高一数学必修一函数复习


函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中 的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做 函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的 值域. 2.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有 意义的 x 的值组成的集合. (5)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3. 相同函数的判断方法: (满足以下两个条件) ①定义域一致 (化简前) ②表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关) ; 4.值域: 先考虑其定义域 (1) 图像观察法 (掌握一次函数、 二次函数、 指数函数、 对数函数、 幂函数、y 三角函数等的图像,利用函数单调性) (2)基本不等式 (3)换元法 (4)判别式法 5. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标 的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C 上每一点的坐标(x,y)均满足函 数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x,y)均在 C 上 . (2) 画法 描点法 图象变换法:常用变换方法有三种:平移变换 伸缩变换 对称变换 6.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示. 7.映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的 任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ? B 为从
1

? ax ?

b x

(a, b ? 0)

集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f(对应关系) :A(原象) ? B(象) ” 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 8.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 9.复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。

函数的性质
1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1, x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的 单调增区间。 (2)减函数 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那 么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间。
注意:函数的单调性是函数的局部性质;

(3) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严 格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降 的。 (4)函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法:
○ 1 ○ 2 ○ 3 ○ 4 ○ 5 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 作差 f(x1)-f(x2); 变形(通常是因式分解和配方) ; 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) .

(B)图象法(从图象上看升降) (C)导数法 (C)复合函数的单调性
复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性相关,规律: “同增异减”

注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间写成其并集.

2

2.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数。 (2)奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)= -f(x),那么 f(x)叫做奇函数。 注:如果奇函数在 x=0 处有定义,则 f(0)=0 (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称; 奇函数的图象关于原点对称. (4)函数奇偶性判定方法: (A)定义法 ○首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 1 ○求出 f(-x),与 f(x)进行比较; 2 ○作结论:若 f(-x) = f(x),则 f(x)是偶函数;若 f(-x) = -f(x),则 f(x)是奇函数. 3
注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称, 若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,再根据定义判定。

(B)借助函数的图象判定 . 3、函数的解析表达式 (1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它 们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有:凑配法、待定系数法、换元法、构造法 4、函数最大(小)值 (1)一般的,设函数 y
? f ( x ) 的定义域为 I , 都有 f ( x ) ? M

I,如果存在实数 M 满足 ;

(a)对于任意的 x ? (b)存在 x 0
? I

,使得

f (x0 ) ? M

那么称 M 为 y

? f ( x ) 的最大值。

(2)求函数最值的方法 ○ 利用二次函数的性质(配方法) 1 ○ 利用图象求函数的最大(小)值 2 ○ 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 3
如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递增, 在区间[b, c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递减, 在区间[b, c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b);

3

函数的概念
一、选择题 1.集合 A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从 A 到 B 的函数是( A. f : x ? y ?
1 2 x

)
x

B. f : x ? y ?

1 3

x

C. f : x ? y ?

2 3

x

D. f : x ? y ?

3 2. 某物体一天中的温度是时间 t 的函数:T ( t ) ? t ? 3 t ? 60 , 时间单位是小时, 温度单位为℃,t ? 0 表示 12:00,其后 t 的取值为正,则上午 8 时的温度为( ) A.8℃ B.112℃ C.58℃ D.18℃

3.函数 y= x+1+ 1 ? x 的定义域是 A. (-1,1) B.[0,1] C.[-1,1] D. ? ,-1) ? (1,+ ? ) (4.函数 y ? f ( x ) 的图象与直线 x ? a 的交点个数有( ) A.必有一个 B.一个或两个 C.至多一个 D.可能两个以上 5.函数 f ( x ) ?
ax 1
2

? 4 ax ? 3
3 4

的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是( C. [ , ?? )
4 3

)

A.

R

B. [ 0 , ]

D. [ 0 , )
4

3

二、填空题 6.某种茶杯,每个 2.5 元,把买茶杯的钱数 y(元)表示为茶杯个数 x(个)的函数,则 y=________, 其定义域为________. 1 7.函数 y= x+1+ 的定义域是(用区间表示)________. 2-x 三、解答题 1 8.求函数 y=x+ 2 的定义域. x -4 9.已知函数 f ( x ) 的定义域为[0,1],求函数 f ( x ? a ) ? f ( x ? a ) 的定义域(其中 0 ? a ?
1 2

).

