1.3三角函数的诱导公式导学案第一课时(生)


1.3 三角函数的诱导公式 第一课时 三角函数的诱导公式<第一课时 第一课时>
学习目标 学习目标 1.知识目标: 知识目标: 知识目标
(1)知道诱导公式的推导过程;能概括诱导公式的特点。 (2)能灵活运用诱导公式熟练正确地进行求值、化简及变形。

2.能力目标 能力目标: 能力目标
(1)提高对三角函数中单位圆思想的认识,培养借助图形直观进行观察、感知、探究、 发现及逻辑推理的能力,渗透掌握分类讨论及数形结合的思想方法。 (2)培养运算能力,渗透掌握未知到已知、复杂到简单的化归思想。

3.情感目标:体验数学探索的成功感,从而激发学生学习数学的兴趣和热情,培养学生科学 情感目标: 情感目标
的探索精神。

教学设计 教学设计: 设计 问题的提出 一,问题的提出
求下列三角函数的值,公式一都能解决吗?是否有必要研究新的诱导公式?

7π = _____ sin1110°= 3 3 8π 10π 5π 第二组: sin = _____, cos = _____,tan( ) = _____ . 3 3 3 二,自主学习 知识梳理: (一)知识梳理: 第一组: sin = ____, cos

π

1.回顾任意角的三角函数的定义:α 为一任意角,设α的终边与单位圆的交点为P ( x, y ) ,
则 sin α = ____ , α = _____ , α = _____ . cos tan

2.回顾诱导公式一:终边相同的角的同名三角函数的值相等. sin(α + 2kπ ) = _____, cos(α + 2kπ ) = _____, tan(α + 2kπ ) = _____ . k ∈ z) (
诱导公式(一)的作用: 其方法是先在 0 2π 即 0° 的形式,然后得出结果。

360° 内找出与角 α 终边相同的角,再把它写成诱导公式(一)

3.设点P的坐标为(x,y),则 点P关于原点的对称点P的坐标为 ______ . 1 点P关于x轴的对称点P2的坐标为 ______ . 点P关于y轴的对称点P3的坐标为 ______ . 点P关于直线y = x的对称点P4的坐标为 ______ . 4.如图,设 α 为一任意角,α 的终边与单位圆的交点为 P (x,y), 角 π + α 的终边与单位圆的交点

1

为 P0, 由于角 π + α 的终边与角 α 的终边关于原点成中心对称,所以点 P0 与点 P 关于原点成中 心对称,因此点 P0 的坐标是(-x,-y),于是,我们有: y

诱导公式二: 诱导公式二:

用弧度制可表示如下: P(x,y) M
180 o + α

α

M x P 0 (-x,-y)

O

类比公式二的得来,得:

y

探究:诱导公式三: 探究:诱导公式三: 公式三

(4-5-1) 用弧度制可表示如下:
P(x,y)

α
M
O



x

P 0 (x,-y) (4-5-2)

类比公式二,三的得来,得:

y

探究:诱导公式四: 探究:诱导公式四: 公式四

用弧度制可表示如下:

P(x,y) P 0 (-x,y)
180
0


α α
M x

M0

O

探究: 探究:对诱导公式一,二,三,四用语言可概括为:

(4-5-3)

探究: 作用: 探究:上述公式的作用 作用

探究: 探究:将 ?α , π ± α 分别加上 2kπ (k ∈ Z ) ,三角函数值是否改变?
是否可以得出,形如 2k

π ± α (k ∈ Z )及(2k +1) ± α (k ∈ Z )即偶数 π ± α 及奇数 π ± α π

2

的角,求三角函数值的一般方法?

(二)基础训练:5 个来源于课本 基础训练: 训练
1、将下列三角函数转化为锐角三角函数,并求值
(1)cos210?; (3) sin (2) cos(?1665°) (4) sin( ?

