高一人教版数学必修一二三四总结


数学学习报告
必修一 第一章集合与函数概念
一、集合有关概念 1.集合的中元素的三个特性: (1)确定性;(2)互异性;(3)无序性 2.自然数集 N;正整数集 N*或 N+ ;整数集 Z;有理数集 Q;实数集 二、集合间的基本关系结论: ①任何一个集合是它本身的子集。A ? A ②真子集:如果 A ? B,且 B ? A 那就说集合 A 是集合 B 的真子集, 记作 A ? B(或 B ? A) ③如果 A ? B, B ? C ,那么 A ? C ④如果 A ? B,同时 B ? A 那么 A=B ⑤空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1.交集与并集的性质:A∩A = A A∩φ = φ A∪A = A A∪φ = A 2.全集与补集 四、函数的有关概念 1.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 2.函数图象 (1)定义:y=f(x),(x ∈A)的图象. (2)画法:a.描点法 b.图象变换法(常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换) b.利用数形结合的方法分析解题的思路 A∩B = B∩A A∪B = B∪A R

(3)作用:a.直观的看出函数的性质 3.了解区间的概念

(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示. 4.映射与函数的区别 映射 f:A→B,B 中元素可以没有原象,而函数不行.

补充一:分段函数

(参见课本 P24-25)

(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数; (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.

补充二:复合函数 如果 y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。 例如: y=2sinx y=2cos(2x+1)

7.函数单调性 函数单调区间与单调性的判定方法 ①定义法:a.任取 a,b∈D,且 a<b b.作差 f(a)-f(b) c.变形(通常是因式分解和配方) d.定号(即判断差 f(a)-f(b)的正负) e.下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) ②图象法(从图象上看升降) ③复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关 8.函数的奇偶性(定义域关于原点对称) 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 a. 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称 b. 确定 f(-x)与 f(x)的关系 c. 作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 9.函数的解析表达式 (1)一求出它们之间的对应法则,二求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: a.待定系数法(已知函数解析式的构造) b.换元法(复合函数 f[g(x)]的表达式,这时要注意元的取值范围) c.消参法,解方程组(已知抽象函数表达式) d.当已知表达式较简单时,也可用凑配法. 10.函数最大(小)值 (1)利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值. (2)利用图象求函数的最大(小)值 (3)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区 间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b);如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单 调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b);

第二章 基本初等函数
一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1,且 n ∈ N .
*

当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数.

a 的 n 次方根用符号 n a 表示.式子 n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.
当 n 是偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数互为相反数. 正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号- n a 表示. 由此可得:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。
a (a ? 0) n 注意:当 n 是奇数时, n a ? a ,当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? ? ?? a (a ? 0)

2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:

a ? a (a ? 0, m, n ? N , n ? 1) , a
n m *

m n

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质
r r r ?s (1) a · a ? a (a ? 0, r , s ? R) ;

(2) (a ) ? a
r s r

rs

(a ? 0, r , s ? R) ;
s

(3) (ab) ? a a (a ? 0, r , s ? R) .
r

(二)指数函数及其性质 1.指数函数的概念:一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数. 其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2.指数函数的图象和性质 a>1
6

0<a<1
6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

图象特征

函数性质

a ?1

0 ? a ?1

a ?1
函数的定义域为 R 非奇非偶函数 函数的值域为 R
+

0 ? a ?1

向 x、y 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点(0,1) 自左向右 看, 图象逐渐 上升 在第一象 限内的图象纵 坐标都大于 1 在第二象 限内的图象纵 坐标都小于 1 图象上升 趋势是越来越 陡 自左向右 看, 图象逐渐 下降 在第一象 限内的图象纵 坐标都小于 1 在第二象 限内的图象纵 坐标都大于 1 图象上升 趋势是越来越 缓

a0 ? 1

增函数

减函数

x ? 0, a x ? 1

x ? 0, a x ? 1

x ? 0, a x ? 1
函数值开 始增长较慢, 到 了某一值后增 长速度极快;

x ? 0, a x ? 1
函数值开 始减小极快, 到 了某一值后减 小速度较慢;

利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上, f (x) ? a (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ;
x

(2)若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f (x) ? a (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ;
x

(4)当 a ? 1 时,若 x1 ? x 2 ,则 f ( x 1 ) ? f (x 2 ) ;

