导数在函数研究中的运用


导数在研究函数中的应用

复习引入
1、单调性的步骤:

用导数法确定函数的

(1) 求函数的定义域;(2)求出函数的导函数;

(3)求解不等式f `(x)>0,其解集为单调递增区间;求解不等式 f``(x)<0,其解集为单调递减区间. 2、极值的步骤: (1)确定函数的定义域;(2)求导数f‘(x);(3)求方程f’(x) =0 的全部解;(4)检查f'(x)在f'(x) =0的根左.右两边值的符号,如 果左正右负(或左负右正),那么f(x)在这个根取得极大值或极小值
3、最值的步骤: (1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值); (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其中最大的一 个为最大值,最小的一个最小值.

3 2 f ( x ) ? ? x ? 3 x ? 9 x ? a, 例1:已知函数

(1)求f ( x ) 的单调减区间 (2)若f ( x ) 在区间[?2, 2] 上的最大值为 20 , 求该区间上的最小值
2 ? (1) f ( x ) ? ? 3 x ? 6x ? 9 解: 令f ?( x ) ? 0 即 ? 3 x 2 ? 6 x ? 9 ? 0

解得:x ? ?1或x ? 3 (3, ??) 所以函数的单调减区间为 (??, ?1),

2 ? (2) f ( x) ? ?3 x ? 6 x ? 9

令 f ?( x ) ? 0 解得 x ? ?1或x ? 3 (舍去) 当 x 变化时,y?, y 的变化情况如下表:

x ? 2 (?2, ?1) f ?( x ) ﹣
f ( x) 2 ? a


?1

0 极小值? 5 ? a

( ?1, 2) ?

2

↗ 22 ? a

?5 ? a 所以函数的最大值为 f (2) ? 22 ? a ,最小值为
? 22 ? a ? 20

即a ? ?2

最小值为 ?5 ? 2 ? ?7

例2、已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在点 x0 处取得 y ? f '( x) 的图像(如图)过点(1,0), 极大值5,其导函数 (2,0), 求:(1) x0 的值;(2)a,b,c的值;
3 2

略解: (1)由图像可知: x0
/ 2

?1

(a ? 0) (2) f ( x)=3ax ? 2bx ? c  
? f (1) ? a ? b ? c ? 5 ?a ? 2 ? / ? ? f (1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 ? ?b ? ?9 ? f / (2) ? 12a ? 4b ? c= ?c ? 12 0 ? ?
? f (1) ? a ? b ? c ? 5 ? 2b ? - ?3 或? 3a ? c ? ?2 3a ?

.

数形结合以及函数与方程思想的应用

函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? a 2在 x ? 1 时有极值10,则a, 练习: C b的值为( ) A、 a ? 3, b ? ?3 或 a ? ?4, b ? 11 B、 a ? ?4, b ? 1 或 a ? ?4, b ? 11 C、a ? ?4, b ? 11 D、 以上都不对


f (1) ? 10 解:由题设条件得:? ? / ? f (1) ? 0

解之得

? a ? 3 ? a ? ?4 或? ? ?b ? ?3 ? b ? 11

?1 ? a ? b ? a 2 ? 10 ?? ? 3 ? 2a ? b ? 0

注意代 入检验

注意:f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件

例3、设函数f(x)=lnx-2ax. (1)若函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线为直线l,且直线

l与圆(x+1)2+y2=1相切,求a的值;
(2)当a>0时,求函数f(x)的单调区间. 解:(1)依题意有, f ? ? x ?= 1 -2a.
x

因此y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1-2a, 又f(1)=-2a,y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y+2a=(1-2a)(x-1).即(2a-1)x+y+1=0 又已知圆的圆心为(-1,0),半径为1,

