北京师范大学附中2013届高三数学一轮复习 直线与圆单元训练


北京师范大学附中 2013 届高三数学一轮复习单元训练:直线与圆
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.“ a ? b ”是“直线 y ? x ? 2 与圆 ?x ? a ? ? ?x ? b? ? 2 相切”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A
2 2

)

2.当θ 是第四象限时,两直线 x sin ? ? y 1? cos? ? a ? 0 和 x ? y 1? cos? ? b ? 0 的位 置关系是( A.平行 【答案】B ) B.垂直 C.相交但不垂直 D.重合

3.两直线 3x ? y ? 3 ? 0 与 6 x ? my ? 1 ? 0 平行,则它们之间的距离为(

)

A. 4 【答案】D

B.

2 13 13

C.

5 13 26

D.

7 10 20

4.已知点 M ?a, b? 关于 x 轴、 y 轴的对称点分别为 N 、 P ,则 PN ? ( A. 0 C. 2 a ? b
2 2

)

B.

a 2 ? b2

D. 2 a

【答案】C 5.直线 y ? kx ? 3 与圆 值范围是( )

? x ? 3?

2

? ? y ? 2? ? 4
2

相交于 M,N 两点,若

MN ? 2 3

,则 k 的取

? 3 ? 0 ? ? ,? A. ? 4 ?
? 3 3? , ? ?? ? 3 3 ? C.

3? ? ? ? ? ??, 4 ? ? ?0, ?? ? B. ? ? 2 ? 0 ? ? 3 ,? ? ? D.
) D. (-5,-2)

【答案】A 6.点 P(2,5)关于直线 x 轴的对称点的坐标是( A. (5,2) B. (-2,5)C. (2,-5) 【答案】C

7.直线 x ? y ? m ? 0与圆x2 ? y 2 ? 2x ?1 ? 0 有两个不同交点的一个充分不必要条件是 ( )

1

A. ?3 ? m ? 1 【答案】C

B. ?4 ? m ? 2

C. 0 ? m ? 1

D. m ? 1

8.若动点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 分别在直线 l1 : x ? y ? 7 ? 0和l2 : x ? y ? 5 ? 0 上移动,则线 段 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为( ) A.2 3 B.3 3 C.3 2 D.4 2 【答案】C 9.设直线 l 过点 (?2,0) ,且与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切,则 l 的斜率是( A. ? 【答案】A 10.若直线 ?x ? y ? a ? ? 过圆 x? ? y ? ? ? x ? ? y ? ? 的圆心,则 a 的值为( A. ? 1 B.1 C. 3 D. ? 3 【答案】B ) )

3 3

B.

?

1 2

C.

?1

D.

? 3

11.设动圆 M 与 y 轴相切且与圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 相外切, 则动圆圆心 M 的轨迹方程 为( ) B. y 2 ? ?4 x D. y 2 ? 4 x 或 y ? 0

A. y 2 ? 4 x C. y 2 ? 4 x 或 y ? 0( x ? 0) 【答案】C

12.圆: x 2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 0 和圆: x 2 ? y 2 ? 6x ? 0 交于 A, B 两点,则直线 AB 的的 方程是( ) B. D.

A. x ? 3 y ? 0 C. 【答案】A

3x +y ? 0 3 y ? 5x ? 0

3x ? y ? 0

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.过点 A(?1,0) 且与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直的直线方程为 【答案】 x ? 2 y ? 1 ? 0 14.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x 2 ? 6 x ? 1 与坐标轴的交点都在圆 C 上,则圆 C 的方程为 【答案】 .

x2 ? y 2 ? 6x ? 2 y ? 1 ? 0 ( ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 9 )

15.已知两个点 M(-5,0)和 N(5,0),若直线上存在点 P,使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“B 型

2

y?
直线”,给出下列直线:①y=x+1; ②

4 x 3 ;③y=2;④y=2x+1.其中为“B 型直线”

的是 .(填上所有正确结论的序号) 【答案】①③ 16.过点 P(1,2)引直线使 A(2,3) ,B(4,5)到直线的距离相等,求这条直线方程 【答案】 4 x ? y ? 6 ? 0 或 3x ? 2 y ? 7 ? 0 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆心在直线 y ? ? x 上, 半径为 2 2 的圆 C 与直线 y ? x 相切于坐标原点 O . (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l : x ? y ? a ? 0 与圆 C 相交,求实数 a 的取值范围. 【答案】Ⅰ)依题设可知圆心 C 在直线 y ? ?x 上 于是设圆心 C (?n, n) , n ? 0 ) ( 则 OC
2

? (? n) 2 ? n 2 ? (2 2 ) 2 ,解得 n ? 2

? 圆 C 的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2)2 ? 8
(Ⅱ)若直线 l : x ? y ? a ? 0 与圆 C 相交, 则圆心 C (?2,2) 到直线 l 的距离 d ? 2 2 即d ?

