山西省山大附中2014-2015学年高二数学上学期期中试题


山西大学附中 2014-2015 高二上学期期中考试 数学试题
考试时间:90 分钟 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分;在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.直线 x ? 3 y ?1 ? 0 的倾斜角的大小为 A. 30 B. 60 C. 120 2.点 P 在直线 x+y-4=0 上,O 为原点,则|OP|的最小值是 A.2 B、 6
2


?



?

?

D. 150 D、 10

?

C、 2 2

3.直线 l 经过 A(2,1),B(1,m )(m∈R)两点,那么直线 l 的倾斜角的取值范围是( A.[0,π ) π) 4.圆 x 2 ? y 2 ? 9 和圆 x 2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 11 ? 0 的位置关系是 A.相离 B.内切 C.外切 5.过点 A(1,4) ,且横纵截距的绝对值相等的直线共有 A.1 条 B、2 条 C、3 条 ( D. 相交 π 3π B.[0, ]∪[ ,π ) 4 4 π C.[0, ] 4

)

π π D.[0, ]∪( , 4 2



D、4 条 角 形 ,

6.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三 则这个几何体的体积为( ) A. C.

?4 ? ? ?
3

3

B. ?4 ? ? ? 3 D.

?8 ? ? ?
2

3

?8 ? ? ?
6

3

E,F, G, H 分别 7 .如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,

D1

A1
E
D

B1
G
F

H C1



AA1 , AB , BB1 , B1C1 的中点,则异面直线 EF 与
GH 所成的角等于
A. 45
?

(
?

)
?

C
B

A

B. 60

C. 90

?

D. 120

8.在正三棱锥 P—ABC 中,三条侧棱两两互相垂直,侧棱长为 a,则点 P 到平面 ABC 的距离为 ( ) A.a B. 2 a 2 C. 3 a 3 D. 3 a

9.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 的中 心,E、F 分别是 CC1、AD 的中点,那么异面直线 OE 和 FD1 所成的

-1-

角的余弦值等于 A.
10 5


15 5

) D.
2 3

B.

C.

4 5

10. 如图, 正方体 ABCD ? A 线段 B1D1 上有两个动点 E, F, 且 EF ? 1B 1C1D 1 的棱线长为 1, 则下列结论中错误的是 A. AC ? BE ( )

1 , 2

B. EF // 平面ABCD

C.三棱锥 A ? BEF 的体积为定值 D. ?AEF的面积与?BEF的面积相等 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,满分 16 分;把正确的答案写在题中的横线 上。 11.过点 P(-1, 4) 作圆 x2 ? y 2 - 4x - 6 y ? 12 ? 0 的切线,则切线长为_______________ 12.已知直线 ax+by+c=0 与圆 O:x +y =1 相交于 A、B 两点,且|AB|= 3 ,则 OA ? OB
2 2



.
2 2

13、已知圆:(x-1) +y =1,O 为原点,作弦 OA,则 OA 中点的轨迹方程是_______________。 14.矩形 ABCD 中,AB = 4,BC = 3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B—AC—D,则四面 体 ABCD 的外接球的体积为________________ 三、解答题:本大题 5 个小题,共 54 分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1 15.( 本小题满分 10 分)求倾斜角是直线 y=- 3x+1 的倾斜角的 , 且分别满足下列条件的 4 直线方程:.(1)经过点( 3,-1); (2)在 y 轴上的截距是-5.

16.(本小题满分 10 分)如图,四边形 ABCD 为矩形,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=2,BC= 2 ,

E 是 PC 的中点.
(Ⅰ)证明:PA∥平面 EDB; (Ⅱ)求异面直线 AD 与 BE 所成角的大小.

-2-

17. (本小题满分 10 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? AC , AB ? PA ,

AB∥CD, AB ? 2CD , E , F , G, M , N 分别为 PB, AB, BC , PD, PC 的中点
(Ⅰ)求证: CE∥平面PAD ;(Ⅱ)求证: 平面EFG ? 平面EMN

18、 (本小题满分 12 分)已知圆 C:x +y +2x-4y+3=0 (I)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上截距相等,求切线方程。 (II)从圆 C 外一点 P(x1,y1)向圆引切线 PM,M 为切点,O 为坐标原点,且有|PM|=|PO|, 求使|PM|最小的点 P 的坐标。

2

2

19. (本小题满分 12 分)

