武汉市部分重点中学2011-2012学年度高二上学期理科数学期末联考


武汉市部分重点中学高二上学期期末联考 数学(理)试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.如果命题“p 且 q”是假命题, “非 p” 是真命题,那么 ( ) A.命题 p 一定是真命题 B.命题 q 一定是真命题 C.命题 q 一定是假命题 D.命题 q 可以是真命题, 也可以是假命题 2.将 4 名教师分配到 3 所中学任教,每所中学至少 1 名,则不同的分配方案共有( ) A.12 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种 3. 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、CC1 的中点,则 AE、BF 所成的角的余弦值是( )
1 5 1 5
2 6 5

A. ?

B.

C.

D.

2 .w 5
)

4. 已知“ x ? 1 ? 2 ”是“ x ? a ”的充分不必要条件,则 a 的范围是( A. a ? 3 B.

a ? ?1

C. a ? ?1

D.

?1 ? a ? 3

5. 已知直线 m 、 n ,平面 ? 、 ? ,给出下列四个命题: ①若 m ? ? , n ? ? ,且 m ? n ,则 ? ? ? ③若 m ? ? , n // ? ,且 m ? n ,则 ? ? ? 其中正确的命题个数是 A.1 个 B. 2 个 6. 设 F1, 2 分别是椭圆 F A. ( ) C. 3 个 ②若 m // n, n // ? ,则 m // ? ④若 m ? ? , n // ? ,且 m // n ,则 ? // ? D. 4 个 )

x2 右焦点, 是椭圆上的一点, PF1 ? PF2 , ?F1 PF2 的面积为 P 若 则 ( ? y 2 ? 1 的左、 4

1 B. 1 C. 2 D. 4 2 7. 已知命题 p : ?m ? R, m ? 1 ? 0 ;命题 q : ?x ? R, x 2 ? mx ? 1 ? 0 恒成立。若 p ? q 为假命题,则实数 m 的取值 范围为( ) A. m ? ?2或m ? 2 B. m ? ?2 C. m ? 2 D. ? 2 ? m ? 2

8.在棱长为 2 的正四面体 A-BCD 中,点 E,F 分别是 AB,CD 的中点,则 DB ? EF ? ( ) A.2 9. 已知 P 是双曲线 B.4 C. 10 D. 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右支上一点, 1, 2 为双曲线的左、 F F 右焦点, OP ? OF2 ? F2 P ? 0 若 a 2 b2

?

?

(O 为坐标原点) ,且△PF1F2 的面积为 2ac ( c 为双曲线的半焦距) ,则双曲线的离心率为 ( A. 2 +l B.
2 ?1 2



C.

3 ?1

D.

3 ?1 2

10.设 a, b, m 为整数( m ? 0 ), 若 a 和 b 被 m 除得的余数相同,则称 a 和 b 对模 m 同余.记为 a ≡ b (mod m ).已知

a =1+C 1 +C 2 ·2+C 3 ·22+?+C 20 ·219, b ≡ a (mon10),则 b 的值可以是 ( )? 20 20 20 20
A.2 010 B.2 011 C.2 012 D.2 013 ? 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上.

0, 1, 0, 11.已知向量 a ? ?1,0?, b ? ?0,0?, c ? ?0,1? ,向量 a ? b, a ? b, c 是空间的另一个基底.若向量 p 在基底 a, b, c 下的
坐标为(1,2,3),则向量在基底 a ? b, a ? b, c 下的坐标为