?2?2?a 2

? 2 2 ,得 a ? 4 ? 4

? ?4 ? a ? 4 ? 4 即0 ? a ? 8
18.已知方程 x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 .
2 2

(Ⅰ)若此方程表示圆,求 m 的取值范围; (Ⅱ)若(Ⅰ)中的圆与直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M,N 两点,且 OM ? ON(O 为坐标原点) 求 m 的值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程. 【答案】 (Ⅰ) x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0
2 2

D=-2,E=-4,F= m

D 2 ? E 2 ? 4 F =20- 4 m ? 0 , m ? 5

3

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 2 x ? y 2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 (Ⅱ) ?

x ? 4 ? 2 y 代入得

5 y 2 ? 16y ? 8 ? m ? 0
y1 ? y 2 ?
8?m 16 y1 y 2 ? 5 5 ,

∵OM ? ON

得出: x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 (Ⅲ)设圆心为 ( a, b)

∴ 5 y1 y2 ? 8( y1 ? y2 ) ? 16 ? 0

m?


8 5

a?

x1 ? x2 4 y ? y1 8 ? ,b ? 1 ? 2 5 2 5

r?
半径

4 5 5

4 8 16 (x ? )2 ? ( y ? )2 ? 5 5 5 圆的方程



19.求经过点 M (2,?2) 以及圆 x 2 ? y 2 ? 6x ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 交点的圆的方程。 【答案】设过圆 x 2 ? y 2 ? 6x ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 交点的圆的方程为:

x 2 ? y 2 ? 6x ? ? ( x 2 ? y 2 ? 4) ? 0

???①

把点 M 的坐标 (2,?2) 代入①式得 ? ? 1 ,把 ? ? 1 代入①并化简得

x 2 ? y 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,
∴所求圆的方程为: x 2 ? y 2 ? 3x ? 2 ? 0 . 20. 已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上, 圆心的横坐标是整数, 且与 4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相切. (Ⅰ)求圆的方程; (Ⅱ)设直线 ax ? y ? 5 ? 0 (a ? 0) 与圆相交于 A, B 两点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数 a ,使得弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(?2, 4) ,若 存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】 (Ⅰ)设圆心为 M (m, 0) ( m ? Z ) .由于圆与直线 4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相切,且半 径为

4

(Ⅲ)设符合条件的实数 a 存在,由于,则直线 l 的斜率为 ?

1 a

1 l 的方程为 y ? ? ( x ? 2) ? 4 ,即 x ? ay ? 2 ? 4a ? 0 a
由于 l 垂直平分弦 AB,故圆心 M (1, 0) 必在 l 上, 所以 1 ? 0 ? 2 ? 4a ? 0 ,解得 a ?

3 3 3 ? 5 ? 。由于 ? ? , ?? ? ,故存在实数 a ? 4 4 4 ? 12 ?

使得过点 P(?2, 4) 的直线 l 垂直平分弦 AB 21.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 4 相切. (I)求圆 O 的方程; (II)圆 O 与 x 轴相交于 A,B 两点,圆内的动点 P 使 PA , , 成等比数列,求 PO PB

??? ??? ? ? PA ? PB 的取值范围.
【答案】 (I)依题设,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x ? 3 y ? 4 的距离, 即

r?

4 ? 2 .得圆 O 的方程为 x2 ? y2 ? 4 . 1? 3

??? ??? ? ? PA?PB ? (?2 ? x, y)? ? x, y) ? (2 ?

? x2 ? 4 ? y 2 ? 2( y 2 ?1).
5

由于点 P 在圆 O 内,故 ?

? x 2 ? y 2 ? 4, ? 2 2 ? x ? y ? 2. ?

由此得 y 2 ? 1 .所以 PA?PB 的取值范围为 [?2, . 0) 22.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x- 3y-4=0 相切. (Ⅰ)求圆 O 的方程; (Ⅱ)圆 O 与 x 轴相交于 A、B 两点,圆内的动点 P 使得|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,求·的 取值范围. 【答案】(Ⅰ)依题设,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x- 3y-4=0 的距离, 4 即 r= =2. 1+3 所以圆 O 的方程为 x +y =4. 2 (Ⅱ)不妨设 A(x1,0),B(x2,0),且 x1<x2,由 x =4, 得 A(-2,0),B(2,0). 设 P(x,y),由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列, 得 ( x ? 2) 2 ? y 2 · ( x ? 2) 2 ? y 2 =x +y , 即 x -y =2, 2 2 2 所以·=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=x -4+y =2(y -1). 由于点 P 在圆 O 内,故 x2 ? y 2 ? 4 又 x -y =2
2 2 2 2 2 2 2 2

??? ??? ? ?

所以 0≤y <1. 所以·的取值范围为[-2,0).

2

6


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