必修2 第三章 直线与方程知识点


直线与方程知识点 一、基础知识回顾
1.倾斜角与斜率 知识点 1: 当直线 l 与 x 轴相交时, x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所成的角 ? 叫做直线 l 的倾斜角. 注意: 当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度. 知识点 2:直线的倾斜角 ? (? ? 90?) 的正切值叫做这条直线的斜率.记为 k ? tan ? . 注意: 当直线的倾斜角 ? ? 90? 时,直线的斜率是不存在的
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y2 ? y1 . x2 ? x1 知识点 4:两条直线有斜率且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它 们的斜率相等,则它们平行,即 l1 // l2 ? k1 = k 2 . 知识点 5:两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,则它们的斜率互为负倒数;反之,如果 它们的斜率互为负倒数,则它们互相垂直. 1 即 l1 ? l2 ? k1 ? ? ? k1k2 ? ?1 k2 注意: 1. l1 // l2 ? k1 ? k2 或 l1 , l2 的斜率都不存在且不重合.

知识点 3:已知直线上两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) 的直线的斜率公式: k ?

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2. l1 ? l2 ? k1 ?k2 ? ?1 或 k1 ? 0 且 l2 的斜率不存在,或 k2 ? 0 且 l1 的斜率不存在. 2.直 线 的 方 程 知识点 6:已知直线 l 经过点 P( x0 , y0 ) ,且斜率为 k ,则方程 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 为直线的点斜式方程. 注意: ⑴ x 轴所在直线的方程是 ,y 轴所在直线的方程是 . ⑵经过点 P0 ( x0 , y0 ) 且平行于 x 轴 (即垂直于 y 轴) 的直线方程是 . ⑶经过点 P0 ( x0 , y0 ) 且平行于 y 轴(即垂直于 x 轴)的直线方程是 . 知识点 7: 直线 l 与 y 轴交点 (0, b) 的纵坐标 b 叫做直线 l 在 y 轴上的截距.直线 y ? kx ? b 叫做 直线的斜截式方程. 注意:截距 b 就是函数图象与 y 轴交点的纵坐标. 知识点 8:已知直线上两点 P 1 ( x1 , x2 ), P 2 ( x2 , y2 ) 且 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,则通过这两点的直线方程 y ? y1 x ? x1 为 由于这个直线方程由两点确定, 叫做直线的两点式方程. ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , y2 ? y1 x2 ? x1 知识点 9:已知直线 l 与 x 轴的交点为 A(a,0) ,与 y 轴的交点为 B(0, b) ,其中 a ? 0, b ? 0 ,

x y ? ? 1 ,叫做直线的截距式方程. a b 注意: 直线与 x 轴交点 ( a ,0) 的横坐标 a 叫做直线在 x 轴上的截距; 直线与 y 轴交点 (0, b ) 的纵坐标 b 叫做直线在 y 轴上的截距.
则直线 l 的方程为 知识点 10:关于 x, y 的二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)叫做直线的一般式 方程. 注意: (1)直线一般式能表示平面内的任何一条直线 (2)点 ( x0 , y0 ) 在直线 Ax ? By ? C ? 0 上 ? Ax0 ? By0 ?C ? 0 3、直线的交点坐标与距离 知识点 11: 两直线的交点问题.一般地,将两条直线的方程联立,得方程组 ? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,若方程组有唯一解,则两直线相交;若方程组有无数组解,则两直线 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 重合;若方程组无解,则两直线平行.
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( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 . 知识点 12:已知平面上两点 P 1P 2 ? 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ,则 P

特殊地: P( x, y) 与原点的距离为 OP ? x 2 ? y 2 . 知识点 13:已知点 P( x0 , y0 ) 和直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则点 P 到直线 l 的距离为: . A2 ? B 2 知识点 14:已知两条平行线直线 l1 Ax ? By ? C1 ? 0 ,l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l2 的距离为
A2 ? B 2 知识点 15:巧妙假设直线方程: (1)与 Ax ? By ? C1 ? 0 平行的直线可以假设成: Ax ? By ? C2 ? 0 (C1 和 C2 不相等) (2)与 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线可以假设成:Bx-Ay+m=0 d? C1 ? C2
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d?

Ax0 ? By0 ? C

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(3)过 l1 :A1x+B1y+C1=0 和 l2 : A2x+B2y+C2=0 交点的直线可以假设成 A1x+B1y+C1+ ? (A2x+B2y+C2)=0(该方程不包括直线 l2 : ) 知识点 16: l1 :A1x+B1y+C1=0 和 l2 : A2x+B2y+C2=0 垂直等价于:A1A2+B1B2=0(A1 和 B1 不全为零; A2 和 B2 不全为零;) 知识点 17:中点坐标公式: x ?x y ? y1 . A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 AB 的中点 M ( x, y ) ,则 x ? 2 1 , y ? 2 2 2 例题解析 例 1. 在第一象限的 ?ABC 中, A(1,1), B(5,1) , ?A ? 60O , ?B ? 45O .求 ⑴ AB 边的方程;⑵ AC 和 BC 所在直线的方程.

例 2.点 (3,9) 关于直线 x ? 3 y ? 10 ? 0 对称的点的坐标是( A. (?1, ?3) B. (17, ?9) C. (?1,3) D. (?17,9)

).

思考: (1)点关于点的对称点如何求? (2)线关于点的对称线如何求? (3)线关于线的对称线如何求? 例 3. 求经过直线 3x ? 2 y ? 6 ? 0 和 2x ? 5 y ? 7 ? 0 的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直 线方程.