-1-

12.如果在( x +

1 2 x
4

)n 的展开式中,前三项系数成等差数列,则 n 的值是

13. 已知抛物线 C: y 2 ? 4 x ,过点 A ?a, 0? 直线交抛物线 C 于 A ?x1 , y1 ? 、B ?x2 , y 2 ? 两点, 若 y1 y 2 ? 8 ,则 a 值 等于 14.从 7 名同学中安排 6 人在周日去两个社区参加社会实践活动,若每个社区不得少于两人,不同的安排方案 有 种 15.如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,则下列四个命题: ① P 在直线 BC1 上运动时,三棱锥 A ? D1PC 的体积不变; ② P 在直线 BC1 上运动时,直线 AP 与平面 ACD1 所成角的大小不变; ③ P 在直线 BC1 上运动时,二面角 P ? AD1 ? C 的大小不变; ④M 是平面 A1 B1C1D1 上到点 D 和 C1 距离相等的点,则 M 点的轨迹是过 D1 点的直线 其中真命题的编号是 .(写出所有真命题的编号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分)要求列式子,并且结果用数字作答 由 0,1,2,3,4,5 这六个数字。 (1)能组成多少个无重复数字的四位数? (2)能组成多少个无重复数字的四位偶数?

17. (本小题满分 12 分) 如图,四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, A1 D ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,侧棱 A1 A ? 2 , (1)证明: AC ? A1 B ; (2)若棱 AA1 上存在一点 P , AP ? 2PA1 , 求二面角 A ? B1C1 ? P 的大小。
C D1 C1 A1 B1

18. (本小题满分 12 分) 已知 ?2 x ? 1? ? a0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a5 x 5 ? a6 x 6
6

B A

D

(1)设 M ? a1 ? a3 ? a5 , N ? a 2 ? a 4 ? a6 ,求 M , N 的值, (2)令 ?2 x ? 1? ? b0 ? b1 ?x ? 1? ? b2 ?x ? 1? ? ? ? b5 ?x ? 1? ? b6 ?x ? 1? ,求 b4 的值。
6 2 5 6

19. (本小题满分 12 分) 如图, P 、 O 分别是正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 上、下底面的中心, E 是 AB 的中点,
-2-

AB ? kAA 1

(1)求证: A1 E ∥平面 PBC ; (2)当 k 取何值时, O 在平面 PBC 内的射影恰好为 ?PBC 的重心?
D1 P A1 B1 C1

D O A E B

C

20. (本小题满分 13 分)

1 已知集合 S= ? ,2,3?n ? 1? ( n ? N * ), A={(x,y,z)| x,y,z ? S, x<z, 且 y<z}, 记集合 A 中的元素个数为 |A|?
(1)当 z=k+1(1≤k≤n)时,求|A|的值(用含 k 的式子表示);? (2)当 x<y<z 时, 求|A|的值;? (3)由(1)、(2)可知有两种不同的方法求|A|的值, 你能够由此得到一个关于自然数 n 的恒等式吗?试证明你的结 论. 21. (本小题满分 14 分) 平面内动点 P 与两定点 A1(?a,0) ,A2(a, 0) (a ? 0) 连线的斜率之积等于常数 m , 点的轨迹, P 加上 A1 、 A2 两点构成曲线 C , (Ⅰ)求曲线 C 的方程,并讨论 C 的形状与 m 值的关系;
1 (Ⅱ)若 a ? 2, m ? ? , PA1 , PA2 分别交 y 轴于 M,N 两点,以 MN 为直径的圆记为⊙E,是否存在直线 L,满足 L 4

上任意一点到⊙E 的切线段长度为定值?若存在,求出 L 的方程;若不存在,说明理由。 (Ⅲ)当 m ? ?2 时,对应的曲线为 C1 ;对给定的 m ? (0, ??) ,对应的曲线为 C2 ,设 F1 、 F2 是 C2 的两个焦点。 试问:在 C1 上,是否存在点 N ,使得△ F1 N F2 的面积 S ?| m | a 2 。若存在,求 m 的范围;若不存在,请 说明理由。

武汉市部分重点中学 2011-2012 学年度高二上学期期末联考 数学(理)试题参考答案
一、选择题答案: DCBA ABCD AB 二、填空题答案: 11、 ? ,? ,3 ? 12、8 13、-2 14、350 15、①③④ ? ?
3 ?2 1 2 ?

16、 (1) A15 ?A35 ? 300 ……………………………..6 分
(2) A35 ? A12 A14 A2 4 ? 156 ……………………12 分

17、解:以 DA, DC , DA1 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建系 则 D?0,0,0?
B?1,1,0? D1 ? 1,0, 3

(1) AC ? ?? 1,1,0?

?

A?1,0,0?

