2015-2016高中数学 4.3.2空间两点间的距离公式课件 新人教A版必修2


4.3.2

空间两点间的距离公式

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掌握空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初 步建立将空间问题向平面问题转化的思想意识.z

典 例 精 析

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题型一

求空间两点间的距离

如图所示,在长方体 OABCO1A1B1C1 中,|OA|=2,|AB|=3,|AA1|=2, E 是 BC 中点,作 OD⊥AC 于 D,求点 O1 到点 D 的距离.
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分析:关键是求 D 点坐标,O1(0,0,2),利用两点间距离公式求解. 解析:由题意得:A(2,0,0),O1(0,0,2),C(0,3,0),设 D(x,y,0). 在 Rt△AOC 中, OA= 2,OC=3,AC= 13,∴OD= 6 6 13 = . 13 13

在 Rt△ODA 中,OD2=y· OA, 36 13 18 ∴y= = . 2 13 在 Rt△ODC 中,OD2=x· OC, 36 13 12 ?12 18 ? ? ∴x= = .∴D , ,0 ?. 3 13 ?13 13 ? ∴|O1D|=
?12?2 ?18?2 ? ? +? ? +4= ?13? ?13 ?

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1 144 2 286 = . 132 13

点评:求几何体中线段的长度的步骤: (1)利用几何体中的线面 关系、对称关系等建立适当的坐标系; (2)表示出几何体中各点的坐 标;(3)利用距离公式求线段的长度.

?跟踪训练 1.已知点 A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC 的形状是(C) A.等腰三角形 C.直角三角形 B.等边三角形 D.等腰直角三角形
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解析:|AB|= (4-1)2+(2+2)2+(3-11)2= 89, |BC|= (6-4)2+(-1-2)2+(4-3)2= 14, |AC|= (6-1)2+(-1+2)2+(4-11)2= 75. ∵|BC|2+|AC|2=|AB|2, ∴△ABC 为直角三角形.

题型二

空间两点距离公式的应用

例 2 已知 A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),求|AB|取最小值 时 A,B 两点的坐标,并求此时的|AB|. 解析:由空间两点间的距离公式得|AB|= (1-x) +[(x+2)-(5-x)] +[(2-x)-(2x-1)] = 14x -32x+19= 8 当 x= 时,|AB|有最小值 7
2 2 2 2

? 8 ?2 5 14?x- ? + . ? 7? 7

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5 35 = , 7 7

?8 27 9 ? ? 22 6 ? 此时 A? , , ?,B?1, , ?. 7 7? ?7 7 7 ? ?

点评:解决该类问题的关键是根据点的坐标特征,利用方程的思想求 出未知量.

例 3 正方形 ABCD,ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD 与 平面 ABEF 互相垂直,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若 CM=BN=a(0<a< 2),求 a 为何值时,MN 的长最小. 分析:该题的求解方法尽管很多,但利用坐标法求解,应该说是 既简单又易行的方法,方法的对照比较,也更体现出了坐标法解题的 优越性. 解析:∵平面 ABCD⊥平面 ABEF,平面 ABCD∩平面 ABEF= AB, AB⊥ BE, ∴BE⊥平面 ABCD.∴AB,BC,BE 两两垂直. ∴以 B 为原点,以 BA,BE,BC 所在直线为 x 轴, y 轴和 z 轴,建 立如图所示的空间直角坐标系,
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? 2 ? 2? ? 2 2 则 M? a, 0,1- a?, N? a, a, 0?. 2 ? ?2 2 ?2 ?

∴|MN|=
2

? 2 ?2 2 ?2 ? 2 ?2 ? 2 ? a- a ? +?0- a? +?1- a- 0 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?2 ? ? 2?2 1 ?a- ? + . 2? 2 ?

= a - 2a+ 1=

2 2 ∴当 a= 时,|MN|最短,即为 时,M,N 恰为 AC,BF 的 2 2 中点. 点评:依据题中的垂直关系建立恰当的坐标系,利用空间坐标系 中的性质、定理来求距离、证垂直、求角度等.

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?跟踪训练
? 2 ? ?1 1 ? 2.已知三点 A?1, ,2?,B? , ,1?,C(3,2,6).求证:A, ? 3 ? ?2 3 ?

B,C 三点在同一条直线上. 7 35 14 证明:由两点间距离公式得|AB|= ,|BC|= ,|AC|= , 6 6 3 ∴|AB|+|AC|=|BC|. 即 A、B、C 三点在同一直线上.
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3. 在 xOy 平面内的直线 x+y=1 上确定一点 M, 使它到点 N(6, 5,1)的距离最小. 解析:由已知,可设 M(x,1-x,0), 则 |MN| = (x-6)2+(1-x-5)2+(0-1)2 =
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2(x-1)2+51, ∴当 x=1 时,|MN|min= 51, 此时点 M(1,0,0).


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