三角函数的变化


三角函数的变化 2010 已知函数 f (x) ? 2cos 2 x ? sin x ? 4cos x 。
2

(Ⅰ)求 f ? ( ) 的值;

?

3

(Ⅱ)求 f (x) 的最大值和最小值。 解: (I) f ( ) ? 2 cos

?

3

2? ? ? 3 9 ? sin 2 ? 4 cos ? ?1 ? ? ? 3 3 3 4 4
2 2

(II) f ( x) ? 2(2cos x ?1) ? (1 ? cos x) ? 4cos x
2 = 3cos x ? 4cos x ? 1 = 3(cos x ? ) ?
2

2 3

7 ,x?R 3

因为 cos x ? [?1,1] ,所以,当 cos x ? ?1 时, f ( x ) 取最大值 6; 当 cos x ?

2 7 时, f ( x ) 取最小值 ? 3 3

2010 年东西海一模 (海)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |? ? ) 的图象如图所示. (Ⅰ )求 ?,? 的值; (Ⅱ )设 g ( x) ? f ( x) f ( x ? ) ,求函数 g ( x) 的单调递增区间. 4

?

y 1

O

? 4

? 2

x

?1

解: (Ⅰ )由图可知 T ? 4(

?

? 2? ? ) ? ? ,? ? ? 2, 2 4 T

………………2 分

又由 f ( ) ? 1 得, sin(? ? ? ) ? 1 ,又 f (0) ? ?1 ,得 sin ? ? ?1

?

2

? | ? |? ? ? ? ? ?

?
2



………………4 分

(Ⅱ )由(Ⅰ )知: f ( x) ? sin( 2 x ?

?
2

) ? ? cos 2 x

………………6 分

因为 g ( x) ? (? cos 2 x)[ ? cos(2 x ?

?

1 )] ? cos 2 x sin 2 x ? sin 4 x 2 2
,即

………………9 分

所以, 2k? ?

?
2

? 4 x ? 2 k? ?

?
2

k? ? k? ? ? ?x? ? (k ? Z) .……………12 分 2 8 2 8
……………13 分

故函数 g ( x) 的单调增区间为 [

k ? ? k? ? ? , ? ] (k ? Z) . 2 8 2 8

(西)已知 ? 为锐角,且 tan( (Ⅰ)求 tan ? 的值; (Ⅱ)求

?
4

??) ? 2 .

sin 2? cos ? ? sin ? 的值. cos 2?

解: (Ⅰ) tan(

?
4

??) ?

1 ? tan ? ,???????2 分 1 ? tan ?

所以

1 ? tan ? ? 2 , 1 ? tan ? ? 2 ? 2 tan ? , 1 ? tan ? 1 .???????5 分 3

所以 tan ? ?

sin 2? cos ? ? sin ? 2sin ? cos 2 ? ? sin ? ? (Ⅱ) cos 2? cos 2? ? sin ? (2cos 2 ? ? 1) sin ? cos 2? ? ? sin ? .???????8 分 cos 2? cos 2?
1 2 2 ,所以 cos ? ? 3sin ? ,又 sin ? ? cos ? ? 1 , 3 1 ,???????10 分 10
10 , 10

因为 tan ? ?

所以 sin ? ?
2

又 ? 为锐角,所以 sin ? ?

所以

sin 2? cos ? ? sin ? 10 .???????12 分 ? cos 2? 10

(东)设函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x sin( (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ? [0,

?

1 ? x) ? . 2 2

?
2

] 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值.

解: f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x sin(

?
2

? x) ?

1 2

?

3 1 sin x cos x ? cos 2 x ? 2 2 3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2

?

? sin(2 x ? ) ? 1 .????????????????????6 分 6
(Ⅰ) T ?

?

2? ? ? ,故 f ( x) 的最小正周期为 ? . ?????????? 7 分 2
2

(Ⅱ)因为 0 ? x ?

? , 2

所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? .??????????????????9 分 6

所以当 2 x ?

?
6

?