?

C ?0,1,0?

A1 B ? 1,1,? 3

?

B1 0,1, 3

?

?

?

A1 0,0, 3

?

C1 ? 1,1, 3 ---------------1 分

?

?

?

-3-

∴ AC ? A1 B ? ?1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 0 ? ? 3 ? 0 ( 2 ) ∵ AP ? 2PA1

?

?

∴ AC ? A1 B --------------4 分

AB1 ? ? 1,1, 3

?

?

? ? ? ? ? 1 2 3? ∴ P? ,0, ? , 设 平 面 AB1C1 的 一 个 法 向 量 为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? , 1? 2 1? 2 ? ? ? ? ? ?

AC1 ? ? 2,1, 3

?

?

? n1 ? AB1 ? ? x1 ? y1 ? 3 z1 ? 0 ? , ? ?n1 ? AC1 ? ?2 x1 ? y1 ? 3 z1 ? 0 ?

令 z1 ? 3 则 y1 ? ?3 , x1 ? 0 ,∴ n1 ? 0,?3, 3 -----------------------6 分 设平面 B1C1 P 的一个法向量为
n2 ? ?x 2 , y 2 , z 2 ? , B1C1 ? ?? 1,0,0 ?
? n 2 ? B1C1 ? ? x 2 ? 0 ? ? x2 3z 2 ? y2 ? ?0 ?n 2 ? B1 P ? 2 ?1 2 ?1 ?
cos? ? cos ? n1 , n2 ? ?
? 1 ? 3? ? B1 P ? ? ,?1, ? 2 ?1 2 ?1 ? ? ? ? ? 3 ,1? -----------------8 分 - ? ∴ n 2 ? ? 0, ? 2 ?1 ? ?

?

?

3 -------10 分 2
6

∴ ? ? 30 ? ---12 分

18、 (1)令 x ? 0 ,得到 ?? 1? ? a0 ,则 a0 ? 1 …………1 分 令 x ? 1, 1 ? M ? N ? 1,即 M ? N ? 0 ………3 分 令 x ? ?1 , 1 ? N ? M ? ?? 3? ,即 N ? M ? 36 ? 1 ……5 分
6

解方程得 M ? ? 364
6

, N = 364……………………6 分
6

(2)由 ?2 x ? 1? ? ?2?x ? 1? ? 1? ,………………8 分 展开式通项公式是 Tr ?1 ? C 6r ?2?x ? 1?? 则 b4 =240………………12 分
6? r

,令 r ? 2 ,……10 分

19、解 :以点 O 为原点,直线 OA、OB、OP 所在直线分别为 x、y、z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设 AB ? 2 2 ,
2 2 2 2 ) 、 B(0, 2, 0) 、 C (?2,0,0) -----------1 分 ) 、 E(1,1,0) 、 P(0, 0, k k ??? ? ???? ? 2 2 (Ⅰ)证明 由上得 A1 E ? (?1,1, ? ) 、 BC ? (?2, ?2, 0) 、 k ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 2 PB ? (0, 2, ? ) ,设 A1 E ? x ? BC ? y ? PB 得---------------3 分 k

则得 A1 (2, 0,

(?1,1, ?

(Ⅱ)

2 2 2 2 ) ? x ? (?2, ?2, 0) ? y ? (0, 2, ? ) k k ???? 1 ??? ??? ? ? ? 1 解得 x ? , y ? 1 , ∴ A1 E ? BC ? PB ---------------5 分 2 2 ? BC ? PB ? B , A1 E ? 平面PBC ∴ A1 E ∥平面 PBC ---------------6 分 ???? ? 2 2 2 2? 2 2 2 2 由(Ⅰ)知 ?PBC 的重心 G 为 ? ? , , ? 3 3 3k ? ,则 OG ? (? 3 , 3 , 3k ) ---7 分 ? ? ?
???? ??? ? ?OG ? BC ? 0 ? 则有 ? ???? ??? ? ? OG ? PB ? 0 ?

