ? ?? ( ? ) ,所以数列的前 n 项和 bnbn?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2 n ? 1 Sn ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?? ? ? ( ? ? ? ??? ? ) b1b2 bnbn?1 2 1 3 3 5 2n ? 1 2 n ? 1

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1 1 1 1 2n n ? ( ? )? ? ? . 2 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1
16.正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 的棱长为 2 ,MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任 意两点之间的线段称为球的弦) P 为正方体表面上的动点,当弦 MN 的长度最大时, ,

PM ? PN 的取值范围是
【答案】 [0, 2]



【解析】因为 MN 是它的内切球的一条弦,所以当弦 MN 经过球心时,弦 MN 的长度最大,

此时 MN ? 2 .以 A ' 为原点建立空间直角坐标系如图. 径的任意性,不妨设 M , N 分别是上下底面的中心,则两点的空间坐标为

根据直

M (1,1, N (1,1, ,设坐标为 P( x, y, z) ,则 2), 0)

???? ? ??? ? PM ? (1 ? x,1 ? y, 2 ? z) , PN ? (1 ? x,1 ? y, ? z) ,所以 ???? ??? ? ? ???? ??? ? ? PM ?PN ? (1 ? x)2 ? (1 ? y)2 ? z(2 ? z) ,即 PM ?PN ? ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? ( z ?1)2 ?1 .因
为点 P 为正方体表面上的动点, ,所以根据 x, y, z 的对称性可知, PM ?PN 的取值范围与点

???? ???? ?

P 在哪个面上无关, 不妨设, P 在底面 A ' B ' C ' D ' 内, 点 此时有 0 ? x ? 2,0 ? y ? 2, z ? 0 ,
所以此时 PM ? PN ? ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? ( z ?1)2 ?1 ? ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ,,所以当 x ? y ? 1 时, PM ?PN ? 0 ,此时 PM ?PN 最小,当但 P 位于正方形的四个顶点时, PM ?PN 最大, 此时有 PM ? PN ? ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 ,所以 PM ?PN 的最大值为 2. ,所以

???? ??? ? ?

???? ??? ? ?

???? ??? ? ?

???? ??? ? ?

???? ??? ? ?

???? ???? ?

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???? ??? ? ? ???? ???? ? 0 ? PM ?PN ? 2 ,即 PM ?PN 的取值范围是 [0, 2] .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知 a ? (2cos x ? 2 3sin x,1) , b ? ( y,cos x) ,且 a // b . (I)将 y 表示成 x 的函数 f ( x ) ,并求 f ( x ) 的最小正周期; (II)记 f ( x ) 的最大值为 M , a 、 b 、 c 分别为 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 对应 的边长,若 f ( ) ? M , 且 a ? 2 ,求 bc 的最大值. 18. (本小题满分 12 分)为了参加 2012 年贵州省高中篮球比赛,某中学决定从四个篮球较 强的班级中选出 12 人组成男子篮球队代表所在地区参赛,队员来源人数如下表: 班级 人数 高三( 7 )班 高三( 17 )班 高二( 31 )班 高二( 32 )班

?

?

? ?

A 2

4

2

3

3

(I)从这 12 名队员中随机选出两名,求两人来自同一班级的概率; (II)该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军.若要求选出两位队员代表冠军队发言,设其中 来自高三(7)班的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? . P

F
19. (本小题满分 12 分)如图 5 ,已知在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AD ? 1 ,

D

C

AB ? 2 , F 是 PD 的中点, E 是线段 AB 上的点. (I)当 E 是 AB 的中点时,求证: AF // 平面 PEC ;
?

A

E
图5

B

(II)要使二面角 P ? EC ? D 的大小为 45 ,试确定 E 点的位置.

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上,离心率为 (I)求椭圆 E 的方程;
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1 3 ,对称轴为坐标轴,且经过点 (1, ) . 2 2

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(II)直线 y ? kx ? 2 与椭圆 E 相交于 A 、 B 两点, O 为原点,在 OA 、 OB 上分别 存在异于 O 点的点 M 、 N ,使得 O 在以 MN 为直径的圆外,求直线斜率 k 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

a ? b ln x 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 2 . x ?1
m 恒成立,求实数 m 的取值范 x

(I)求 a , b 的值; (II)对函数 f (x) 定义域内的任一个实数 x , f ( x ) ? 围.