?
2

,即 x ?

?
3

时, f ( x) 有最大值 0 ,?????11 分

当 2x ?

?
6

??

?
6

,即 x ? 0 时, f ( x) 有最小值 ?

3 .????????13 分 2

2011 已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? (Ⅰ )求 f ( x ) 的最小正周期:

?
6

) ?1 。

(Ⅱ )求 f ( x ) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值。 , ? 6 4? ?

解: (Ⅰ )因为 f ( x) ? 4 cos x sin( x ?

?
6

) ?1

? 4 cos x(

3 1 sin x ? cos x) ? 1 2 2

? 3 sin 2 x ? 2 cos2 x ? 1
? 3 sin 2x ? cos2x
? 2 sin( 2 x ?

?
6

)

所以 f ( x) 的最小正周期为 ? (Ⅱ )因为 ?

?
6

?x?

?
4

, 所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

2? . 3

于是,当 2 x ?

?
6

?

?
2

, 即x ?

?
6

时, f ( x) 取得最大值 2;

当 2x ?

?
6

??

?

, 即x ? ? 时, f ( x) 取得最小值—1. 6 6

?

2011 东西海一模 (海) 在 ?ABC 中, 内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a, b, c , 已知 tan B ? 且 c ? 1. (Ⅰ)求 tan A ; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积. 解: (I)因为 tan B ?

1 1 ,tan C ? , 2 3

1 1 tan B ? tan C , tan C ? , tan( B ? C ) ? , ???????1 分 1 ? tan B tan C 2 3

1 1 ? 2 3 ?1 . tan( B ? C ) ? 代入得到, 1 1 1? ? 2 3
因为 A ? 180 ? B ? C ,

????3 分

????4 分

所以 tan A ? tan(180 ? ( B ? C)) ? ? tan( B ? C) ? ?1 . (II)因为 0 ? A ? 180 ,由(I)结论可得: A ? 135 . 因为 tan B ?

???5 分 ????7 分

1 1 ? tan C ? ? 0 ,所以 0 ? C ? B ? 90 . 2 3
10 5 . , sin C ? 10 5
????9 分

????8 分

所以 sin B ?



a c ? 得a ? 5 , sin A sin C
1 1 ac sin B ? . 2 2

?????11 分

所以 ?ABC 的面积为:

????13 分

(西)设 ?ABC 中的内角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,且 cos B ?

4 ,b ? 2. 5

(Ⅰ)当 a ?

5 时,求角 A 的度数; (Ⅱ)求 ?ABC 面积的最大值. 3 4 3 ,所以 sin B ? . 5 5
???2 分

解: (Ⅰ)因为 cos B ?

因为 a ?

5 a b 1 ? , b ? 2 ,由正弦定理 可得 sin A ? . 3 sin A sin B 2

???4 分

因为 a ? b ,所以 A 是锐角, 所以 A ? 30 .
o

????6 分

(Ⅱ)因为 ?ABC 的面积 S ?

1 3 ac sin B ? ac , 2 10

???7 分

所以当 ac 最大时, ?ABC 的面积最大.
2 2 2 因为 b ? a ? c ? 2ac cos B ,所以 4 ? a ? c ?
2 2

8 ac . 5

???9 分

因为 a ? c ? 2ac ,所以 2ac ?
2 2

8 ac ? 4 , 5

???11 分 ??12 分 ????13 分

所以 ac ? 10 , (当 a ? c ? 10 时等号成立) 所以 ?ABC 面积的最大值为 3 .

(东)在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c 分,且满足 (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 5 ,求△ ABC 面积的最大值. 解: (Ⅰ)因为

2c ? b cos B ? . a cos A

2c ? b cos B ? , a cos A

所以 (2c ? b) ? cos A ? a ? cos B 由正弦定理,得 (2sin C ? sin B) ? cos A ? sin A ? cos B . 整理得 2sin C ? cos A ? sin B ? cos A ? sin A ? cos B . 所以 2sin C ? cos A ? sin( A ? B) ? sin C . 在△ ABC 中, sin C ? 0 . 所以 cos A ?