_

若 O 在平面 PBC 内的射影恰好为 ?PBC 的重心, ,解得 k ? 2 ---------------10 分

∴当 k ? 2 时, O 在平面 PBC 内的射影恰好为 ?PBC 的重心-------------12 分

20、(1)z=k+1(1≤k≤n)时,由分步计数原理知此集合中 A 中有 k2 个元素. ------3 分
-4-

?(2)当 x<y<z 时,集合 A 中的元素个数等于 k+1 个不同的元素中 取出三个不同的元素的组合数,故有? C 3 ?1 = n
(n ? 1)n(n ? 1) 1 3 1 ? n ? n 个.?-------6 6 6 6



(3)计算 A 中元素个数有两种方法.? 方法一:按 z 值分类,按(1)的结论知有 12+22+32+?+n2 个元素-----8 分? 方法二:按 x、y 的大小分类:? ①当 x<y<z 时,有 C 3 ?1 ; n ②同理 y<x<z 时,有 C 3 ?1 个, n ③而 x=y<z 时,有 C 2 ?1 个.?----- ----- ----- -----10 分 n 故 2C 3 ?1 +C 2 ?1 =12+22+32+?+n2, n n 即 12+22+?+n2= n(n+1)(2n+1). -------------13 分
1 6

21、解: (I)设动点为 M,其坐标为 ( x, y ) ,
当 x ? ?a 时,由条件可得 kMA1 ? kMA2
2 2 2

y y y2 ? ? ? ? m, x ? a x ? a x2 ? a2
2 2 2

即 mx ? y ? ma ( x ? ? a) ,又 A1 (?a, 0), A2 (a, 0) 的坐标满足 mx ? y ? ma , 故依题意,曲线 C 的方程为 mx ? y ? ma .
2 2 2

当 m ? 0 时,方程为 y ? 0 ,是一条直线;

x2 y2 ? 1, C 是焦点在 y 轴上的椭圆; 当 m ? ?1时, 曲线 C 的方程为 2 ? a ?ma 2
当 m ? ?1 时,曲线 C 的方程为 x ? y ? a ,C 是圆心在原点的圆;
2 2 2

当 ?1 ? m ? 0 时,曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,C 是焦点在 x 轴上的椭圆; a 2 ?ma 2

当 m ? 0 时,曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1, C 是焦点在 x 轴上的双曲线。……5 分 a 2 ma 2

x2 ? y 2 ? 1 , A1 (?2, 0), A2 (2, 0) ,设 P( x0 , y0 ) ,由 A1 , M , P 三点 (II)假设存在满足条件的直线 L,曲线 C 的方程为 4
共线得 yM ?

2 y0 ?2 y0 2 1 1 ,同理 y N ? , yM ? y N ? , yM yN ? 1 , E (0, ) , r 2 ? 2 ? 1, 设 Q( s, t ) 为 L 上任意 x0 ? 2 x0 ? 2 y0 y0 y0
1 2 1 2t 则 故存在直线 L, 其方程为 y ? 0 。 ……9 ) ? ( 2 ? 1) ? s 2 ? t 2 ? ? 1 与 y0 无关, t ? 0 , y0 y0 y0

一点,QE ? r 2 ? s 2 ? (t ?
2

分 (Ⅲ)由(I)知,当 m=-2 时,C1 的方程为 2 x ? y ? 2a ;
2 2 2

当 m ? (0, ??) 时,C2 的两个焦点分别为 F1 (?a 1 ? m , 0), F2 (a 1 ? m , 0). 对于给定的 m ? (0, ??) ,C1 上存在点 N ( x0 , y0 )( y0 ? 0) 使得 S ? ma 2 的 充要条件是
2 2 ?2 x0 ? y0 ? 2a 2 , y0 ? 0, ? ?1 2 ? ? 2a 1 ? m | y0 |? ma . ?2

① ② 由①得 0 ?| y0 |?

2a, 由②得 | y0 |?

ma 1? m

.

-5-

当0 ?

ma 1? m

? 2a,即 0 ? m ? 1 ? 3 时,存在点 N,使 S=ma2;



ma 1? m

? a, 即 m ? 1 ? 3 时,不存在满足条件的点 N,……14 分

-6-


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