请考生在第 22、23 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4—1:几何证明选讲】 如图 6 ,已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A 、 B 两点,过点 A 作⊙O1 的切线交⊙ 2 于点 C ,过 O 点 B 作两圆的割线,分别交⊙O1 、⊙O2 于点 D 、 E , DE 与 AC 相交于点 P . (I)求证: AD // EC ; (II)若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA ? 6, PC ? 2 ,
A O1 O2 P B C E

BD ? 9 ,求 AD 的长.

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4—4:坐标系与参数方程】

D

? x= cos ? 已知圆 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴 ? y = sin ?
为极轴建立极坐标系,圆 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 cos( ? ?

图6

?
3

).

(I)将圆 C1 的参数方程化为普通方程,将圆 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (II)圆 C1 、 C2 是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由. 24. (本小题满分 10 分) 【选修 4—5:不等式选讲】 设函数 f ( x) ? |x ? 2|? | x ? 1| (I)画出函数 y ? f ( x) 的图象; (II)若关于 x 的不等式 f ( x)+4 ?|1 ? 2m | 有解,求实数 m 的取值范围.

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贵州省 2013 届高三年级六校第一次联考试卷 理科数学参考答案
一、选择题. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 选项 C D C B A C D A A B 1 1 C 1 2 A 1

二、填空题. 13、 80 三、解答题. 17、解: (I)由 a // b 得 2cos2 x ? 2 3sin x cos? y ? 0 ···················· 2 ? ··········· ········· ·········· ········· 即 y ? 2 cos x ? 2 3 sin x cos ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ?
2

14、 ?40

15、

n 2n ? 1

16、 [0, 2]

? ?

?
6

) ?1

所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? 又T ?

?
6

) ? 1 , ································ 4? ··········· ·········· ··········· ·········· ··········· ···········

2?

?

?

2? ?? 2

所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 ?. ································ 6? ··········· ·········· ··········· ·········· ··········· ·········· (II)由(I)易得 M ? 3 ·····································7? ··········· ·········· ··········· ···· ·········· ··········· ··········· ···· 于是由 f ( ) ? M ? 3, 即 2sin( A ?

A 2

?

) ? 1 ? 3 ? sin( A ? ) ? 1 , 6 6

?

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因为 A 为三角形的内角,故 A ?
2 2 2

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······························· 9? ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ··········
2 2

?
3

由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 得 4 ? b ? c ? bc ? 2bc ? bc ? bc ··········· ·········· 11? ·········· 解得 bc ? 4 于是当且仅当 b ? c ? 2 时, bc 的最大值为 4 . ························12? ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ·· 18、解: (I)“从这 18 名队员中随机选出两名,两人来自于同一班级”记作事件 A , 则 P( A) ?
2 2 C4 ? C2 ? C32 ? C32 13 ·······························6? ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········· ? 2 C12 66

(II) ? 的所有可能取值为 0,1, 2 ·································7? ··········· ·········· ··········· ·········· ··········· ··········· 则 P(? ? 0) ?
0 C4 C82 14 C1C1 16 C 2C 0 3 ? , P(? ? 1) ? 4 2 8 ? , P(? ? 2) ? 4 2 8 ? 2 C12 33 C12 33 C12 33

∴? 的分布列为:

?

0

1

2

P

14 33

16 33

3 33

·················································· 10? ··········· ·········· ··········· ··········· ······· ·········· ··········· ··········· ·········· ········ ∴E? ? 0 ?

14 16 3 2 ? 1 ? ? 2 ? ? ··········· ··········· ········· ······························ 12? ·········· ··········· ········· 33 33 33 3

19、 【法一】 证明: 解: (I) 如图, PC 的中点 O , 取 连接 OF , OE . 由已知得 OF / / DC 且 OF ?

1 DC , 2

又? E 是 AB 的中点,则 OF / / AE 且 OF ? AE ,

? AEOF 是平行四边形,
∴ AF / / OE 又? OE ? 平面 PEC , AF ? 平面 PEC

··········· ··········· ··· ························ 4? ·········· ··········· ···

? AF / / 平面 PEC ····································· 6? ··········· ·········· ··········· ····· ·········· ··········· ··········· ····
(II)如图,作 AM ? CE 交 CE 的延长线于 M . 连接 PM ,由三垂线定理得 PM ? CE ,

? ?PMA 是二面角 P ? EC ? D 的平面角.即? ?PMA ? 45o ················ 9? ··········· ····· ·········· ·····

? PA ? 1 ? AM ? 1 ,设 AE ? x ,

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由 ?AME ? ?CBE 可得 x ?