二、对数函数 (一)对数 对数的概念:一般地,如果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 .a 为底 ..N 的对数. 记作: x ? loga N ( a — 底数, N — 真数, loga N — 对数式) 1 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ;○ 2 a x ? N ? loga N ? x ; ○ 3 注意对数的书写格式. ○ 1 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; 两个重要对数:○ 2 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N . ○

(二)对数函数 1.对数函数的概念:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数 其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) . 2.对数函数的性质: a>1
3 2.5 2

0<a<1
3 2.5 2

1.5

1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

图象特征

函数性质

a ?1

0 ? a ?1

a ?1
非奇非偶函数 函数的值域为 R

0 ? a ?1

函数图象都在 y 轴右侧 图象关于原点和 y 轴不对称 向 y 轴正负方向无限延伸 函数图象都过定点(1,0) 自左向 右看, 图象逐 渐上升 第一象 限的图象纵 坐标都大于 0 第二象 限的图象纵 坐标都小于 0 自左向 右看, 图象逐 渐下降 第一象 限的图象纵 坐标都大于 0 第二象 限的图象纵 坐标都小于 0

函数的定义域为(0,+∞)

loga 1 ? 0

增函数

减函数

x ? 1, loga x ? 0

0 ? x ? 1, loga x ? 0

0 ? x ? 1, loga x ? 0

x ? 1, loga x ? 0

(三)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: (1)loga (M · N ) ? loga M + loga N ; (2)

log a

M ? loga M - loga N ; (3) loga M n ? n loga M N

(n ? R) .

注意:换底公式 loga b ?

logc b ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ) . logc a

利用换底公式推导下面的结论
n (1) log a m b ?

n log a b ; m

(2) loga b ? 三、幂函数

1 . logb a

1.幂函数定义:一般地,形如 y ? x ? (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数. 2.幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (2)? ? 0 时, 幂函数的图象通过原点, 并且在区间 [0,??) 上是增函数. 特别地, 当 ? ? 1 时, 幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (3)? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原 点时, 图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴, 当 x 趋于 ? ? 时, 图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴 正半轴.

第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点 1.函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标叫做零点 2.函数零点的意义:函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点 3.函数零点的求法: 1 (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ○ 2 (几何法)将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来,利用函数的性质找出零点. ○

必修三 第一章算法初步
一、算法特点: ①有限性②确定性③顺序性与正确性④不唯一性⑤普遍性 二、程序框图 构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 起止框 功能 表示一个算法的起始和结束,是任何流程图不 可少的。 表示一个算法输入和输出的信息,可用在算法 中任何需要输入、输出的位置。 赋值、计算,算法中处理数据需要的算式、公 式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。 判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明 “是”或“Y” ;不成立时标明“否”或“N” 。

输入、输出框

处理框 判断框 三、算法的三种基本逻辑结构 1.顺序结构 2.条件结构 3.循环结构 四、输入、输出语句和赋值语句

1.输入语句{一般格式:INPUT+提示内容;变量} 2.输出语句{一般格式:PRINT+提示内容;表达式} 3.赋值语句{一般格式:变量=表达式} 1 对于一个变量可以多次赋值 ○ ②赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量 ③赋值语句中的“=”称作赋值号,与数学中的等号的意义是不同的 ④赋值号的左右两边不能对换.如“A=B” “B=A”的含义运行结果是不同的

五、条件语句 条件语句的一般格式有两种 1.IF THEN ELSE 六、循环语句 循环结构是由循环语句来实现的,有当型(WHILE 型)和直到型(UNTIL 型)两种语句结构。 1.WHILE 循环体 WEND 七、辗转相除法与更相减损术 1.辗转相除法 用较大的数 m 除以较小的数 n,接着把较小的数与所得的余数相除,继续这个操作,直到所得的余 数为 0.则最后这个除数就是所求的最大公约数。 2.更相减损术 ①任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用 2 约简;若不是,执行第二步。 ②以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。继续这个操 作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。 八、秦九韶算法 f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0 求值问题 f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0 =( anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0 =(( anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0 =...... =(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0 求多项式的值时 ①首先计算最内层括号内依次多项式的值,即 v1=anx+an-1 ②然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v2=v1x+an-2 ,v3=v2x+an-3 这样,把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个一次多项式的值的问题。 九、进位制(P40) 概念:进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个 数称为基数,基数为 n,即可称 n 进位制. ...... vn=vn-1x+a0 条件 2.DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 条件 语句一 语句二 2.IF THEN END IF 条件 语句