2 10.已知函数 f ( x ) ? x ? x ? 1 (1)求 f ( 2 ) (2)求 f (

1 x

? 1 ) (3)若 f ( x ) ? 5 ,求 x 的值.

函数相等、函数的值域
1.下列各题中两个函数是否表示同一函数? (1) f ( x ) ? 1 , g ( x ) ? x
0

(

)

(2) f ( x ) ?

x ?4
2

x?2

, g (x) ? x ? 2

( )

4

(3) f ( x ) ? x ? 2 x , g ( t ) ? t ? 2 t
2 2

( )(4) f ( x ) ? | x ? 1 | , g ( x ) ? ?

? x ? 1( x ? 1) ?1 ? x ( x ? 1 )

( )

2. 3.下列函数中值域是(0,+ ? )的是 A. y ? 2 x ? 1( x ? 0 )
2

B. y ? x

2

C. y ?

1 x ?1
2

D.

2 x

( x ? 0)

4.设函数 f ( x ) ? x ? 3 x ? 1 ,则 f ( a ) ? f ( ? a ) ? A.0 B. ? 6 a
2 C. 2 a ? 2

D. 2 a ? 6 a ? 2
2

5.已知 f ( x ) 满足 2 f ( x ) ? f ( ? x ) ? 3 x ? 2 ,且 f ( ? 2 ) ? ? 6.已知函数 f ( x ) ?
x
1
2 2

16 3

,则 f ( 2 ) ?

1? x
2

(1)计算 f ( 2 ) 与 f ( )

(2)计算 f ( 3 ) 与 f ( )
3

1

(3)计算 f (1) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? ... ? f ( 2011 ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ... ? f (
2 3 4

1

1

1

1 2011

)

7.求下列函数的值域: (1) y ?
2x ? 4 x?3

(2) y ? x ? 4 x ? 6 , x ? [1, 5 ) (3) y ? 1 ? x , x ? { ? 2 , ? 1, 0 ,1, 2 }
2 2

7.求函数 f ( x ) ? 2 x ? 3 ? 13 ? 4 x 的定义域和值域.(提示:设 t ?

13 ? 4 x )

函数的表示法
1.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程.在下图中纵轴表示离 学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图四个图形中较符合该学生走法的是( )

2.已知 f ( 2 x ) ? 2 x ,则 f ( x ) ? A. 2 x
2

B. x

C.

x 2

D. 4 x

3.已知函数 f(x)=x +px+q 满足 f(1)=f(0)=0,则 f(4)的值是( ) A.5 B.-5 C.12 D.20 4.已知 f ( x ) 是一次函数,若 2 f ( 2 ) ? 3 f (1) ? 5 , 2 f ( 0 ) ? f ( ? 1) ? 1 ,则 f ( x ) 的解析式为 A. f ( x ) ? 3 x ? 2 B. f ( x ) ? 3 x ? 2 C. f ( x ) ? 2 x ? 3 D. f ( x ) ? 2 x ? 3 ) 5.定义域为 R 的函数 f(x)满足 f ( x ) ? 2 f ( ? x ) ? 2 x ? 1 ,则 f ( x ) =( 1 1 A.-2x+1 B.2x- C.2x-1 D.-2x+ 3 3 6.若 g ( x ) ? 1 ? 2 x , f ( g ( x )) ?
1? x x
2 2

,则 f ( ) 的值是
2
5

1

A.1

B.15

C.4

D.30

7.函数 f ( x ) 的图象经过点(1,1),则函数 f ( x ? 4 ) 的图象过点 8.已知 f ( x ) 是二次函数, f ( 0 ) ? 0 , f ( x ? 1) ? f ( x ) ? x ? 1 ,求 f ( x ) . 9.若 f ( f ( f ( x ))) ? 27 x ? 26 ,求一次函数 f ( x ) 的解析式.

分段函数与映射
?x +3 ? 1.已知 f(x)=?1 ?x+4 ?
A.-4 B.4
2

(x>0), (x=0), (x<0). C.3 D.-3 则 f(f(f(-4)))=( )

? ? 2 x ? 1( x ? 1) 2 已知函数 f ( x ) ? ? 2 , ? x ? 2 x ( x ? 1)

(1)试比较 f ( f ( ? 3 )) 与 f ( f ( 3 )) 的大小. (2)若 f ( a ) ? 3 ,求 a 的值.