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5 4

(2 ? x) 2 ? 1 ? x ?

故,要使要使二面角 P ? EC ? D 的大小为 45 ,只需 AE ?
o

5 ················ 12? ··········· ····· ·········· ······ 4

【法二】 (I)由已知, AB, AD, AP 两两垂直,分别以它们所在直线为 x, y, z 轴建立空 间直角坐标系 A ? xyz .
z

??? ? 1 1 1 1 P 则 A(0, 0, 0) , F (0, , ) ,则 AF ? (0, , ) ························· 2? ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ··· 2 2 2 2 ? E (1, 0, 0) , C (2,1, 0) , P(0, 0,1) , F
y

?? 设平面 PEC 的法向量为 m ? ( x, y, z) ?? ??? ? ?m?EC ? 0 ? x ? y ? 0 ? ?? 则 ? ?? ??? , ? ?m?EP ? 0 ?? x ? z ? 0 ?
令 x ? 1 得 m ? (1, ?1,1) ……………………………………… 4?

D x

C

A

E

B

??

(1, 由 AF ?m ? (0, , )? ?1,1) ? 0 ,得 AF ? m
又 AF ? 平面 PEC ,故 AF / / 平面 PEC ··························· 6? ··········· ·········· ······ ·········· ··········· ····· (II)由已知可得平面 DEC 的一个法向量为 AP ? (0,0,1) , 设 E ? (t ,0,0) ,设平面 PEC 的法向量为 m ? ( x, y, z)

??? ?? ?

1 1 2 2

??? ?

??

??? ?

??

?? ??? ? ?? ?m?EC ? 0 ?(2 ? t ) x ? y ? 0 ? ?? 则 ? ?? ??? ,令 x ? 1 得 m ? (1, t ? 2, t ) ················ ··············· 10? ·········· ····· ? ?m?EP ? 0 ??tx ? z ? 0 ? ??? ? ? AP?n 5 o ? ? |? t ? , 由 cos 45 ?| ??? 4 | AP | ? | n |
故,要使要使二面角 P ? EC ? D 的大小为 45 ,只需 AE ?
o

5 ················ 12? ··········· ····· ·········· ······ 4

20、 (I)依题意,可设椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a 2 b2

c 1 ? ? a ? 2c, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3c 2 a 2 3 1 9 ? 1 ,解得 c2 ? 1 ∵ 椭圆经过点 (1, ) ,则 2 ? 2 4c 12c 2


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∴ 椭圆的方程为

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x2 y 2 ? ? 1 ···································4? ··········· ·········· ··········· ·· ·········· ··········· ··········· ·· 4 3

? y ? kx ? 2 ? (II)联立方程组 ? x 2 y 2 ,消去 y 整理得 (4k 2 ? 3) x2 ?16kx ? 4 ? 0 ········· 5? ········· ········· ?1 ? ? 3 ?4
∵ 直线与椭圆有两个交点, ∴ ? ? (?16k )2 ?16(4k 2 ? 3) ? 0 ,解得 k ?
2

1 4

①····················· 6? ··········· ·········· ·········· ···········

∵ 原点 O 在以 MN 为直径的圆外, ∴?MON 为锐角,即 OM ? ON ? 0 . 而 M 、 N 分别在 OA 、 OB 上且异于 O 点,即 OA ? OB ? 0 ················· 8? ··········· ······ ·········· ······· 设 A, B 两点坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 OA? OB ? ( x1, y1 )? x2 , y2 ) ? x1x2 ? y1 y2 ? (k 2 ? 1) x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 (

???? ???? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

?? (k 2 ? 1)
解得 k ?
2

4 16k ? 2k 2 ?4?0 4k ? 3 4k ? 3
2

4 3



②························· ························ 11? ·········· ··········· ···

综合① 可知: k ? ? ? ②

? 2 3 1? ?1 2 3? ,? ??? , ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· ? ························ 12? ? 3 2? ?2 3 ? ? ? ? ?