第二章 统计
一、简单随机抽样 1.总体和样本 ①在统计学中,把研究对象的全体叫做总体 ②把每个研究对象叫做个体 ③把总体中个体的总数叫做总体容量 ④把个体的个数称为样本容量 2.简单随机抽样常用的方法 ①抽签法②随机数表法③计算机模拟法④使用统计软件直接抽取 3.在简单随机抽样的样本容量设计中,主要考虑: ①总体变异情况②允许误差范围③概率保证程度 二、系统抽样(等距抽样或机械抽样) ①把总体的单位进行排序 ②计算出抽样距离 ③按照这一固定的抽样距离抽取样本 ④第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取 K (抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模) 三、分层抽样(类型抽样)两种方法: 1.先以分层变量将总体划分为若干层,再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。 2.先以分层变量将总体划分为若干层, 再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列, 最后用系统抽样 的方法抽取样本。 分层的比例问题:抽样比=

样本容量 各层样本容量 ? 个体容量 各层个体容量
各自特点 相互关系 适用范围 总体中的个体 数较少 再起时部分抽样时采用 简单随机抽样 各层抽样时采用简单随 机抽样 总体中的个数 较多 总体由差异明 显的几部分组 成

类别 简单随机 抽样 系统抽样 分成抽样

共同点 抽样过程中 每个个体被 抽取的机会 相等

从总体中逐个抽取 将总体均匀分成几部分,按事 先确定的规则在各部分抽取 经总体分成几层,分层进行抽 取

四、用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)样本均值: x ?

x1 ? x2 ? ? ? xn n
s2 ? ( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 n

(2)样本标准差: s ?

(3)众数:在样本数据中,频率分布最大值所对应的样本数据(可以是多个) 。 (4)中位数:在样本数据中,累计频率为 1.5 时所对应的样本数据值(只有一个) 。 注意: ①如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数,标准差不变 ②如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数 k,标准差变为原来的 k 倍 五、用样本的频率分布估计总体分布 1.频率分布表与频率分布直方图 第一步:求极差,即计算最大值与最小值的差 第二步:决定组距和组数,组距应最好“取整” ,它与 极差 有关
组距

(1)组数的“取舍”不依据四舍五入,而是当 极差 不是整数时,组数=[ 极差 ]+1
组距

组距

(2)频率分布折线图 :连接频率分布直方图中各个小长方形上端的重点,就得到频率分布折线图 (3)总体密度曲线:总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比 2.茎叶图优点: (P70) 其一,从统计图上没有信息的损失,所有的信息都可以从这个茎叶图中得到 其二,茎叶图可以在比赛时随时记录,方便记录与表示.但茎叶图只能表示两位的整数 六、回归直线方程:

x
y

x1

。。。

xn

y1

。。。

yn
所要求的回归直线方程为: y ? b x ? a ,其中,
? ?

是待

定的系数。

x

x1

。。。

xn

(2) 回归直线过的样本中心点 ( x , y )

y

y1

。。。

yn

第三章 概率
一、频率与概率的区别 概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小 频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 二、互斥事件与对立事件的区别 若事件 A 与 B 为互斥事件,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件 对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件 三、基本事件 1.基本事件:基本事件是在一次试验中所有可能发生的基本结果中的一个,它是试验中不能再分 的最简单的随机事件。 2.基本事件的特点:①任何两个基本事件是互斥的 ②任何事件(除不可能事件外)都可以表示成基本事件的和。 四、古典概型: 1.古典概型的特点 ①所有基本事件必须是有限个 ②试验结果的有限性和所有结果的等可能性 2.古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数; ②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 p( A) ? 五、几何概型 1.几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则 称这样的概率模型为几何概率模型; 2.几何概型的概率公式: p( A) ? 3.几何概型的特点 ①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个 ②每个基本事件出现的可能性相等

A所包含的基本事件的个数 总的基本事件个数

构成事件A的区域长度(面积或体 积) 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

概率为 1 的事件不一定为必然事件;概率为 0 的事件不一定为不可能事件。

必修四 第一章三角函数(初等函数二)
一、与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ? 二、已知 ? 是第几象限角,确定 1.把各象限均分 n 等份 2.从 x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号 即为

?

