黄冈中学2007年秋季高二数学期中理科


湖北省黄冈中学 2007 年秋季高二数学期中考试试题(理科)
命题:熊斌 校对:罗欢

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.抛物线 y ? 2 x 2 的焦点坐标为( A. (1,0) 2.如果双曲线 离是( A. )
2 6 3


? 1? C. ? 0, ? ? 4?

?1 ? B. ? , 0 ? ?4 ?

? 1? D. ? 0, ? ? 8?

x2 y 2 ? ? 1 右支上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2,那么点 P 到右准线的距 4 2

B.

4 6 3

C. 2 2

D. 2

3.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 A1D1、C1D1 的中点,则异面直线 AB1 与 EF 所成的角的大小为( A.60° C.45° 4.下列说法正确的是( ) B B.90° D.30° ) B.两两相交的三条直线共面 D.有三个公共点的两平面必重合 B1 A1 E C1 F A C D1 D

A.平面 ? 和平面 ? 只有一个公共点 C.不共面的四点中,任何三点不共线 5. 过双曲线

x2 y2 ? ? 1 左焦点 F1 的直线交双曲线的左支于 M、 两点, 2 为其右焦点, N F 则|MF2| 4 3
) B.8 C.10 D.16 )

+|NF2|-|MN|的值为( A.6 6.P 是曲线 ? A.6

? x ? ?1 ? cos ? 上任意一点,则点 P 到点 A(2,-4)的最远距离是( ? y ? sin ?

B. 6
1

C. 26

D.5

7.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F,准线为 l,经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上方的 部分相交于点 A,AK⊥l,垂足为 K,则 ?AKF 的面积是( A.4 B. 3 3 C. 4 3 ) D.8 )

8.圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ? 0 关于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 对称的圆的方程是( A. ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ?

1 2

B. ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ?

1 2

C. ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 9.椭圆

D. ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的中心、右焦点、右顶点、右准线与 x 轴的交点依次为 O、F、 a 2 b2 | FA | A、H,则 的最大值为( ) | OH |
A.
1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.不能确定

10.设椭圆

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,右焦点为 F(c, 0) ,方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 2 a b 2
) B.必在圆 x 2 ? y 2 ? 2 上 D.以上三种情形都有可能

的两个实根分别为 x1 和 x2,则点 P(x1, x2) ( A.必在圆 x 2 ? y 2 ? 2 内 C.必在圆 x 2 ? y 2 ? 2 外

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上) 11.双曲线 y 2 ?

x2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m=_____________. m

12.从圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 2 y ? 1 ? 0 外一点 P(3,2)向这个圆作一条切线 PA,A 为切点,则

PA =_______________.
13.已知正方形 ABCD,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的离心率为_________. 14.已知圆 C1: ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 和圆 C2: ( x ? 3)2 ? y 2 ? 9 ,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外 切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为_____________.

??? ??? ??? ? ? ? 15.设 F 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,A、B、C 为该抛物线上三点,若 FA ? FB ? FC ? 0 ,则

??? ? ??? ? ??? ? | FA | ? | FB | ? | FC |? ____________.
2

班级:__________ 姓名:____________ 座号:_________ 成绩:___________

答 题
题号 答案 题号 答案 11 12 1 2 3 4 5


6 7 8 9 10

13

14

15

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)以抛物线 y 2 ? 8x 上的点 M 与定点 A(6, 0) 为端点的线段 MA 的中点 为 P,求 P 点的轨迹方程. y M P O A x

17. (本小题满分 12 分)已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O1 是上底面对角线 A1C1、B1D1 的 交点,体对角线 A1C 交截面 AB1D1 于点 P,求证:O1、P、A 三点在同一条直线上.

3

18. (本小题满分 12 分)设 P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 右支上任一点,过点 P 分别作两条渐近线 4 16 的垂线,垂足分别为 E、F,求 | PE | ? | PF | 的值.

19. (本小题满分 12 分)已知椭圆

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点 F1 (0, ?2 2) ,对应的准 a 2 b2

9 2 . 4 (1)求椭圆的方程;
线方程为 y ? ?

? 1 3? (2) 直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、 且线段 MN 恰被点 P ? ? , ? 平分, N, 求直线 l 的 ? 2 2?
方程.

4

20. (本小题满分 13 分)设 F1、F2 分别是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点. 4 ??? ??? ? ? (1)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF 1 ? PF 2 的最大值和最小值;
(2)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B,且∠AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

5

21. (本小题满分 14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C(0,p)作直线与抛物 线 x2 ? 2 py( p ? 0) 相交于 A、B 两点. (1)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求 ?ANB 面积的最小值; (2)是否存在垂直 y 轴的直线 l,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存 在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由.

