云南省部分名校2014届高三12月统一考试 文科数学


云南省部分名校高 2014 届 12 月份统一考试 (昆明三中、玉溪一中) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.

1 ? bi 1. 若复数 2 ? i 的实部与虚部相等,则实数 b 等于( 1 C. 3 ?
D.

)

A.3

B. 1

1 2

x ?1 x 2. 设全集 U=R,集合 A={x| x ? 2 ? 0 } ,B={x|1< 2 <8} ,则(CUA)∩B 等于(
A.[-1,3) B. (0,2] C. (1,2] D. (2,3)



3. 一个路口的红绿灯,红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间为 5 秒,绿灯的时间为 40 秒,当某人到 达路口时看见的是红灯的概率是( ) A. B. C. 满足 D. 则有( D. )

4.已知等差数列 A.

{a n }

a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a101 ? 0, a 2 ? a100 ? 0
C.

a1 ? a101 ? 0

B.

a3 ? a99 ? 0

a51 ? 51

5. 若函数 f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0,且 a≠1)在 R 上既是奇函数,又是减函数,则 g(x)=loga(x+k)的图象 是( )

A 6. 设向量 a =(sinα, A. B.﹣

B )的模为 C.﹣

C ,则 cos2α=( D. )

D

?2 x ? y ? 0 1 ? z ? 4?x ? ( ) y x ? 3y ? 5 ? 0 2 的最小值为( 7. 已知正数 x,y 满足 ? ,则
13 2 B. 4 1 C. 16 1 D. 32

)

A.1

8. 一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是菱形,则该几何体的侧面积为(



- 1 -

A.

B.

C.

D. 上单调递减,且函数值从 1 )

9. 函数 y=sin(ωx+φ) 在区间 减小到﹣1,那么此函数图象与 y 轴交点的纵坐标为( A. B. C. D.

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 10. P 是双曲线 a 上的点,F1、F2 是其焦点,且 PF1 ? PF2 ? 0 ,若△F1PF2
的面积是 9,a+b=7,则双曲线的离心率为( A. B. C. ) D. )

11.已知正四棱锥的各棱棱长都为 3 2 ,则正四棱锥的外接球的表面积为( A. 12? B. 36? C. 72? D. 108? 12.设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ? 0 ,且 f (?3) ? 0 ,则不等式 开始 输入 x

f ( x) g ( x) ? 0 的解集是( )
A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 如右图所示的程序框图的输出值 y ? (1,2] ,则输入值

x ? 0?




x?
2



y ? log 2 ( x ? 1)

y ? 2? x ? 1

14. P 为抛物线 y ? 4 x 上任意一点,P 在 y 轴上的射影为 Q, 点 M(4,5) ,则 PQ 与 PM 长度之和的最小值为 .

输出 y
结束

AB 15. 已知 AD 是Δ ABC 的中线, 若∠A=120°, ? AC ? ?2 ,
则 | AD | 的最小值是______.

16. 在 ?ABC 中,BC= 2 5 ,AC=2, ?ABC 的面积为 4,则 AB 的长为 三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. (12 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a2=9a2a6. 3



- 2 -

(1)求数列{an}的通项公式;
?1? (2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列?b ?的前 n 项和. ? n?

18.(12 分)为预防 H7N9 病毒爆发,某生物技术公司研制出一种新流感疫苗,为测试该疫苗的有 效性(若疫苗有效的概率小于 90%, 则认为测试没有通过) 公司选定 2000 个流感样本分成三组, , 测试结果如下表: 分组 A组 B组 C组 673 a b 疫苗有效 90 c 疫苗无效 77 已知在全体样本中随机抽取 1 个,抽到 B 组疫苗有效的概率是 0.33. (I)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结果,问应在 C 组抽取样本多少个? (II)已知 b≥465,c ≥30,求通过测试的概率.

P
19.(12 分)如图,已知在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,△PAD 是正三角形,平面 PAD⊥平面 ABCD,E,F,G 分别是 PD,PC,BC 的中点. (1)求证:平面 EFG⊥平面 PAD; (2)若 M 是线段 CD 上一点,求三棱锥 M﹣EFG 的体积.

E F A M B G C D

y 20. 12 分) ( 已知两点 F1 (?1,0) 及 F2 (1,0) , P 在以 F1 、F2 为焦点的椭圆 C 上, 点 且 l M

PF1



F1 F2



PF2

构成等差数列. N

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)如图,动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且仅 有一个公共点,点 M , N 是直线 l 上的两点,且 F1 M ? l , F1 O F2 x

F2 N ? l . 求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值.