?

?
n

? n ? ? ? 所在象限的方法:
*

? 终边所落在的区域. n
l . r

三、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? 四、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ? ? 五、若扇形的圆心角为 ?

? ? 180 ? ? ? 57.3 , 1 ? 180 , ? ? ?

??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S

1 1 l ? r ? , C ? 2r ? l , S ? lr ? ? r 2 . 2 2
六、同角三角函数的基本关系:

?1? sin2 ? ? cos2 ? ? 1
? 2?
sin ? ? tan ? cos ?

? sin

2

? ? 1 ? cos 2 ? , cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

七、三角函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

? 6 ? sin ? ?

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.

八、函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0 ? 的性质 ①振幅: ? ;②周期: ? ?

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? . ? 2?

函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ①当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;②当 x ? x2 时,取得最大值为 ymax ;③ ? ? ④? ?

1 ? ? ymax ? ymin ? ;⑤ ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? 2 2
y ? cos x

1 ? ymax ? ymin ? 2

九、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 函 质 图 象 数

y ? sin x

y ? tan x

定 义域 周 期性 奇 偶性

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

2?
奇函数

2?
偶函数

?
奇函数

第二章 平面向量
一、向量加法运算: ⑴三角形法则;⑵平行四边形法则;⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b . ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ;②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a . ⑸坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 二、向量减法运算:共起点,连终点,方向指向被减向量,AB-AC=BC. 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 三、向量数乘运算:

?

?

?

?

⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ⑵运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b . ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? . 四、向量共线定理:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、 b b ? 0 共线. 五、分点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点, ?1 、 ?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? , 当 ?1? ? ? ??2 时,点 ? 的坐标是 ? 六、平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 . a ? b ? a b .零向量与任一向量的数量积为 0 . ⑵坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 .

?

?

?

?

? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? , ?. 1? ? ? ? 1? ?

?

?

a ? a ? a2 ? a 或 a ? a ? a .
2 2 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x ? y ,或 a ? 2

2

x2 ? y 2 .

设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 . 设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则

cos ? ?

a ?b a b

?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 x2 ? y2

第三章 三角恒等变换
一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1? tan ? tan ? ? ) . 1 ? tan ? tan ?

⑹ tan ?? ? ? ? ?

二、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ⑵ cos 2? ? cos
2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?( cos 2 ? ?

cos 2? ? 1 1 ? cos 2? sin 2 ? ? , ) . 2 2

⑶ tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?
?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

三、 ? sin ? ? ? cos ? ?

? . ?

必修 5 第一章解三角形
一、正弦定理:

a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C
a?b?c a b c ? ? ? sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C

变形公式:① a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ②

{对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况} 如:在三角形 ABC 中,已知 a、b、A,求 B 当 A 为锐角时, 当 a<bsinA,则 B 无解 当 a=bsinA 或 a≥b 时,B 有一解 当 bsinA<a<b,则 B 有两解 当 A 为直角或钝角时, 当 a≤b,则 B 无解 当 a>b,则 B 有一解 二、三角形面积公式: S???C

1 1 1 ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 三、余弦定理:在 ??? C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? , b ? a ? c ? 2ac cos ? , c ? a ? b ? 2ab cos C .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 推理: cos ? ? b ? c ? a , cos ? ? a ? c ? b , cos C ? a ? b ? c .

2bc

2ac

2ab

四、如何判断三角形的形状:设 a 、 b 、 c 是 ??? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则: ①若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;
2 2 2

②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;
2 2 2

③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 .
2 2 2

附:三角形的五个“心” ; 重心:三角形三条中线交点.

外心:三角形三边垂直平分线相交于一点.

内心:三角形三内角的平分线相交于一点.

垂心:三角形三边上的高相交于一点

旁心:三角形旁切圆的圆心

第二章 数列
一、数列分类:有穷数列、无穷数列;递增数列、递减数列、常数列、摆动数列 二、等差数列公式:若等差数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公差是 d ,则 an {等差中项:若 b ?

? a1 ? ? n ?1? d

a?c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项} 2

{通项公式的变形:① an

? am ? ? n ? m? d ;② a1 ? an ? ? n ?1? d ;③ d ?
a ?a an ? a1 ? 1 ;⑤ d ? n m . } n?m d

an ? a1 n ?1

④n ?