6

湖北省黄冈中学 2007 年秋季高二数学期中考试参考答案
1.D 2.A 3.A 4.C 5.B 6. A7.C 8.C 9.C 10.A 11.4 12.2 13. 2 ? 1 14. x2 ?
y2 ? 1 ( x ≤ ?1) 8

15.6

x0 ? 6 ? ?x ? 2 ? x0 ? 2 x ? 6 ? 16.解:设点 M ( x0 , y0 ), P( x, y) ,则 ? ,∴ ? . ? y0 ? 2 y ? y ? y0 ? ? 2
2 代入 y0 ? 8x0 得: y 2 ? 4 x ? 12 .此即为点 P 的轨迹方程.

17.证明:如答图所示,∵ A1C1 ? B1 D1 ? O1 , ∴ O1 ? A1C1 , O1 ? B1 D1. 又∵ AC1 ? 平面AC , B1D1 ? 平面AB1D1 , ?O1 ? 平面AC , O1 ? 平面AB1D1 . 1 1 1 又∵ A1C ? 平面AB1 D1 ? P, ? P ? A1C, P ? 平面AB1D1. ? P ? 平面A1C. 又∵ A ? 平面A1C, A ? 平面AB1 D1 , ∴O1、P、A 三点都是平面 AB1D1 与平面 A1C 的公共点. ∴O1、P、A 三点在同一条直线上. 18.解:渐近线方程为 2 x ? y ? 0 ,设 P(x0, y0) ,则 由点到直线的距离公式有 | PE |? ∴ | PE | ? | PF |?
2 2 | 4x0 ? y0 | 16 ? . 5 5

2 2 x0 y0 2 2 ? ? 1 ? 4x0 ? y0 ? 16 4 16

| 2 x0 ? y0 | 5

, | PF |?

| 2 x0 ? y0 | 5

,

? ? c ? ?2 2 ? 2 9 2 ? a 19.解: (1)由 ? ? ? ? 得 a ? 3, b ? 1 c 4 ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ?

即椭圆的方程为 x2 ?

y2 ? 1. 9

3 1? k 3 ? (2)易知直线 l 的斜率一定存在,设 l: y ? ? k ? x ? ? , 即y ? kx ? ? . 2 2? 2 2 ?
k 3 ? ? y ? kx ? 2 ? 2 , k2 3 27 ? 设 M(x1, y1) ,N(x2, y2) ,由 ? 得 (9 ? k 2 ) x2 ? (3k ? k 2 ) x ? ? k ? ? 0. 2 y 4 2 4 ? x2 ? ? 1. ? 9 ?

∵x1、x2 为上述方程的两根,则 ? ? (3k ? k 2 )2 ? 4(9 ? k 2 ) ? ?

? k2 3 27 ? ? k? ??0 4 ? ? 4 2



7

∴ x1 ? x2 ? ?

3k ? k 2 . 9 ? k2

? 1 3? ? 1? ∵MN 的中点为 P ? ? , ? ,∴ x1 ? x2 ? 2 ? ? ? ? ? ?1. ? 2? ? 2 2? 2 2 ∴ 3k ? k ? 9 ? k ,解得 k=3. ? 9 9 27 ? 代入①中, ? ? 182 ? 4(9 ? 9) ? ? ? ? ? ? 182 ? 0 ?4 2 4 ? ∴直线 l:y=3x+3 符合要求.

∴?

3k ? k 2 ? ?1. 9 ? k2

20.解: (1)易知 a ? 2, b ? 1, c ? 3 ,所以 F1 (? 3, 0), F2 ( 3, 0). 设 P(x, y) ,则 ??? ??? ? ? x2 1 PF1 ? PF 2 ? (? 3 ? x, ? y) ? ( 3 ? x, ? y) ? x2 ? y 2 ? 3 ? x2 ? 1 ? ? 3 ? (3x2 ? 8). 4 4 ???? ??? ? 因为 x ? [?2, 2] ,故当 x=0,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF1 ? PF 2 有最小值-2.
???? ??? ? 当 x ? ?2 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF1 ? PF 2 有最大值 1.