11π ; 6

17π ). 3

2、化简:

sin 3 (?α ) cos(5π + α ) tan(2π + α ) cos 3 (?α ? 2π ) sin(?α ? 3π ) tan 3 (α ? 4π )

3、化简

sin(1440° + α ) ? cos(α ? 1080°) cos(?180° ? α ) ? sin( ?α ? 180°)

(三)能力训练:3 个略高于课本 能力训练: 1、化简: 1)sin( α +180?)cos(— α )sin(— α —180?) (
(2)sin 3 (— α )cos(2π+ α )tan(— α —π)

2、化简:

1 + 2 sin 290 o cos 430 o sin 250 o + cos 790 o

3

3、已知 cos(π+ α )=-
(A)

1 3π , < α <2π,则 sin(2π- α )的值是( ) . 2 2
(B)

3 2

1 2

(C)-

3 2

(D)±

3 2

( 问题质疑) 三,合作探究: 合作交流 方法探究 问题质疑) 合作探究:

( 方法归纳) 四,展示归纳: 小组展示 问题归纳 方法归纳) 展示归纳:

五,反思提升: 反思提升: 1、易错反思 、

2、方法反思 、

3、能力提升 、

4

一、选择题 选择题
1、 sin

4π 25π 5π cos tan 的值是 3 6 4
3 4
B.





A.-

3 4

C.-

3 4

D.

3 4


2、若 A、B、C 为△ABC 的三个内角,则下列等式成立的是( A、 sin( B + C ) = sin A C、 tan( B + C ) = tan A B、 cos( B + C ) = cos A D、 cot( B + C ) = cot A

3、在△ABC 中,若最大角的正弦值是

2 ,则△ABC 必是( 2

) D、锐角三角形 )

A、等边三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 4、下列不等式中,不成立的是 ( A、 sin 130 > sin 140
° ° °

B、 cos 130 > cos 140
°

°

°

C、 tan 130 > tan 140 5、已知函数 f ( x ) = cos

°

D、 cot 130 > cot 140

°

x ,则下列等式成立的是 2
B、 f ( 2π + x ) = f ( x ) D、 f ( ? x ) = f ( x )





A、 f ( 2π ? x ) = f ( x ) C、 f ( ? x ) = ? f ( x )

6 、 已 知 a, b, α , β 均 为 非 零 常 数 , 函 数 f ( x ) = a sin(πx + α ) + b cos(πx + β ) + 4 , 若

f ( 2001) = 5 ,则 f (2002) 的值是
A、5 B、3 C、8



) D、不能确定

二、填空题
12 ,则 sin(α + 55°) = . 13 π 2π 3π 4π 5π 6π 8、 cos + cos + cos + cos + cos + cos = 7 7 7 7 7 7 2 cos(π ? a ) ? 3 sin(π + a ) 9、已知 tan(π + α ) = 3 , 求 的值. 4 cos(? a ) + sin(2π ? a ) 三、解答题 ( ) 10、化简 sin kπ ? α ? cos[(k ? 1)π ? α ] ( k ∈ Z ) sin[(k + 1)π + α ] ? cos(kπ + α )
7、若 sin(125° ? α ) = 解:



5

1 ? (x < ) ?cos π x, ( x < 0) ?sin π x, ? 2 11、设 f ( x) = ? 和 g ( x) = ? ( x ≥ 0) 1 ? f ( x ? 1) + 1, ? g ( x ? 1) + 1, (x ≥ ) ? ? 2
求 g ( ) + f ( ) + g ( ) + f ( ) 的值. 解:

1 4

1 3

5 6

3 4

2 12、若关于 x 的方程 2 cos (π + x) ? sin x + a = 0 有实根,求实数 a 的取值范围。

解:

nπ 选作 1、已知 f (n ) = cos (n ∈ N ) ,求 f (1) + f (2) + L + f (2004) 的值。 、 5

2、是否存在 α、β,α∈(-


π π , ) ,β∈( 0 ,π)使等式 sin( 3 π-α) = 2 cos 2 2

π -β) 3 cos(-α)=- 2 cos(π+β)同时成立?若存在,求出 α、β 的值;若不存在, , 2

请说明理由. 解:

6


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