等差数列的前 n 项和的公式:① Sn ? 三、等差数列性质

n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? ;② Sn ? na1 ? d .③ sn ? a1 ? a2 ? 2 2

? an

1.若 ?an ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ,则 am ? an 2. 等差数列公式 S n ? An 2 ? Bn ? ? ?n 2 ?? a 1 ?
? ?d ? ?2? ? d? ?n 2?

? ap ? aq

等差数列的前 n 项和公式 四、等比数列:

an ?1 ? q (注:①等比数列中不会出现值为 0 的项;②同号位上的值同号) an

等比数列通项公式:若等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1q n?1 . {等比中项:若 a/G=G/b,则称 G 为 a、b 的等比中项,即由 a , G , b ? G ? ab }
2

{通项公式的变形:① an

? amqn?m ;② a1 ? an q?? n?1? ;

③ q n ?1 ?

a n?m an ? n . ;④ q } am a1

?na1 ? q ? 1? ? 等比数列 ?an ? 的前 n 项和公式① Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q ② sn 1 n ? q ? 1 ? ? ? 1? q ? 1? q
五、等比数列性质

? a1 ? a2 ? ? an

1.若 ?an ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq 2.对任意的数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系: a n ? ?

?s1 ? a1 (n ? 1) ?s n ? s n ?1 (n ? 2)

3.非零 常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,则不可能有等比数列) .. 几种常见的数列的思想方法 1.等差数列的前 n 项和为 S n ,在 d<0 时,有最大值. 确定使 S n 取最大值时的 n 值,有两种方法: 一是求使 a n ? 0, a n ?1 ? 0 ,成立的 n 值;二是由 S n ? 数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下: 数列 等差数列 数) 等比数列 (指数型函数) 通项公式 对应函数 ( 时为一次函
d 2 d n ? (a1 ? )n 利用二次函数的性质求 n 的值. 2 2

数列 等差数列

前 n 项和公式

对应函数 ( 时为二次函数)

等比数列 (指数型函数)

例题:1、等差数列 {an } 中 an ? m, am ? n , (n ? m) 则 an? m ?

.

分析:因为 {an } 是等差数列,所以 an 是关于 n 的一次函数,一次函数图像是一条直线,则 (n,m) ,(m,n), (n ? m, an?m ) 三点共线, 所以利用每两点形成直线斜率相等, 即 得 an? m ? 0 (图像如上) ,这里利用等差

an?m ? n n?m , ? m ? n (n ? m) ? m

数列通项公式与一次函数的对应关系,并结合图像,直观、简洁。 例题:2、等差数列 {an } 中, a1 ? 25 ,前 n 项和为 Sn ,若 S 9 ? S17 ,n 为何值时 Sn 最大? 分析:等差数列前 n 项和 Sn 可以看成关于 n 的二次函数 S n ?

d 2 d n ? (a1 ? )n 2 2

d 2 d n ? (a1 ? )n 上的离散点,根据题意, S 9 ? S17 , 2 2 9 ? 17 ? 13 ,即当 则因为欲求 Sn 最大值,故其对应二次函数图像开口向下,并且对称轴为 x ? 2
是抛物线 f (n) ?

n ? 13 时, Sn 最大。
例题:3 递增数列 {an } ,对任意正整数 n, an ? n 2 ? ?n 恒成立,求 ? 分析: 1) 构造一次函数,由数列 {an } 递增得到: an?1 ? an ? 0 对于一切 恒成立,所以 ? ? ?(2n ? 1) 对一切 恒成立,即

恒成立,设 f (n) ? ?(2n ? 1) ,则只需求出

f (n) 的最大值即可,显然 f (n) 有最大值 f (1) ? ?3 ,所以 ? 的取值范围是: ? ? ?3 。
2)构造二次函数, 为是递增数列,即函数 看成函数 ,它的定义域是 ,抛物线对称轴 ,因 ,因

为递增函数,单调增区间为

为函数 f(x)为离散函数,要函数单调递增,就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看,对称轴 在 于是, 的左侧,也可以(如图) ,因为此时 B 点比 A 点高。 ,得

2.如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积, 求此数列前 n 项和可依照等比数列
1 1 1 前 n 项和的推倒导方法:错位相减求和. 例如: 1? ,3 ,...( 2n ? 1) n ,... 2 4 2

3.两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同 项,公差是两个数列公差 d1,d 2 的最小公倍数. 4.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法: (1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 a n ? a n ?1 ( (2)通项公式法 (3)中项公式法:验证 2an?1 ? an ? an?2 (an?1 ? an an?2 )n ? N 都成立。
2

an ) 为同一常数。 an?1

5. 在等差数列{ an }中,有关 Sn 的最值问题:(1)当 a1 >0,d<0 时,满足 ?