1 ? , ?A ? . 2 3

(Ⅱ)由余弦定理 cos A ?
2 2

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ,a ? 2 5 . 2bc 2

所以 b ? c ? 20 ? bc ? 2bc ? 20 所以 bc ? 20 ,当且仅当 b ? c 时取“=” . 所以三角形的面积 S ?

1 bc sin A ? 5 3 . 2

所以三角形面积的最大值为 5 3 .

2012 已知函数 f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x 。 (1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2) sin x

求 f(x)的单调递增区间。 (sin x ? cos x)sin 2 x (sin x ? cos x)2sin x cos x f ( x) ? ? ? 2(sin x ? cos x)cos x sin x sin x
π? ? ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 , ? x | x ? kπ ,k ? Z? 4? ?

(1)原函数的定义域为 ?x | x ? kπ , k ? Z? ,最小正周期为 π .
3π ? π ? ? ? kπ ? k ? Z , ? kπ , ? kπ ? k ? Z (2)原函数的单调递增区间为 ? ? ? kπ , 8 8 ? ? ? ?

2012 年东西海一模 (海)在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a, b, c ,且 A , B , C 成等差数 列. (Ⅰ)若 b =

13 , a = 3 ,求 c 的值;

(Ⅱ)设 t ? sin A sin C ,求 t 的最大值. 解: (Ⅰ)因为 A, B, C 成等差数列, 所以 2 B ? A ? C . 因为 A ? B ? C ? ? , 所以 B ?

? . 3

???????????????2 分

因为 b =
2

13 , a = 3 , b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ,
???????????????5

所以 c ? 3c ? 4 ? 0 . 分 所以 c ? 4 或 c ? ?1(舍去). (Ⅱ)因为 A ? C ?

???????????????6 分

2 ?, 3 2? ? A) 3

所以 t ? sin A sin(

? sin A(

3 1 cos A ? sin A) 2 2

?
?

3 1 1 ? cos 2 A sin 2 A ? ( ) 4 2 2
1 1 ? ? sin(2 A ? ) . 4 2 6 2? , 3
???????????????10 分

因为 0 ? A ?

所以 ?

? ? 7? ? 2A ? ? . 6 6 6

所以当 2 A ?

? ? ? 3 ? ,即 A ? 时, t 有最大值 . 4 6 2 3

(西)在△ ABC 中,已知 sin( A ? B) ? sin B ? sin( A ? B) . (Ⅰ )求角 A ; (Ⅱ )若 | BC | ? 7 , AB ? AC ? 20 ,求 | AB ? AC | . (Ⅰ)解:原式可化为 sin B ? sin( A ? B) ? sin( A ? B) ? 2 cos Asin B . 因为 B ? (0, π) , 所以 sin B ? 0 , 所以 cos A ? ???3 分

1 . 2 π . 3

??5 分

因为 A ? (0, π) , 所以 A ?

???6 分

(Ⅱ)解:由余弦定理,得 | BC |2 ?| AB |2 ? | AC |2 ? 2| AB || AC | ? cos A .??8 分 因为 | BC |? 7 , AB ? AC ? | AB || AC | ? cos A ? 20 , 所以 | AB |2 ? | AC |2 ? 89 . ?10 分 ???12 分

因为 | AB ? AC |2 ? | AB |2 ? | AC |2 ? 2 AB ? AC ? 129 , 所以 | AB ? AC | ? 129 . (东)已知函数 f ( x) ? (sin2x ? cos2x) ? 2sin 2x .
2 2

??13 分

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 的图象是由 y ? f ( x) 的图象向右平移

? 个单位长度,再向上平移 1 8

个单位长度得到的,当 x ?[ 0 ,

? ]时,求 y ? g ( x) 的最大值和最小值. 4
2 2

解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? 2sin 2 x

? sin 4 x ? cos 4 x

? ? 2 sin(4 x ? ) , 4

????6 分

所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 (Ⅱ)依题意, y ? g ( x) ?