3.画出下列函数的图象,并写出值域. (1) f ( x ) ? | x | (2) f ( x ) ? | x ? 2 x |
2

(3) f ( x ) ? | x ? 5 | ? | x ? 3 |

函数的单调性
1.在区间(0,+∞)上不是增函数的是 A.y=2x-1 B.y=3x -1
2

( C.y=
2 x



D.y=2x +x+1

2

2.设函数 f ( x ) ? ( 2 a ? 1) x ? b 是(-∞,+∞)上的减函数,若 a∈R, 则 A. a ?
1 2





B. a ?

1 2

C. a ? ?

1 2

D. a ?

1 2

? 2 3.函数 y=4x -mx+5 在区间 ? 2, ? ? 上是增函数,在区间 ? ? ? , ? 上是减函数,则 m=________;
2

4.根据图象写出函数 y=f(x)的单调区间:增区间 y -3 0 -1 3 x

;减区间:

6

5.函数 f(x)=ax -(5a-2)x-4 在 ?2 , ?? ? 上是增函数, 则 a 的取值范围是______________.
2

6.判断函数 y ? x ?

4 x

? 在在 ?2, ? ? 上的单调性,并用定义证明.

7.已知函数 f ( x ) 是定义在 [ ? 1,1] 上的增函数,且 f ( x ? 1) ? f (1 ? 3 x ) ,求 x 的取值范围.

函数的最大(小)值与值域
1.当 x ? [ 0 , 5 ] 时,函数 f ( x ) ? 3 x ? 4 x ? 1 的值域为
2

A. [ f ( 0 ), f ( 5 )] 2.函数 f ( x ) ? A. ,1
5 1

B. [ f ( 0 ), f ( )]
3

2

C. [ f ( ), f ( 5 )]
3

2

D. ( f ( 0 ), f ( 5 )]

1 x ?1

在区间 [ 2 , 6 ] 上的最大值和最小值分别是
1 5

B. 1,

C.

1 7

,1

D. 1 ,

1 7

3.函数 f ( x ) ? A. [ , ?? )
2 1

2 x ? 1 ? x 的值域是

B. ( ?? , ]
2

1

C. ( 0 , ?? )

D. [1, ?? )

? 2 x ,0 ? x ? 1 ? 4. f ( x ) ? ? 2 ,1 ? x ? 2 的值域是 ? 3, x ? 2 ?

A. R 5.若 0 ? t ?
1 4

B. [ 0 , 3 ]
1 t

C. [ 0 , ?? )

D. [ 0 , 2 ] ? { 3}

,则代数式 ? t 的最小值是
15 4

A. ? 2

B.

C.2

D.0

6.函数 y ? f ( x ) 的定义域为 [ ? 4 , 6 ] ,且在区间 [ ? 4 , ? 2 ] 上递减,在区间 ( ? 2 , 6 ] 上递增,且 f ( ? 4 ) ? f ( 6 ) ,则 函数 y ? f ( x ) 的最小值是
2

,最大值是

7.函数 y ? 2 x ? 1, x ? N * 的最小值为 8.已知函数 y ? x ? 2 x ? 3 在区间 [ 0 , m ] 上有最大值 3,最小值 2,求 m 的取值范围.
2

函数的奇偶性
1.下面说法正确的选项 ( ) A.函数的单调区间可以是函数的定义域 B.函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C.具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象
7

2.函数 f ( x ) ? x ?
2

x 是

A.偶函数

B.奇函数

C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数 ( )

3.函数 y ? x | x | ? px , x ? R 是 A.偶函数 B.奇函数

C.非奇非偶函数 D.与 p 有关 ( )

4.如果偶函数在 [ a , b ] 具有最大值,那么该函数在 [ ? b , ? a ] 有 A.最大值 B.最小值

C .没有最大值 D. 没有最小值

5.如果函数 f ( x ), x ? R 是奇函数,且 f (1) ? f ( 2 ) ,则必有 A. f ( ? 1) ? f ( ? 2 ) B. f ( ? 1) ? f ( ? 2 ) C . f ( ? 1) ? f (1) D. f ( ? 1) ? f ( ? 2 ) .