?am ? 0 的项数 m 使得 s m 取 ?am?1 ? 0

最大值. (2)当 a1 <0,d>0 时,满足 ? 时,注意转化思想的应用。 数列求和的常用方法

?am ? 0 的项数 m 使得 s m 取最小值。在解含绝对值的数列最值问题 a ? 0 ? m?1

1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于 ?

?

c ? ? 其中{ an }是各项不为 0 的等差数列,c 为常数 ? an an?1 ?
1 ,求这个数列的前 n 项和 Sn. n(n ? 1)

例题:已知数列{an}的通项为 an=

解:观察后发现:an=

1 1 ? n n ?1

sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an


1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) 2 2 3 n n ?1 1 ? 1? n ?1

3.错位相减法:适用于 ?an bn ?其中{ an }是等差数列, ?bn ? 是各项不为 0 的等比数列。 例题:已知数列{an}的通项公式为 an ? n ? 2n ,求这个数列的前 n 项之和 s n 。 解:由题设得:

sn ? a1 ? a2 ? a3 ???? ? an
= 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ??? ? n ? 2
1 2 3 n

即 s n = 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ??? ? n ? 2
1 2 3

n



把①式两边同乘 2 后得

2 sn = 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ??? ? n ? 2n?1
用①-②,即:



s n = 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ??? ? n ? 2n 2 sn = 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ??? ? n ? 2n?1


① ②

? sn ? 1? 2 ? 22 ? 23 ? ??? ? 2n ? n ? 2n ?1 2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 1? 2 ? 2n ?1 ? 2 ? n ? 2n ?1 ? ? (1 ? n)2n ?1 ? 2
∴ sn ? (n ?1)2n?1 ? 2 4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法. 5.常用结论 1): 1+2+3+...+n =

n( n ? 1) 2
2

2) 1+3+5+...+(2n-1) = n

2

?1 ? 3) 1 ? 2 ? ? ? n ? ? n(n ? 1)? ?2 ?
3 3 3

4) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2 2 2 2

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

5)

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

6)

1 1 1 1 ? ( ? ) ( p ? q) pq q ? p p q

第三章 不等式
一、不等式的性质: a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . ① a ? b ? b ? a ;② a ? b, b ? c ? a ? c ;③ a ? b ? a ? c ? b ? c ; ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑦ a ? b ? 0 ? a ? b
n n

? n ??, n ? 1? ;

⑧ a ? b ? 0 ? n a ? n b ? n ? ?, n ? 1? . 二、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 整式不等式(高次不等式)的解法 穿根法(零点分段法) 求解不等式: a0 x n ? a1 x n?1 ? a2 x n?2 ? ?? an ? 0(? 0)(a0 ? 0) 解法:①将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)?(x-xm)>0(<0)形式,并将各因式 x 的系数化“+” ②求根,并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来; ③由右上方穿线(即从右向左、从上往下:偶次根穿而不过,奇次根一穿而过) ,经过数轴

上表示各根的点(为什么?) ; ④若不等式 (x 的系数化 “+” 后) 是 “>0” ,则找 “线” 在 x 轴上方的区间; 若不等式是 “<0” , 则找“线”在 x 轴下方的区间.

+ X1 (自右向左正负相间) 例题:求解不等式

+ — X2 — X3 Xn-2

+ Xn-1 — — Xn

+ X

( x ? 1)( x ? 2)( x ? 5) ? 0 的解集。 ( x ? 6)( x ? 4)

例题:求不等式 x ? 3x ? 6 x ? 8 ? 0 的解集。
2 2

解:将原不等式因式分解为: ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 4) ? 0 由方程: ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 4) ? 0 解得 x1 ? ?2, x2 ? 1, x3 ? 4 将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来,如图 + + 1

?