1 1 - 2a + 1 依题意, 解得 a= . =1, 2 2 2a - 1 ? ? +1

例3、设函数f(x)=lnx-2ax. (1)若函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线为直线l,且直线

l与圆(x+1)2+y2=1相切,求a的值;
(2)当a>0时,求函数f(x)的单调区间. (2)由题意知f(x)=lnx-2ax的定义域为(0,+∞),

又知 f ? ? x ?= -2a

1 所以在 x ? (0, )时,f(x)=lnx-2ax是增函数; 2a 在 x ? ( 1 ,+?) 时,f(x)=lnx-2ax是减函数.
2a

1 x

,又a>0,x>0,令

1 -2a ? 0,则1-2ax ? 0 x

1 所以当a>0时,函数f(x)的单调增区间是 (0, ), 2a
1 函数f(x)的单调减区间是 ( ,+?). 2a

例4、已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在 x ? ? 2 与x=1处都取
3

得极值.(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间. (2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立, 求c的取值范围.
解:(1)f′(x)=3x2+2ax+b,由题意得
2 12 4 ? f ? ( ? ) ? ? a ? b ? 0, ? a ? ? 1 , b ? ?2, ? 3 9 3 ? 2 ?f ? ?1? ? 3 ? 2a ? b ? 0 ?

∴f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1), y′y随x的变化情况如下表:

所以函数f(x)的单调递增区间是 (??, ? 2 ) 与(1,+∞),单调递 3 2 减区间是( ? ,; 1) 3 (2) f ? x ? ? x 3 ? 1 x 2 ? 2x ? c,x ? [ ? 1, 2] ,
2



2 2 22 x ? ? 时,f (? ) ? ? c为极大值,而 f ? 2 ? ? 2 ? c ? f ( ? 2 ), 3 3 27 3

所以f(2)=2+c为最大值,要使f(x)<c2,x∈[-1,2]恒成立, 则只需要c2>f(2)=2+c,得c<-1或c>2.

本例中,把条件“f(x)<c2恒成立”改为“f(x)≥c2恒成立”,
求c的取值范围.

解:f(x)≥c2恒成立 ? f ? x ?

min

由例题的解答及. ? c 2,

3 1 3 f (1) ? ? ? c,f ? ?1? ? ? c知,f ? x ?min ? f ?1? ? ? ? c, 2 2 2

所以

3 ? ? c ? c 2, 2

无解,∴c∈ ?

例5、已知函数 f ? x ? ? lnx ? a ,(1)当a<0时,求函数f(x)的单调区

3 间;(2)若函数f(x)在[1,e]上的最小值是 , 求a的值. 2

x

解:函数 f ? x ? ? lnx ? a 的定义域为(0,+∞),f ? ? x ? ? 1 ? a ? x ? a x x x2 x2 (1)∵a<0,∴f′(x)>0,故函数在(0,+∞)上是单调递增的.

(2)在[1,e]上,分如下情况讨论: ①当a<1时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,其最小值为 f(1)=
3 a<1,这与函数在[1,e]上的最小值是 2

相矛盾;

②当a=1时,函数f(x)在(1,e]上单调递增,其最小值为 f(1) =1,同样与最小值是
3 2

相矛盾;

例5、已知函数 f ? x ? ? lnx ? a ,(1)当a<0时,求函数f(x)的单调区

3 间;(2)若函数f(x)在[1,e]上的最小值是 , 求a的值. 2

x

③当1<a<e时,函数f(x)在[1,a)上有f′(x)<0,单调递减,在 (a,e]上有f′(x)>0,单调递增,所以函数f(x)满足最小 值为 f ? a ? ? lna ? 1,由lna ? 1 ? 3 ,得a ? e.
2

④当a=e时,函数f(x)在[1,e)上有f′(x)<0,单调递减,其最 小值为f(e)=2,还与最小值是
3 2

相矛盾;

⑤当a>e时,显然函数f(x)在[1,e]上单调递减,其最小值为
3 a f ? e ? ? 1 ? ? 2, 仍与最小值是 2 相矛盾; e

综上所述,a的值为

e.

2 练习1:已知a为实数, f ( x ) ? ( x ? 4)( x ? a ) (Ⅰ)求导数 f ?( x ); (Ⅱ)若 f ?(?1) ? 0 ,求 f ( x ) 在 [-2 , 2] 上的最大值 和最小值; (Ⅲ)若 f ( x )在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是递增 的,求a的取值范围.

2、已知函数f ( x) ? 2 x3 ? 6 x 2 ? a在 ? ?2, 2? 上有最小值 ? 37

?1? 求实数a的值; 2? 上的最大值. ? 2 ? 求f ( x)在? ?2,


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