? . 2

???8 分

? ? 2 sin [ 4( x ? ) ? ] ?1 8 4
???10 分

? ? 2 sin(4 x ? ) ? 1 . 4
因为 0 ? x ?

? ? ? 3? ,所以 ? ? 4 x ? ? . 4 4 4 4

?11 分

当 4x ?

? ? 3? ? ,即 x ? 时, g ( x) 取最大值 2 ? 1 ; 4 2 16

当 4x ?

? ? ? ? ,即 x ? 0 时, g ( x) 取最小值 0 . 4 4

2013 在△ABC 中,a=3,b=2 6 ,∠B=2∠A. (I)求 cosA 的值, (II)求 c 的值

2013 东西海一模 (海)已知函数 f ( x) ? 2 ? ( 3sin x ? cos x)2 . (Ⅰ)求 f ( ) 的值和 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [?

π 4

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 6 3

解: (I)因为 f ( x) ? 2 ? ( 3sin x ? cos x)2

= 2 ? (3sin2 x ? cos2 x ? 2 3sin x cos x)

? 2 ? (1 ? 2sin2 x ? 3sin2 x)
= 1 ? 2sin2 x ? 3sin 2 x ? cos2 x ? 3sin 2 x
π = 2sin(2 x ? ) 6
所以 f ( ) ? 2sin(2 ?

??????2 分

??????4 分

??????6 分

π 4

π π 2π ? ) ? 2sin ? 3 4 6 3

??????7 分

所以 f ( x ) 的周期为 T ?

2π 2π ? =π |? | 2

??????9 分

(II)当 x ? [ ?

π π π 2π π π 5π , ] 时, 2 x ? [ ? , ] , (2 x ? ) ? [ ? , ] 6 3 3 3 6 6 6
??????11 分

所以当 x ? ?

π π 时,函数取得最小值 f ( ? ) ? ?1 6 6

x?


π π f( )?2 6 时,函数取得最大值 6 π . 4

(西)已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的一个零点是 (Ⅰ )求实数 a 的值;

(Ⅱ )设 g ( x) ? f ( x) ? f (?x) ? 2 3sin x cos x ,求 g ( x) 的单调递增区间. 解:依题意,得 f ( ) ? 0 ,

π 4

???1 分

即 sin

π π 2 2a ? a cos ? ? ? 0, 4 4 2 2

?3 分 ??5 分 ??6 分

解得 a ? 1 . (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin x ? cos x .

g ( x) ? f ( x) ? f (?x) ? 2 3sin x cos x ? (sin x ? cos x)(? sin x ? cos x) ? 3sin 2x
?????7 分

? (cos2 x ? sin2 x) ? 3sin 2x

??????8 分 ?????9 分 ?????10 分

? cos 2x ? 3sin 2x
π ? 2sin(2 x ? ) . 6
由 2kπ ?

π π π ? 2 x ? ? 2kπ ? , 2 6 2
??12 分

得 kπ ?

π π ? x ? kπ ? , k ? Z . 3 6 π π , kπ ? ] , k ? Z . 3 6

所以 g ( x) 的单调递增区间为 [ kπ ?

??13 分

(东)已知函数 f ( x) ? sin? ?x ? (1)求函数 f ( x) 的值域;

? ?

??

?? ? 2 ?x , 其中 ? ? sin? ?x ? ? ? 2 cos 6? 6? 2 ?

x? R, ? ? 0 .

(2)若函数 f ( x) 的图象与直线 y ? ?1 的两个相邻交点间的距离为 单调增区间. 解: (1)f ( x ) ? sin ?x ?

? ,求函数 f ( x) 的 2

3 1 3 1 ? cos?x ? ? sin ?x ? ? cos?x ? ? (1 ? cos?x ) 2 2 2 2

=

3 sin ?x ? cos ?x ? 1 ? 2 sin(?x ? ) ? 1 6
所以函数 f ( x ) 的值域为 ?? 3,1?