- 3 -

x2 ? ln x 21.(12 分)已知函数 f(x)= 8 ,x∈[1,3],
(1)求 f(x)的最大值与最小值; (2)若 f(x)<4﹣at 于任意的 x∈[1,3],t∈[0,2]恒成立,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分

??
22.(10 分)已知曲线 C 的极坐标方程为

? x ? t cos? 4 cos? ? sin 2 ? ,直线 l 的参数方程为 ? y ? 1 ? t sin ? ( t 为

参数,0≤ ? < ? ). (Ⅰ)把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明曲线 C 的形状; (Ⅱ)若直线 l 经过点(1,0),求直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长. 23. (10 分)设函数 f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R (Ⅰ)解不等式 f(x)≤5;

g ( x) ?
(Ⅱ)若

1 f ( x) ? m 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围.

参考答案(文科数学) 一、选择题: ABBCA DCCAD BD 二、填空题: 13. 13. (1,3] ? [? log 2 3,?1) 14. 34 ? 1 15. 1 16. 4

三、解答题: 17.解:(1)设数列{an}的公比为 q. 1 由 a2=9a2a6 得 a2=9a2,所以 q2= . 3 3 4 9 1 由条件可知 q>0,故 q= . 3

- 4 -

1 由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1= . 3 1 故数列{an}的通项公式为 an= n........................6 3

n(n ? 1) 2 (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)= . ?
2 1 1 1 故 = n(n ? 1) =-2?n-n+1?. bn ? ? ?
1 1 1 1 1 1 1 1 2n + +…+ =-2??1-2?+?2-3?+…+?n-n+1??=- . ? ? ? b1 b2 bn ?? ? ?? n+1
?1? 2n 所以数列?b ?的前 n 项和为- ………………………12 ? n? n+1

18.解: (I)∵ ,∴a=660…(2 分) ∵b+c=2000﹣673﹣77﹣660﹣90=500,…(4 分) ∴应在 C 组抽取样个数是 (个) ; …(6 分) (II)∵b+c=500,b≥465,c≥30,∴(b,c)的可能是 (465,35)(466,34)(467,33)(468,32)(469,31)(470,30) , , , , , ,…(8 分) 若测试没有通过,则 77+90+c>2000× (1﹣90%)=200,c>33, (b,c)的可能性是(465,35)(466,34) , , 通过测试的概率是 . …(12 分)

19.解: (1)∵平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,CD ? 平面 ABCD,CD⊥ AD ∴CD⊥平面 PAD…(3 分) 又∵△PCD 中,E、F 分别是 PD、PC 的中点, ∴EF∥CD,可得 EF⊥平面 PAD ∵EF ? 平面 EFG,∴平面 EFG⊥平面 PAD;…(6 分) (2)∵EF∥CD,EF ? 平面 EFG,CD ? 平面 EFG, ∴CD∥平面 EFG, 因此 CD 上的点 M 到平面 EFG 的距离等于点 D 到平面 EFG 的距离, ∴VM﹣EFG=VD﹣EFG, 取 AD 的中点 H 连接 GH、EH,则 EF∥GH, ∵EF⊥平面 PAD,EH ? 平面 PAD,∴EF⊥EH

于是 S△EFH= EF× EH=2=S△EFG, ∵平面 EFG⊥平面 PAD,平面 EFG∩平面 PAD=EH,△EHD 是正三角形 ∴点 D 到平面 EFG 的距离等于正△EHD 的高,即为 ,…(10 分)

- 5 -

因此,三棱锥 M﹣EFG 的体积 VM﹣EFG=VD﹣EFG= × △EFG× S

=

.…(12 分)

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 20. 解: (1)依题意,设椭圆 C 的方程为 a .

F PF ? PF1 、 1 F 2 、 2 构成等差数列,

? 2a ? PF1 ? PF 2 ? 2 F1F2 ? 4 , a ? 2 .
2 又? c ? 1,? b ? 3 .

x2 y 2 ? ?1 3 ?椭圆 C 的方程为 4 . …………………………………………………4 分
(2) 将 直 线 l 的 方 程 y ? kx ? m 代 入 椭 圆 C 的 方 程 3x ? 4 y ? 12 中 , 得
2 2

(4k 2 ? 3) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0 .
2 2

……………………5 分
2 2

由直线 l 与椭圆 C 仅有一个公共点知, ? ? 64k m ? 4(4k ? 3)(4m ? 12) ? 0 ,
2 2 化简得: m ? 4k ? 3 .

y

d1 ? F1M ?