6.函数 f ( x ) 在 R 上为奇函数,且 f ( x ) ? 7. (12 分)判断下列函数的奇偶性 ① f (x) ? x ?
3

x ? 1, x ? 0 ,则当 x ? 0 , f ( x ) ?

1 x



② f (x) ?

2x ?1 ?

1? 2x ;

③ f (x) ? x ? x ;
4



f (x) ?

1? x

2

| x ? 2 | ?2 。

8. (12 分)已知 f ( x ) ? x

2005

? ax

3

?

b x

? 8 , f ( ? 2 ) ? 10 ,求 f ( 2 ) .

单元测试
1. 设集合 P= ? x A. y
? 1 x 2

0 ? x ? 4?

,Q= ? y
1 x 3

0 ? y ? 2?

,由以下列对应 f 中不能构成 A 到 B 的映射的是 ..
y ? 2 x 3
2





B.

y ?

C. (2)y=x+1;

D. y (4)y=

?

1 x 8

2.下列四个函数: (1)y=x+1; A.(1)(2) 3.已知函数 A.10 4.设函数
f (x) ?

(3)y=x -1; C.2)(3)

1 x

,其中定义域与值域相同的是( D.(2)(3)(4)



B.(1)(2)(3)
f ( x) ? ax ? bx ?
7

c x

? 2

,若

f (2006) ? 10

,则

f (?2006)

的值为(



B. -10
? ?1 ( x ? 0)

C.-14
(a ? b) ? (a ? b) ? f (a ? b) 2 (a ? b)

D.无法确定 的值为( )

,则 ? ?1 ( x ? 0 )

A.a B.b C.a、b 中较小的数 D.a、b 中较大的数 2 5.已知函数 y=x -2x+3 在[0,a](a>0)上最大值是 3,最小值是 2,则实数 a 的取值范围是( ) A.0<a<1 B.0<a ? 2 C. ? a ? 2 D. 0 ? a ? 2 6. 函数 y ? f ( x ) 是 R 上的偶函数, (-∞,0 ] 上是减函数, f ( a ) ? f ( 2 ) , 且在 若 则实数 a 的取值范围是 (


8

A.a≤2 7.奇函数 A.
f (x)

B.a≤-2 或 a≥2

C.a≥-2
1

D.-2≤a≤2
, x 2 ( x1 ? x 2 )

的定义域为 ( ? ? , 0 ) ? ( 0 , ? ? ) ,且对任意正实数 x B.
f ( ? 3) ? f ( ? 5 )

,恒有

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

? 0

,则

f (3 ) ? f ( ? 5 )

C.

f ( ? 5 ) ? f (3 )
2

D.

f ( ? 3) ? f ( ? 5 )

8.已知函数 y=f(x)在 R 上为奇函数,且当 x ? 0 时,f(x)=x -2x,则 f(x)在 x ? 0 时的解析式是( 2 2 2 2 A. f(x)=x -2x B. f(x)=x +2x C. f(x)= -x +2x D. f(x)= -x -2x



9.已知二次函数 y=f(x)的图象对称轴是 x A.
x0 ? b

? x0

,它在[a,b]上的值域是 [f(b),f(a)],则( C. x
0

) )

B. x

0

? a

? [a, b]

D. x

0

? [a, b]

10.如果奇函数 y=f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值为 5,则在区间[-7,-3]上( A.增函数且有最小值-5 B. 增函数且有最大值-5 C.减函数且有最小值-5 D.减函数且有最大值-5 13.已知函数
f (x) ? x
2

1? x

2

,则

f (1) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? f (

1

1 )? f( ) ? 2 3

. . . .

14. 设 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x-1),则 g(x)= 15.定义域为 [ a 16.设
f (x) ? x
2

? 3 a ? 2 , 4 ] 上的函数
? 3 x, g ( x) ? x
2
2

f(x)是奇函数,则 a=
f ( x )) ?

3

? 2

,则 g (

17.作出函数 y

? ?x ? 2x ? 3

的图象,并利用图象回答下列问题: (2)函数在[0,4]上的值域.

(1)函数在 R 上的单调区间;

9


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