如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,

-3-

CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? 2.
(I)求证: AO ? 平面 BCD; (II)求点 E 到平面 ACD 的距离。 (Ⅲ) OC 与平面 ACD 所成角的正弦值。

答案 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分;在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。AC D DC D B C B D 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,满分 16 分;把正确的答案写在题中的横线 上。 11.3 12.-1/2 13、 ( x ? ) ? y ?
2 2

1 2

1 125 (x≠0) 14. ? 6 4

三、解答题:本大题 5 个小题,共 54 分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 解:∵直线的方程为 y=- 3x+1,∴k=- 3,倾斜角 α =120°, 3 由题知所求直线的倾斜角为 30°,即斜率为 . ……………1 分 3 (1)∵直线经过点( 3,-1),所求直线方程为 y+1= 即 3x-3y-6=0. 3 (x- 3), 3

……………5 分 3 (2)∵直线在 y 轴上的截距为-5,∴由斜截式知所求直线方程为 y= x-5, 3 即 3x-3y-15=0. ……………8 分

16.(本小题满分 10 分)如图,四边形 ABCD 为矩形,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=2,BC= 2 , E 是 PC 的中点. (Ⅰ)证明:PA∥平面 EDB;
-4-

(Ⅱ)求异面直线 AD 与 BE 所成角的大小. 证明: (Ⅰ)连接 AC,设 AC∩BD=O,连接 EO, ∵四边形 ABCD 为矩形,∴O 为 AC 的中点. ∴OE 为△PAC 的中位线. ∴PA∥OE,而 OE ? 平面 EDB,PA ? 平面 EBD, ∴PA∥平面 EDB. ……………4 分 (Ⅱ)方法一: ∵AD∥BC,∴ ?CBE 就是异面直线 AD 与 BE 所成的角或补角. ………6 分 ∵PD⊥平面 ABCD, BC ? 平面 ABCD ,∴BC⊥PD.又四边形 ABCD 为矩形, ∴BC⊥DC.又因为 PD ? DC= D,所以 BC⊥平面 PDC.

1 ? PC ? 2 ,∴ ?CBE ? . 2 4 ? 即异面直线 AD 与 BE 所成角大小为 . ……………10 分 4
在 rt ? BCE 中,BC= 2 ,EC= ? 17.

-5-

18.解:(1)∵切线在两坐标轴上的截距相等, ∴当截距不为零时,设切线方程为 x+y=a. 又∵圆 C:(x+1) +(y-2) =2,
2 2

-6-

∴圆心 C(-1,2)到切线的距离等于圆半径

,



=

a=-1 或 a=3.

当截距为零时,设 y=kx,同理可得 k=2+

或 k=2-

.

故所求切线的方程为 x+y+1=0 或 x+y-3=0 或 y=(2+ (2)∵切线 PM 与半径 CM 垂直, ∴|PM| =|PC| -|CM| . ∴(x1+1) +(y1-2) -2=x1 +y1 . ∴2x1-4y1+3=0. ∴动点 P 的轨迹是直线 2x-4y+3=0. ∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值.
2 2 2 2 2 2 2

)x 或 y=(2-

)x.

而|PO|的最小值为点 O 到直线 2x-4y+3=0 的距离 d=

.

∴由

可得

?

所求点的坐标为 P(-

,

).

-7-

19.解析:

(I)证明:连结 OC

? BO ? DO, AB ? AD,? AO ? BD. ? BO ? DO, BC ? CD,?CO ? BD.
在 ?AOC 中,由已知可得 AO ? 1, CO ? 3. 而 AC ? 2,
A

? AO ? CO ? AC ,
2 2 2

??AOC ? 90o , 即 AO ? OC .
? BD ? OC ? O,
? AO ? 平面 BCD
(II) 解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h .
O B D

M

E

C

?VE ? ACD ? VA?CDE , 1 1 ? h.S?ACD ? . AO.S?CDE . 3 3
在 ?ACD 中, CA ? CD ? 2, AD ? 2,

1 2 7 ? S?ACD ? ? 2 ? 22 ? ( )2 ? . 2 2 2
而 AO ? 1, S?CDE ?

1 3 2 3 ? ?2 ? , 2 4 2

3 AO.S ?CDE 1? 2 21 ?h ? ? ? . S ?ACD 7 7 2

? 点 E 到平面 ACD 的距离为
7 7

21 . 7

(Ⅲ)

-8-


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