?k ? m k 2 ?1 ,

d 2 ? F2 M ?

k ?m k 2 ?1 ,
………………8 分

l H

M N O F2

d ? d 2 ? MN ? tan ? (法一)当 k ? 0 时,设直线 l 的倾斜角为 ? ,则 1 ,F 1
? MN ? d1 ? d 2 k ,

x

S?

2m d 2 ? d22 1 d1 ? d 2 (d1 ? d 2 ) ? 1 ? 2 2 k 2k k ?1
2m ? 8 m? 1 m
,……10 分

?

m ?3 ?1 4
2

2 2 ? m ? 4k ? 3 ,?当 k ? 0 时, m ? 3 ,

m?

1 1 4 ? 3? ? 3 m 3 3 ,S ? 2 3.

F MNF2 当 k ? 0 时,四边形 1 是矩形, S ? 2 3 .

- 6 -

所以四边形

F1MNF2
d ? d2
2 1 2

面积 S 的最大值为 2 3 .

……………………………12 分
2

(法二)?

2(m 2 ? k 2 ) 2(5k 2 ? 3) ?( ) ?( ) ? ? k 2 ?1 k 2 ?1 , k 2 ?1 k 2 ?1
2

?k ? m

k ?m

d1d 2 ?

?k ? m

3k 2 ? 3 ? ? 2 ? 2 ?3 k ?1 k ?1 k 2 ?1 k 2 ?1 .
2 2

k ?m

m2 ? k 2

? MN ? F1 F2 ? (d1 ? d 2 )

? 4 ? (d12 ? d 2 2 ? 2d1d 2 ) ?

2 k 2 ?1 .

四边形
2

F1MNF2

S?
的面积

1 MN (d1 ? d 2 ) ? 2

1 k 2 ?1

(d1 ? d 2 )
, ………10 分

1 16 k 2 ? 12 2 2 S ? 2 ( d 1 ? d 2 ? 2d 1 d 2 ) ? 2 k ?1 (k ? 1) 2

? 16 ? 4(

1 ? 2) 2 ? 12 k ?1 .
2

2 S ?2 3 当且仅当 k ? 0 时, S ? 12, S ? 2 3 ,故 max .

所以四边形

F1MNF2

的面积 S 的最大值为 2 3 .…………………………………………12 分

21. 解: (1)因为函数 f(x)= 所以 f′(x)= 因为 x ? [1,3 ] ,

﹣lnx,

,令 f′(x)=0 得 x=± 2,

当 1<x<2 时 f′(x)<0;当 2<x<3 时,f′(x)>0; ∴f(x)在(1,2)上单调减函数,在(2,3)上单调增函数, ∴f(x)在 x=2 处取得极小值 f(2)= ﹣ln2; 又 f(1)= ,f(3)= ∵ln3>1∴ ∴f(1)>f(3) , ∴x=1 时 f(x)的最大值为 ,x=2 时函数取得最小值为 ﹣ln2. ,

- 7 -

(2)由(1)知当 x ? [1,3 ] 时,f(x)



故对任意 x ? [1,3 ] ,f(x)<4﹣at 恒成立,

1 只要 4﹣at> 8 对任意 t ? [0,2 ] 恒成立,即 at
记 g(t)=at,t ? [0,2 ]

恒成立



,解得 a

, ) .
2

∴实数 a 的取值范围是(﹣∞,

22.解: (1)曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 4 x ,故曲线 C 是顶点为 O(0,0) ,焦点为 F(1,0)的 抛物线;

? x ? t cos? ? l 的参数方程为 ? y ? 1 ? t sin ? ( t 为参数,0≤ ? < ? ).故 l 经过点(0,1) (2)直线 ;若直线 l 经

??
过点(1,0),则

3? 4

? 3? 2 ?? t ? x ? t cos ? 4 2 ? ? y ? 1 ? t sin 3? ? 1 ? 2 t 4 2 (t 为参数) ? ?直线 l 的参数方程为 ?
2 代入 y ? 4 x ,得 t ? 2 6t ? 2 ? 0 2

设 A、B 对应的参数分别为 t1 , t 2 ,则 t1 ? t 2 ? ?2 6 , t1t 2 ? 2
2 ? AB ? t1 ? t 2 ? (t1 ? t 2 ) ? 4t1t 2 =8

- 8 -


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