高一数学试题(新课标)


高一数学试题【新课标】
第Ⅰ卷 一. 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 个是正确的,把正确选项的代号填在答题卡的指定位置上) 1. 已知集合 M ? {x | A. ? C. {x | x ? 1} 2.函数 y = log
1 2

x ? 0} , N ? { y | y ? 3x 2 ? 1 , x ? R} ,则 M ? N =( ▲ ) x ?1
B. {x | x ? 1} D. {x | x ? 1 或 x ? 0}

( 2 x ? 1 ) 的定义域为( ▲ ) 1 ,1 ] 2

A. (

1 ,+∞) 2

B. [1,+∞ )

C. (

D. (-∞,1)

3.函数 f ( x) ? x ? 4 ? log 2 x 的零点所在的区间是( ▲ ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

4.设函数 f ( x) ? log a | x |, (a ? 0且a ? 1)在( ? ?, 上单调递增,则 f (a ? 1)与f (2) 的大小 0) 关系为( ▲ ) A

f (a ? 1) ? f (2)

B f (a ? 1) ? f (2)

C. f (a ? 1) ? f (2)

D.不确定

5. 一个简单几何体的正视图、侧视图如图,则其俯视图不可能为: ①长方形;②正方形;③圆;④椭圆. 其中正确的是( ▲ ) A.①② B.③④ C.②③ D.①④

6. 已知 x ? y ? 1, x ? 0, y ? 0 ,且 log a (1 ? x) ? m, log a
2 2

1 ? n ,则 log a y 等于( ▲ ) 1? x
D、 m ? n

A、

1 ?m ? n? 2
x

B、
1

1 ?m ? n? 2

C、

m?n

7.设 f ( x) ? a , g ( x) ? x 3 , h( x) ? log a x ,且 a 满足 log a (1 ? a 2 ) ? 0 ,那么当 x ? 1 时必 有( ▲ ) A h( x ) ? g ( x ) ? f ( x ) C f ( x ) ? g ( x ) ? h( x ) 8. 已知 f ( x) ? ? B h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) D f ( x ) ? h( x ) ? g ( x ) 满足对任意 x1 ? x 2 ,都有

?(2 ? a ) x ? 1, ( x ? 1) ?a , ( x ? 1)
x

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 成立,那 x1 ? x 2

么 a 的取值范围是( ▲ )

3 A. [ , 2) 2
5

3 B. (1, ] 2
3

C. (1,2)

D. (1,??)

9. 已知函数 f ( x) ? ? x ? 3 x ? 5 x ? 3 ,若 f (a ) ? f (a ? 2) ? 6 ,则实数 a 的取值范围是 ( ▲ ) A. a ? 1 B. a ? 3 C. a ? 1 D. a ? 3 10.已知函数 f (x) 是定义在实数集 R 上的偶函数,且对任意实数 x 都有 f ? x ? 1? ? 2 f ? x ? ? 1 , 则 f ?2012 ? 的值是( ▲ ) A.1 B. 0 第Ⅱ卷 二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,将答案填写在正确的位置) 11. 已知函数 f ( x) ? ? C. ? 1 D. ? 2

?log 2 x ( x ? 0) 1 ,则 f [ f ( )] 的值是 x ( x ? 0) ?3 4



.

12.已知函数 f ( x) ? a log 2 x ? b log 3 x ? 2 ,若 f ( ▲ .

1 ) ? 4 ,则 f (2012) 的值为 2012

13.已知定义域为 R 的偶函数 f (x) 在区间 [0,??) 上是增函数,若 f (1) ? f (lg x) ,则实数 x 的 取值范围是▲ 14. 函 数 f ( x) ? a x ? x ? ▲ .

1 1 ? 在 (0,1) 上 有 两 个 不 同 的 零 点 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 2 2

15. 已知函数 f ( x) ? ?

?log 5 | x ? 5 |, ( x ? 5) 2 , 若关于 x 的方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有五个不 3, ( x ? 5) ?
▲ .

等实根 x1 , x 2 ,? , x5 ,则 f ( x1 ? x 2 ? ? ? x5 ) ?

三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明与演算步骤) 16.(本小题满分 12 分) 已知集合 A ? {x | 3 ? 3 ? 27} , B ? {x | log 2 x ? 1} .
x

(Ⅰ)分别求 A ? B, (C R B ) ? A ; (Ⅱ)已知集合 C ? x 1 ? x ? a ,若 C ? A ,求实数 a 的取值集合.

?

?

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 y ? (1)求 M ; (2)当 x ? M 时,求函数 f ( x) ? log 2 x ? log 2 ( x 2 ) ? a ? log 2 x 的最大值。

2-x ? 2 x ? 2 的定义域为 M , 2? x

18. (本小题满分 12 分) (1)计算 0.064
? 1 3 3 1 1 ? (? )0 ? 16 4 ? 0.25 2 ? 2 log 3 6 ? log 3 12 ; 8

(2)求不等式 log 0.5 (3 x ? 1) ? 1 的解集.

19. (本小题满分 12 分) 某省两相近重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火 车作为交通车,已知该车每次拖 4 节车厢,一日能来回 16 次,如果每次拖 7 节车厢,则每日 能来回 10 次. (1)若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数,求此一次函数解析式; (2)在(1)的条件下,每节车厢能载乘客 110 人.问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最 多?并求出每天最多运营人数 .

20. (本小题满分 13 分) 定义在 R 上的函数 y ? f ( x), f (0) ? 0 , ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,且对任意的 a, b ? R ,有

f (a ? b) ? f (a ) ? f (b) .
(1)求证:对任意的 x ? R ,恒有 f ( x) ? 0 ; (2)求证: f (x) 是 R 上的增函数;

(3)若 f ( x) ? f (2 x ? x 2 ) ? 1 ,求 x 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2
| x ? m|

和函数 g ( x) ? x | x ? m | ?2m ? 8 .