(2)显然直线 x=0 不满足题设条件,可设直线 l: y ? kx ? 2, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ).
? y ? kx ? 2, 1? ? ? 联立 ? x 2 消去 y,整理得 ? k 2 ? ? x2 ? 4kx ? 3 ? 0. 4? ? y 2 ? 1, ? ? ?4

∴ x1 ? x2 ? ?

4k 1 k2 ? 4

, x1 x2 ?

3 1 k2 ? 4

1? ? . 由 ? ? (4k )2 ? 4 ? k 2 ? ? ? 3 ? 4k 2 ? 3 ? 0, 4? ?

得k ?

3 3 或k ? ? . 2 2



??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 又 0? ? ?AOB ? 90? ? OA ? OB ? 0. ∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0.

又 y1 y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k 2 x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ?

3k 2 k2 ? 1 4

?

?8k 2 ?k 2 ? 1 ?4? . 1 1 k2 ? k2 ? 4 4



3 k2 ? 1 4

?

?k 2 ? 1 ? 0. 即 k2<4. ∴-2<k<2. 1 k2 ? 4



3 3 或 ? k ? 2. 2 2 21.解法一: (1)依题意,点 N 的坐标为 N(0,-p) ,可设 A(x1, y1) ,B(x2, y2) ,直线 AB

故由①②得 ?2 ? k ? ?

的方程为 y ? kx ? p ,与 x2=2py 联立得 ? 理得 x1 ? x2 ? 2 pk , x1 x2 ? ?2 p 2 . 于是

? x 2 ? 2 py, 消去 y 得 x2 ? 2 pkx ? 2 p 2 ? 0. 由韦达定 y ? kx ? p. ?

8

1 S?ABN ? S?BCN ? S?ACN ? ? 2 p | x1 ? x2 |? p | x1 ? x2 |? p ( x1 ? x2 )2 ? 4x1 x2 2

? p 4 p2 k 2 ? 8 p2 ? 2 p2 k 2 ? 2,

∴ k=0 时, (S?ABN )min ? 2 2 p2. 当 (2)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y=a, AC 的中点为 O? ,l 与以 AC 为直径的圆 y ?x y ? p? 相交于点 P、Q,PQ 的中点为 H,则 O?H ? PQ, O ? 点的坐标为 ? 1 , 1 ?.
?2 2 ?

1 1 2 1 2 ∵ | O?P |? | AC |? x1 ? ( y1 ? p)2 ? y1 ? p 2 , 2 2 2
| O?H |? a ? y1 ? p 1 ? | 2a ? y1 ? p |, 2 2

B l A

O?

C

1 1 p? ? ∴| PH |2 ?| O?P |2 ? | O?H |2 ? ( y12 ? p2 )) ? (2a ? y1 ? p)2 ? ? a ? ? y1 ? a( p ? a), 4 4 2? ?
?? p? ? ∴| PQ |2 ? (2 | PH |) 2 ? 4 ?? a ? ? y1 ? a( p ? a) ? . 2? ?? ?

O N

x

令a?

p p p ? 0 ,得 a ? ,此时|PQ|=p 为定值,故满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? , 2 2 2

即抛物线的通径所在的直线. 解法二: (1)前同解法一,再由弦长公式得
| AB |? 2 ? k 2 | x1 ? x 2 |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ? 1 ? k 2 ? 4 p2k 2 ? 8 p2 ? 2 p 1 ? k 2 ? k 2 ? 2.

又由点到直线的距离公式得 d ?
S?ABN ?

2p 1? k2

,从而,

1 1 2p ? d ? | AB |? ? 2 p 1 ? k 2 ? k 2 ? 2 ? ? 2 p2 k 2 ? 2 , 2 2 2 1? k

(2)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y=a,则以 AC 为直径的圆的方程为
( x ? 0)( x ? x1 ) ? ( y ? p)( y ? y1 ) ? 0 ,将直线方程 y=a 代入得 x2 ? x1 x ? (a ? p)(a ? y1 ) ? 0,

则 ? ? x12 ? 4(a ? p )(a ? y1 ) ? 4 ?? a ?
??

??

p? ? ? y1 ? a ( p ? a ) ? . 2? ?

设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为 P(x3, y3) ,Q(x4, y4) ,则有
?? p? ? p? ? | PQ |?| x3 ? x4 |? 4 ?? a ? ? y1 ? a( p ? a) ? ? 2 ? a ? ? y1 ? a( p ? a). 2? 2? ? ?? ?

令a?

p p p ? 0, 得a ? ,此时|PQ|=p 为定值,故满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? , 2 2 2

即抛物线的通径所在的直线.

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