b ( x ? 1) ? (a ? b ln x) a ? b ln x ? f ?( x) ? x 21、解: (Ⅰ)由 f ( x) ? x ?1 ( x ? 1) 2 而点 (1, f (1)) 在直线 x ? y ? 2 上 ? f (1) ? 1 ,又直线 x ? y ? 2 的斜率为 ?1 ? f ?(1) ? ?1

? a ? 2 ?1 ?a ?2 故有 ? ··································6? ··········· ·········· ··········· · ·········· ··········· ··········· · ?? 2b ? a ?b ? ?1 ? ? ?1 ? 4 2 ? ln x ( x ? 0) (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x ) ? x ?1 m 2 x ? x ln x ?m 由 f ( x) ? 及 x ? 0 ? x x ?1 2 x ? x ln x (1 ? ln x)(x ? 1) ? (2 x ? x ln x) 1 ? x ? ln x 令 g ( x) ? ? g / ( x) ? ? x ?1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2 1 令 h( x) ? 1 ? x ? ln x ? h?( x) ? ?1 ? ? 0( x ? 0) ,故 h(x) 在区间 (0,??) 上是减函数,故 x
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当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 从而当 0 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, g / ( x) ? 0

? g (x) 在 (0,1) 是增函数,在 (1,??) 是减函数,故 g ( x) max ? g (1) ? 1 2 x ? x ln x ? m 成立,只需 m ? 1 要使 x ?1
故 m 的取值范围是 (1,??) ···································· ··································· 12? ·········· ··········· ··········· ··· 22、解: (I)∵ 是⊙ 1 的切线,∴ BAC=∠ AC O ∠ D, 又∵ BAC=∠ ∠ E,∴ D=∠ ∠ E,∴ AD∥ EC. ··························· 5? ··········· ·········· ······ ·········· ··········· ······ (II)设 BP=x,PE=y,∵ PA=6,PC=2, ∴ xy=12 ① ②

9+x 6 PD AP ∵ AD∥ EC,∴ = ,∴ = PE PC y 2
?x=3 ? 由① 、② 解得? ? ?y=4

(∵ x>0,y>0)

∴ DE=9+x+y=16, ∵ 是⊙ 2 的切线,∴ 2=DB· AD O AD DE=9× 16,∴ AD=12. ···················10? ··········· ········ ·········· ········ 23、解: (I)由 ?

? x= cos ? 得 x2+y2=1, ···························· 2? ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ······ y = sin ? ?

π 又∵ ρ=2cos(θ+ )=cosθ- 3sinθ, 3 ∴ 2=ρcosθ- 3ρsinθ. ρ ∴ 2+y2-x+ 3y=0,即 ( x ? ) ? ( y ? x
2

1 2

3 2 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· · ) ? 1 ······················· 5? 2

(II)圆心距 d ? (0 ? )2 ? (0 ?

1 2

3 2 ··········· ····· ·········· ······ ) ? 1 ? 2 ,得两圆相交·················7? 2

2 2 ?x +y =1 1 3 由? 2 2 得,A(1,0),B (? , ? ··········· ·········· ·········· ··········· ) , ····················· 9? ?x +y -x+ 3y=0 2 2

∴ | AB |? (1+ )2 +(0+

1 2

3 2 ····························· 10? ·········· ··········· ········ ) = 3 ··········· ··········· ········ 2

24、解: (I)函数 f ( x ) 可化为

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x ? ?2 ??3, ? ··········· ·········· ··········· ···· ·········· ··········· ··········· ··· f ( x) ? ?2 x ? 1, ?2 ? x ? 1 ···································· 3? ?3, x?2 ?
其图象如下:
y

y=f(x) 1 O 1

x

································ 5? ··········· ·········· ··········· ·········· ··········· ·········· (II)关于 x 的不等式 f ( x)+4 ?|1 ? 2m | 有解等价于 ? f ( x)+4?max ?|1 ? 2m | ········ 6? ········ ········ 由 ( I ) 可 知 f ( x)max ? 3 , 也 可 由 f ( x) ? |x ? 2|? | x ? 1| ? ? x ? 2 ? ? ? x ? 1| ? ? 3, 得 ( ··········· ·········· ··········· ·········· ·········· ··········· ··········· ·········· f ( x)max ? 3 ) ·········································· 8? 于是 解得

| 1? 2 ?| , m 7 m ? [? 3 , 4········································10? ]······································· ··········· ·········· ··········· ········

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