?

?????????????5 分

???????????????????7 分

(2)由

1 2? ? ? ? 得? ?2 2 ? 2

???????????????????9 分

所以 f ( x ) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ?1

由?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k?

???????????????11 分

得?

?
6

? k? ? x ?

?
3

? k?

所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 ?? 2014 如图,在 ?ABC 中,?B ? (1)求 sin ?BAD (2)求 BD, AC 的长

? ? ? ? ? k? , ? k? ? (k ? Z ) . 3 ? 6 ?

???13 分

?
3

, AB ? 8 ,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2, cos ?ADC ?

1 7

2014 东西海一模 (海)已知函数 f ( x) ? 2sin

π π x cos x ,过两点 A(t , f (t )), B(t ? 1, f (t ? 1)) 的直线的斜率记为 6 6

g (t ) .
(Ⅰ)求 g (0) 的值;

(II)写出函数 g (t ) 的解析式,求 g (t ) 在 [? , ] 上的取值范围. (Ⅰ) f ( x) ? sin

3 3 2 2

π x 3

---------------------------2 分

g (0) ?

f (1) ? f (0) 1
π 3 . ? sin 0 ? 3 2

------------------------------3 分

? sin

----------------5 分

(Ⅱ) g (t ) ?

f (t ? 1) ? f (t ) ? ? π ? sin( t ? ) ? sin t t ?1? t 3 3 3

------------------------------6 分

? sin

?
3

t cos

π ? π π ? cos t sin ? sin t 3 3 3 3

------------------------------7 分

1 π 3 π ? ? sin t ? cos t 2 3 2 3

------------------8 分

π π ? ? sin( t ? ) 3 3
因为 t ? [? , ] ,所以

-----------------10 分

3 3 2 2

π π 5π π t ? ? [? , ] , 3 3 6 6

-----------------11 分

所以

? π 1 sin( t? ? ) ? [ 1, ,] 3 3 2
3 3 2 2

------------------12 分

所以 g (t ) 在 [? , ] 上的取值范围是 [ ?

1 ,1] 2
2 2 2

(西)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 b ? c ? a ? bc . (Ⅰ )求 A 的大小; (Ⅱ )如果 cos B ?
2 2

6 , b ? 2 ,求△ ABC 的面积. 3
2

(Ⅰ)解:因为 b ? c ? a ? bc ,

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? , 所以 cos A ? 2bc 2


?????? 3

又因为 A ? (0, π) , 所以 A ? 分 (Ⅱ)解:因为 cos B ?

π . 3

?????? 5

6 , B ? (0, π) , 3 3 . 3
??????7

所以 sin B ? 1 ? cos 2 B ? 分 由正弦定理 分 得 a? 分 因为 b ? c ? a ? bc ,
2 2 2

a b ? , sin A sin B

??????9

b sin A ? 3. sin B

??????10

所以 c ? 2c ? 5 ? 0 ,
2

解得 c ? 1 ? 6 , 因为 c ? 0 , 所以 c ? 6 ? 1. 故△ ABC 的面积 S ? ?11 分

1 3 2? 3 . bc sin A ? 2 2 sin A 3 cos B . ? a b

(东)在△ ABC 中, (Ⅰ)求角 B 的值;

(Ⅱ)如果 b ? 2 ,求△ ABC 面积的最大值. 解: (Ⅰ)因为

a b sin A 3 cos B ? , , ? sin A sin B a b

所以 sin B ? 3 cos B , tan B ? 3 .

因为 B ? (0, ?) , 所以 B ? (Ⅱ)因为 B ?

? . ???????6 分 3 ? , 3

所以 cos B ? 因为 b ? 2 ,

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? . 2ac 2

所以 a ? c ? ac ? 4 ? 2ac .
2 2

所以 ac ? 4 (当且仅当 a ? c 时,等号成立) . 所以 S
ABC

1 ? ac sin B ? 3 . 2

所以△ ABC 面积最大值为 3 .?????13 分


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