-2

?

4

x

由图可看出不等式 x ? 3x ? 6 x ? 8 ? 0 的解集为:
2 2

?x | ?2 ? x ? 1, 或x ? 4?
一元二次不等式的求解: ① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论; ②一元二次不等式 ax +bx+c>0(a>0)解的讨论.
2

??0
二次函数

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图 象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0?的根

ax ? bx ? c ? 0
2

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
? ?

R

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x

1

? x ?x 2 ?

对于 a<0 的不等式可以先把 a 化为正后用上表来做即可。 分式不等式的解法 1)标准化:移项通分化为

f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) >0(或 <0); ≥0(或 ≤0)的形式, g ( x) g ( x) g ( x) g ( x)

2)转化为整式不等式(组)

f ( x) f ( x) f ( x) g ( x) ? 0 ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0; ?0?? ? g ( x) ? 0 ? g ( x) g ( x)

例题:求解不等式:

1 ? ?1 x

例题:求不等式

x ? 1 的解集。 x ?1

含绝对值不等式的解法: 基本形式: ①型如:|x|<a ②型如:|x|>a {变型: (a>0) 的不等式 的解集为: ?x | ?a ? x ? a? (a>0) 的不等式 的解集为: x | x ? ?a, 或x ? a

?

?

| ax ? b |? c(c ? 0)型的不等式的解集可以由?x | ?c ? ax ? b ? c? 解得
其中-c<ax+b<c 等价于不等式组 ?

?ax ? b ? c ,在解-c<ax+b<c 得注意 a 的符号 ?ax ? b ? ?c

} ax ? b ? c(c ? 0) 型的不等式的解法可以由 ?x | ax ? b ? c, 或ax ? b ? ?c? 来解。 ③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式:用“零点分区间法”分类讨论来解. ④绝对值不等式解法中常用几何法:即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.

例题:求解不等式 | x ? 2 |? 1

例题:求解不等式: | x ? 2 | ? | x ? 3 |? 10 解:零点分类讨论法: 分别令 x ? 2 ? 0和x ? 3 ? 0 ?3 解得: x ? ?3和x ? 2 在数轴上,-3 和 2 就把数轴分成了三部分,如右上图 ①当 x ? ?3 时, (去绝对值符号)原不等式化为: 2 x

11 ? ??( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 10 11 ?x ? ? ?? 2 ? ? ? x ? ?3 ? 2 ? x ? ?3 ? ? x ? ?3
②当 ?3 ? x ? 2 时, (去绝对值符号)原不等式化为:

??3 ? x ? 2 ??3 ? x ? 2 ?? ? ?3 ? x ? 2 ? ??( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 10 ? x ? R
③当 x ? 2 时, (去绝对值符号)原不等式化为:

?x ? 2 ?x ? 2 9 ? ?? 9 ?2? x? ? 2 ?( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 10 ? x ? ? 2
由①②③得原不等式的解集为: ? x | ? 函数图像法: 令 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 3 |

? ?

11 9? ? x ? ? (注:是把①②③的解集并在一起) 2 2?
y

??2 x ? 1 ( x ? ?3) ? ? 则有: f ( x) ? ?5 (?3 ? x ? 2) ? 2 x ? 1 ( x ? 2) ? ?
在直角坐标系中作出此分段函数及 f ( x) ? 10 的图像如图 由图像可知原不等式的解集为: ? x | ?

f ( x) =10
5

?

11 ?3 2

o

2

9 2

x

? ?

11 9? ?x? ? 2 2?

一元二次方程 ax +bx+c=0(a>0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析:

2

设 ax +bx+c=0 的两根为 ?、? ,f(x)=ax +bx+c,那么:
2 2

y

?? ? 0 ? ①若两根都大于 0,即 ? ? 0, ? ? 0 ,则有 ?? ? ? ? 0 ?? ? ? ? 0 ?

o

?
对称轴 x= ?

?
y

x

?? ? 0 ? b ? ②若两根都小于 0,即 ? ? 0, ? ? 0 ,则有 ?? ?0 ? 2a ? ? f (0) ? 0

b 2a
x

?
对称轴 x= ?