(1)若 m ? 2 ,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若对任意 x1 ? (??,4] ,均存在 x2 ? [4,+?) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 m 的取 值范围.

参考答案
一、选择题 1—5 BCCBC 二、填空题 11. 6—10 ABAAC

1 9

12.0

13. x ? 10 或 0 ? x ?

1 10

14. 0 ? a ?

1 4

15. 1 ? log 5 4

三、解答题 16. (Ⅰ) A ? {x | 3 ? 3 ? 27} ? {x | 1 ? x ? 3}
x

B ? {x | log 2 x ? 1} ? {x | x ? 2} , A ? B ? {x | 2 ? x ? 3}

?[ R B ? ? A ? {x | x ? 2} ? {x | 1 ? x ? 3} ? {x | x ? 3}
(Ⅱ) ①当 a ? 1 时, C ? ? ,此时 C ? A ; ②当 a ? 1 时, C ? A ,则 1 ? a ? 3 ;

3? 综合①②,可得 a 的取值范围是 ?? ?,
17. 解: (1)函数 y ?

2-x ? 2 x ? 2 有意义,故: 2? x

?( x ? 2)( x ? 2) ? 0 ? x ? 2 ?2?0 ? x ? ?2 解得: x ? [1,2] ?

(2) f ( x) ? 2 log 2 x ? a log 2 x ,令 t ? log 2 x ,
2

可得: g (t ) ? 2t 2 ? at , t ? [0,1] ,讨论对称轴可得: g (t ) max ? ?

? 2 ? a, a ? ?2 ?0 , a ? ?2

18.(1)11

(2) {x |

1 1 ?x? } 3 2

19. 解:(1)设每日来回 y 次,每次挂 x 节车厢,由题意设 y ? kx ? b 当 x ? 4 时, y ? 16 ;当 x ? 7 时, y ? 10 ; 得方程组: ?

?16 ? 4k ? b ?10 ? 7 k ? b
∴ y ? ?2 x ? 24 y=-2x+24

解得: k ? ?2, b ? 24 ;

(2)由题意知,每日所拖挂车厢最多时,营运人数最多,现设每日营运 S 节车厢, 则 S ? xy ? x(?2 x ? 24) ? ?2 x ? 24 x ,
2

所以,当 x ? 6 时, S max ? 72 ;此时 y ? 12 . 所以,每日最多运营人数为 110× 12=7920(人) 6× 20. 解: (1)证明:令 a=b=0,则 f(0)=f 2(0).又 f (0) ? 0 ,∴ f (0) ? 1 . 当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,∴ f (0) ? f ( x) ? f (? x) ? 1 . ∴ f (? x) =

1 >0.又 x≥0 时 f(x)≥1>0,∴ x ? R 时,恒有 f(x)>0. f ( x)

(2)证明:设 x1 ? x 2 ,则 x 2 ? x1 ? 0 .∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)· 1). f(x ∵ x 2 ? x1 ? 0 ,∴f(x2-x1)>1.又 f(x1)>0,∴f(x2-x1)· 1)>f(x1). f(x ∴f(x2)>f(x1).∴f(x)是 R 上的增函数. (3) 由 f ( x) ? f (2 x ? x ) ? 1 , f (0) ? 1 得 f (3 x ? x ) ? f (0) .又 f (x) 是 R 上的增函数, 解:
2 2

0 ? x ? 3.
21. 解:(1) 当 m ? 2 时, f ( x) ? 2
| x ? 2|

在 (2,??) 上单调递增,在 (-?,2) 上单调递减.

? 2 x ? m ( x ? m) ? ,则 f ( x) 的值域应是 g ( x) 的值域的子集. (2) f ( x) ? ? m ? x ? 2 ( x ? m) ?

①当 4 ? m ? 8 时, f ( x) 在 (??,4] 上单调递减,故 f ( x) ? f (4) ? 2m ? 4 , g ( x) 在[4,m]上单调 递减, [m,? ?) 上单调递增,故 g ( x) ? g (m) ? 2m ? 8 ,所以 2m ? 4 ? 2m ? 8 ,解得 4 ? m ? 5 或

6 ? m ? 8.
②当 m ? 8 时, f ( x) 在 (??,4] 上单调递减,故 f ( x) ? f (4) ? 2m ? 4 , g ( x) 在[4,
m ]单调递增, 2

[

m , m ]上单调递减, [m,? ?) 上单调递增, g (4) ? 6m ? 24 ? g (m) ? 2m ? 8 , 2

故 g ( x) ? g (m) ? 2m ? 8 ,所以 2m ? 4 ? 2m ? 8 ,解得 m ? 8 . ③ 0 ? m ? 4 时 , f ( x) 在 (??,m] 上 单 调 递 减 , [ m , 4] 上 单 调 递 增 , 故
f ( x) ? f (m) ? 1 . g ( x) 在 [4,? ?) 上单调递增,故 g ( x) ? g (4) ? 8 ? 2m ,

所以 8 ? 2m ? 1,即

7 ?m?4. 2

④ m ? 0 时, f ( x) 在 (??,m] 上单调递减,[ m ,4]上单调递增,故 f ( x) ? f (m) ? 1 . g ( x) 在
[4,? ?) 上单调递增,故 g ( x) ? g (4) ? 8 ? 2m,所以 8 ? 2m ? 1,即 m ?
7 综上, m 的取值范围是 [ ,5] ? [6, ?) . ? 2 7 (舍去). 2


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