例 4.方程 (a ? 1) x ? y ? 2a ? 1 ? 0(a ? R) 所表示的直线( A.恒过定点 (?2,3) B.恒过定点 (2,3) C.恒过点 (?2,3) 和 (2,3) D.都是平行直线 例 5.已知直线 l1 : x ? ay ? 2a ? 2 ? 0, l2 : ax ? y ? 1 ?a ? 0 . ⑴若 l1 // l2 ,试求 a 的值; ⑵若 l1 ? l2 ,试求 a 的值

).

例 6 .已知两直线 l1 : ax ? by ? 4 ? 0 , l2 : (a ? 1) x ? y ?b ? 0 ,求分别满足下列条件的 a, b 的值. ⑴直线 l1 过点 (?3, ?1) ,并且直线 l1 与直线 l2 垂直;⑵直线 l1 与直线 l2 平行,并且坐标原点到
l1 , l2 的距离相等.

例 7. 过点 P(4, 2) 作直线 l 分别交 x 轴、 y 轴正半轴于 A, B 两点,当 ?AOB 面积最小时,求 直线 l 的方程.

例 8 点 P(x,y)在 x+y-4=0 上,则 x2+y2 最小值为多少?

巩固练习: 1.已知点 (3, m) 到直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 的距离等于 1,则 m ? (
3 3 D. 3 或 ? 3 3 2.已知 P(3, a) 在过 M (2, ?1) 和 N (?3, 4) 的直线上,则 a ?

).

A. 3

B. ? 3

C. ?

.

3.将直线 y ? ? 3( x ? 2) 绕点 (2,0) 按顺时针方向旋转 30o ,所得的直线方程 是 . 4.两平行直线 l1 , l2 分别过点 P 1 (1,0) 和 P(0,5) , ⑴若 l1 与 l2 的距离为 5,求两直线的方程; ⑵设 l1 与 l2 之间的距离是 d ,求 d 的取值范围。

5.设直线 l 的方程为 (m ? 2) x ? 3 y ? m ,根据下列条件分别求 m 的值.⑴ l 在 x 轴上的截距为 ⑵斜率为 ?1 .

?2 ;

达标测试 一、选择题(每题 3 分,共 36 分) 1.直线 x+6y+2=0 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是( A. 2,



1 3

B. ?2,?

1 3

C. ?

1 ,?3 2

D.-2,-3

2.直线 3x+y+1=0 和直线 6x+2y+1=0 的位置关系是( ) A.重合 B.平行 C.垂直 D.相交但不垂直 3.直线过点 (-3,-2)且在两坐标轴上的截距相等,则这直线方程为( ) (A)2x-3y=0; (B)x+y+5=0; (C)2x-3y=0 或 x+y+5=0 (D)x+y+5 或 x-y+5=0 4.直线 x=3 的倾斜角是( ) A.0 B.

? 2

C.?

D.不存在

5.圆 x2+y2+4x=0 的圆心坐标和半径分别是( ) A.(-2,0),2 B.(-2,0),4 C.(2,0),2 D.(2,0),4 6.点(?1,2)关于直线 y = x ?1 的对称点的坐标是 (A) (3,2) (B) (?3,?2) (C) (?3,2) 7.点(2,1)到直线 3x ?4y + 2 = 0 的距离是
5 25 4 (C) (D) 4 4 25 8.直线 x ? y ? 3 = 0 的倾斜角是( )

(D) (3,?2)

(A)

4 5

(B)

(A)30° (B)45° (C)60° (D)90° 9.与直线 l:3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线的方程为 (A)3x+4y-5=0 (B)3x+4y+5=0 (C)-3x+4y-5=0 (D)-3x+4y+5=0 10.设 a、b、c 分别为?ABC 中?A、?B、?C 对边的边长,则直线 xsinA+ay+c=0 与直 线 bx-ysinB+sinC=0 的位置关系( ) (A)平行; (B)重合; (C)垂直; (D)相交但不垂直

11.直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位,再沿 y 轴正方向平 1 个单位后,又回到原来位置, 那么 l 的斜率为( ) (A)- ;

1 3

(B)-3;

(C) ; )

1 3

(D)3

12.直线 kx ? y ? 1 ? 3k , 当 k 变动时,所有直线都通过定点( (A) (0,0) (C) (3,1) 二、填空题(每题 4 分,共 16 分) 13.直线过原点且倾角的正弦值是 (B) (0,1) (D) (2,1)

4 ,则直线方程为 5

14.直线 mx+ny=1(mn≠0)与两坐标轴围成的三角形面积为 15.如果三条直线 mx+y+3=0,x?y?2=0,2x?y+2=0 不能成为一个三角形三边所在的直线,那么 m 的一个 值是_______. .. 16.已知两条直线 l1:y=x;l2:ax-y=0(a∈R) ,当两直线夹角在(0, a 的取值范围为 三、解答题(共 48 分) 17. ?ABC 中,点 A ?4,?1?, AB 的中点为 M ?3,2 ?, 重心为 P ?4,2 ?, 求边 BC 的长(12 分)

? )变动时,则 12

18.若 a ? N ,又三点 A( a ,0),B(0, a ? 4 ) ,C(1,3)共线,求 a 的值(12 分)

20.若直线 ax ? 2 y ? 6 ? 0 和直线 x ? a(a ? 1) y ? (a ? 1) ? 0 垂直,求 a 的值(12 分)
2

O 21.如图,在 ? ABC 中, ? C=90 ,P 为三角形内的一点,且 S ?PAB ? S ?PBC ? S ?PCA ,求

证:│PA│2+│PB│2=5│PC│2(12 分)


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