?
b 2a
y

o

③若两根有一根小于 0 一根大于 0,即 ? ? 0 ? ? ,则有 f (0) ? 0

?
④若两根在两实数 m,n 之间,即 m ? ? ? ? ? n , y

o

x

?

?? ? 0 ? ?m ? ? b ? n ? 则有 ? 2a ? f ( m) ? 0 ? ? ? f ( n) ? 0
o m

?
X= ?

?
b 2a

n

x

⑤若两个根在三个实数之间,即 m ? ? ? t ? ? ? n ,

y

? f (m) ? 0 ? 则有 ? f (t ) ? 0 ? f (n) ? 0 ?
o m

?
X= ?

t

?

n

x

例如:若方程 x ? 2(m ? 1) x ? m ? 2m ? 3 ? 0 有两个正实数根,求 m 的取值范围。
2 2

b 2a

解:由①型得 ?

?? ? 0 ?? ? ? ? 0 ?? ? ? ? 0 ?

? ?2(m ? 1) ? 0

?4( m ? 1) 2 ? 4( m 2 ? 2m ? 3) ? 0 ? ? m 2 ? 2m ? 3 ? 0 ?

? ? m ? ?1

? m ? ?1

? ? m ? ?1, 或m ? 3 ?

?m?3

所以方程有两个正实数根时, m ? 3 。 又如:方程 x ? x ? m ? 1 ? 0 的一根大于 1,另一根小于 1,求 m 的范围。
2 2

解:因为有两个不同的根,所以由

? 5 5 ?( ?1) 2 ? 4( m 2 ? 1) ? 0 ?? ? 0 ? ?m? ?? ?? 2 ?? 2 ? 2 ? ?1 ? m ? 1 2 ? ? f (1) ? 0 ?1 ? 1 ? m ? 1 ? 0 ??1 ? m ? 1 ?
三、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 ,坐标平面内的点 ? ? x0 , y0 ? . ①若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的上方. ②若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的下方. 四、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 . (一)由 B 确定: ①若 ? ? 0 ,则 ?x ? ?y ? C ? 0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域

?x ? ?y ? C ? 0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域.
②若 ? ? 0 ,则 ?x ? ?y ? C ? 0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域

?x ? ?y ? C ? 0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域.
(二)由 A 的符号来确定: 先把 x 的系数 A 化为正后,看不等号方向: ①若是“>”号,则 ?x ? ?y ? C ? 0 所表示的区域为直线 l: ?x ? ?y ? C ? 0 的右边部分。 ②若是“<”号,则 ?x ? ?y ? C ? 0 所表示的区域为直线 l: ?x ? ?y ? C ? 0 的左边部分。 (三)确定不等式组所表示区域的步骤: ①画线:画出不等式所对应的方程所表示的直线 ②定测:由上面(一) (二)来确定 ③求交:取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。 五、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式. 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.

可行解:满足线性约束条件的解 ? x, y ? . 可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.

六、设 a 、b 是两个正数,则

a?b 称为正数 a 、b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、b 的几何平均数. 2 a?b ? ab . 均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即 2
常用的基本不等式: ① a ? b ? 2ab ? a, b ? R ? ;
2 2

② ab ?

a 2 ? b2 ? a, b ? R ? ; 2
2

? a?b ? ③ ab ? ? ? ? a ? 0, b ? 0? ; ? 2 ? a 2 ? b2 ? a ? b ? ④ ?? ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ?
七、极值定理: 设 x 、 y 都为正数,则有: ⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值
2

s2 . 4

⑵若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p .

例题:已知 x ? 解:∵ x ?

5 1 ,求函数 f ( x) ? 4 x ? 2 ? 的最大值。 4 4x ? 5
由原式可以化为:

5 ,∴ 4 x ? 5 ? 0 4

f ( x) ? 4 x ? 5 ? 5 ? 2 ?

1 1 1 1 ? ?(5 ? 4 x) ? ? 3 ? ?[(5 ? 4 x) ? ] ? 3 ? ? (5 ? 4 x) ? ? 3 ? ?1 ? 3 ? 2 4x ? 5 5 ? 4x 5 ? 4x 5 ? 4x

当 5 ? 4x ?

1 3 2 ,即 (5 ? 4 x) ? 1 ? x ? 1,或x ? (舍去) 时取到“=”号 5 ? 4x 2

也就是说当 x ? 1 时有 f ( x)max ? 2


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