圆的标准方程导学案




二 年级

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( )班

§ 4.1.1 圆的标准方程
学习目标
1. 掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程; 2. 会用待定系数法求圆的标准方程.

练习 1:(1)已知圆经过点 P(5,1) ,圆心在 C (8, ?3) 的圆的标准方程是____________________; (2)△ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1), B(7, ?3) , C (2, ?8) ,求它的外接圆的方程.

学习过程
※ 学习探究 问题 1.在平面直角坐标系中,确定直线的基本要素是什么?圆作为平面几何中的基本图形,确定 它的要素又是什么呢?
问题 2.圆上的点有什么特征? 问题 3.在平面直角坐标系中,已知圆 C 的圆心为 C (a, b), 半径为 r ,则 圆 C 上的任意点 P( x, y) 应该满足什么条件呢? 反思: 1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法,即列出关于 a , b, r 的方程组,求 a , b, r 或直接求出圆心 (a, b) 和半径 r . 2.待定系数法求圆的步骤: (1)根据题意设所求的圆的标准方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ; (2)根 据已知条件,建立关于 a , b, r 的方程组; (3)解方程组,求出 a , b, r 的值,并代入所设的方程,得 到圆的方程.

例 2 已知圆 C 经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,且圆心在直线 l : x ? y ? 1 ? 0 上,求圆 C 的标准方程.

新知 1——圆的标准方程: 圆心为 C (a, b) ,半径为 r 的圆的方程是 特殊情形:圆心在原点,半径为 r 的圆的方程是 思考:确定圆的标准方程的基本要素? 问题 4:平面内任意一点与一定圆有何位置关系? 新知 2——点与圆的位置关系: (1)设点到圆心的距离为 d,圆的半径为 r. 当 时,点在圆上;当
2 2

,此方程叫做圆的标准方程. .

练 2.求以 C (1,3) 为圆心,并且和直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 相切的圆的方程.

时,点在圆内;当
2

时,点在圆外; ; ;

(2) 设圆的方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r (r ? 0) , 则点 P( x0 , y0 ) 在圆上 ? 点 P( x0 , y0 ) 在圆内 ? ;点 P( x0 , y0 ) 在圆外 ?

※ 典型例题 例 1 写出圆心为 A(2, ?3) ,半径长为 5 的圆的标准方程,并判断点 M1 (5, ?7), M 2 (? 5, ?1) 是否在
这个圆上.

三、总结提升 ※ 学习小结 1.方法规纳: ⑴利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径. ⑵比较点到圆心的距离与半径的大小,能得出点与圆的位置关系. ⑶借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时,可大大化简计算的过程与难度. 2.圆的标准方程的两种求法: ⑴根据题设条件,列出关于 a、b、r 的方程组,解方程组得到 a、b、r 得值,写出圆的标准方程. ⑵根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写出圆的标准方程.



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综合测评 1.已知 A(2, 4), B(?4,0) ,则以 AB 为直径的圆的方程( A. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 13 B. ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 13
2 2

10.根据下列所给不同条件求圆的方程: ) (1)圆心为 C(1,3) ,且过点 M(0,2) ; (2)圆心为 C(1,3) ,与直线 x ? y ? 4 相切; (3)以点 A(2,4) 、点 B(-4,2)为两端点的线段 AB 为直径.

C. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 13 D. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 13 2. 点 P(m2 ,5) 与圆的 x2 ? y 2 ? 24 的位置关系是( A.在圆外 C.在圆上 B.在圆内 D.无法确定 ) )

3.圆心在直线 x ? 2 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0, ?4), B(0, ?2) ,则圆 C 的方程为( A. ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 5 C. ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 5 4.圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1的圆心到直线 y ? B. ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 D. ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25

3 x 的距离是( 3

) 11.已知圆 C 过点 A(1, ? 2) , B(?1, 4) ,求: (1)周长最小的圆的标准方程; (2)圆心在直线 2 x ? y ? 4 ? 0 上的圆的方程.

1 A. 2
C .1 5.方程 y ?

3 B. 2
D. 3

4 ? x 2 表示的曲线是(



A.圆 C.四分之一圆

B.半圆 D.直线 . . .

6.圆关于 ( x ? 2)2 ? y2 ? 5 关于原点 (0, 0) 对称的圆的方程是 7.过点 A(2, 4) 向圆 x2 ? y 2 ? 4 所引的切线方程是
2 2

8.已知点 P(5a ? 1, 12a) 在圆 ( x ? 1) ? y ? 1的内部,则 a 的取值范围是
2 2 2 2 9.设 P( x, y) 是圆 x ? ( y ? 4) ? 4 上任意一点,则 ( x ? 1) ? ( y ? 1) 的最大值为




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